2021高考数学一轮复习课后限时集训52直线与椭圆的综合问题文北师大版2

2021高考数学一轮复习课后限时集训52直线与椭圆的综合问题文北师大版2

课后限时集训52‎ 直线与椭圆的综合问题 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P(3,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　)‎ A．－　　　B．－　　　C．－　　　D．－ A　[设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则4x＋9y＝144,4x＋9y＝144，两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，又x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，＝k，代入解得k＝－.]‎ ‎2．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)‎ A．(1，＋∞) B．(1,3)∪(3，＋∞)‎ C．(3，＋∞) D．(0,3)∪(3，＋∞)‎ B　[由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.‎ 由Δ＞0且m≠3及m＞0得m＞1且m≠3.]‎ ‎3．已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是(　　)‎ A. B. ‎ C. D．2‎ B　[由条件知c＝1，e＝＝，所以a＝，b＝1，椭圆方程为＋y2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，，所以|AB|＝.]‎ ‎4．设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B两点向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则实数k等于(　　)‎ A．± B．± ‎ C．± D．±2‎ A　[由题意可知，点A与点B的横坐标即为焦点的横坐标，又c＝1，当k - 7 -‎ ‎＞0时，不妨设A，B两点的坐标分别为(－1，y1)，(1，y2)，代入椭圆方程得解得k＝；同理可得当k＜0时k＝－.故选A.]‎ ‎5．(2019·长春模拟)经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·等于(　　)‎ A．－3 B．－ C．－或－3 D．± B　[依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y－0＝tan 45°(x－1)，即y＝x－1.代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝.‎ 所以两个交点坐标为A(0，－1)，B，所以·＝(0，－1)·＝－.同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－.]‎ 二、填空题 ‎6．直线y＝kx＋k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是________．‎ 相交　[直线方程y＝kx＋k＋1，可化为y＝k(x＋1)＋1，则直线恒过定点(－1,1)，又＋＜1，则点(－1,1)在椭圆＋＝1内，故直线与椭圆相交．]‎ ‎7．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的标准方程为________．‎ ＋＝1　[由题意知椭圆C的焦点在x轴上，且c＝1，可设椭圆C的方程为＋＝1(a＞1)，由|AB|＝3，知点在椭圆上，代入椭圆方程得4a4－17a2＋4＝0，所以a2＝4或a2＝(舍去)．故椭圆C的标准方程为＋＝1.]‎ ‎8．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．‎ 　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎∴＋＝0，‎ - 7 -‎ 即＝－.‎ 又x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，＝－.‎ ‎∴－＝－.‎ ‎∴e2＝1－＝，即e＝.]‎ 三、解答题 ‎9．如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.‎ ‎(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；‎ ‎(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．‎ ‎[解](1)设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x′，y′)，由已知得因为点P在圆x2＋y2＝25上，所以x′2＋y′2＝25，‎ 即x2＋＝25，‎ 整理，得＋＝1，‎ 即C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，‎ 设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，‎ 得＋＝1，即x2－3x－8＝0.‎ 所以x1＋x2＝3，x1·x2＝－8，所以线段AB的长度为|AB|＝＝＝＝.‎ 所以直线被C所截线段的长度为.‎ - 7 -‎ ‎10．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.‎ ‎(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；‎ ‎(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．‎ ‎[解](1)∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.所以a＝c，所以e＝＝.‎ ‎(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝，设B(x，y)．由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝，y＝－，即B.‎ 将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，‎ 即＋＝1，解得a2＝3c2， ①‎ 又由·＝(－c，－b)·＝，‎ 得b2－c2＝1，即a2－2c2＝1. ②‎ 由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.‎ 所以椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎1．(2019·福州模拟)已知两定点M(－1,0)，N(1,0)，直线l：y＝x－，在l上满足|PM|＋|PN|＝2的点P的个数为(　　)‎ A．0 B．1　　　　‎ C．2　　　　 D．0或1或2‎ B　[由椭圆的定义知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，‎ 故c＝1，a＝，b＝1，其方程为＋y2＝1.‎ 由得3x2－4x＋4＝0.‎ Δ＝(－4)2－4×3×4＝0，则在l上满足|PM|＋|PN|＝2的点P有1个，故选B.]‎ ‎2．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是(　　)‎ A．4 B．3 ‎ - 7 -‎ C．2 D．1‎ D　[因为(＋)·＝(＋)·＝·＝0，所以PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝4，所以mn＝2，所以S△F1PF2＝mn＝1.故选D.]‎ ‎3．若F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．‎ x2＋＝1　[设点A在点B上方，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝，则可设A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|＝3|F1B|，可得＝3，故即代入椭圆方程可得＋b2＝1，解得b2＝，故椭圆方程为x2＋＝1.]‎ ‎4．(2019·石家庄模拟)已知点M(，)在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，且椭圆的离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)，求△PAB的面积．‎ ‎[解](1)由已知得 解得 故椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0)．‎ 由消去y，整理得 ‎4x2＋6mx＋3m2－12＝0，‎ 由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ 由Δ＝36m2－16(3m2－12)＞0，得m2＜16，‎ 则x0＝＝－m，y0＝x0＋m＝m，即D.‎ 因为AB是等腰△PAB的底边，‎ 所以PD⊥AB，‎ - 7 -‎ 即PD的斜率k＝＝－1，‎ 解得m＝2，满足m2＜16.‎ 此时x1＋x2＝－3，x1x2＝0，‎ 则|AB|＝|x1－x2|＝·＝3，‎ 又点P到直线l：x－y＋2＝0的距离为d＝，所以△PAB的面积为S＝|AB|·d＝.‎ ‎1．已知椭圆C：＋＝1与圆M：(x＋)2＋(y－2)2＝r2(0＜r＜)，过椭圆C的上顶点P作圆M的两条切线分别与椭圆C相交于A，B两点(不同于点P)，则直线PA与直线PB的斜率之积等于________．‎ ‎1　[圆心为M(－，2)，P(0，)，设切线为y＝kx＋，由点到直线距离得d＝＝r，(2－r2)k2＋4k＋(2－r2)＝0，k1k2＝1.]‎ ‎2．(2019·西安模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．‎ ‎[解](1)设椭圆的半焦距为c，依题意有＝，a＝，所以c＝，b＝1，‎ 所以所求椭圆方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ ‎①当AB⊥x轴时，|AB|＝；‎ ‎②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，‎ 由已知得＝，即m2＝(1＋k2)．‎ 把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 所以|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2‎ - 7 -‎ ‎＝(1＋k2) ‎＝ ‎＝ ‎＝3＋ ‎＝3＋ ‎≤3＋＝4(k≠0)，‎ 当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立．‎ 又当k＝0时，|AB|＝.‎ 综上所述，|AB|max＝2，所以当|AB|最大时，△AOB面积取最大值，S＝×|AB|max×＝.‎ - 7 -‎