四川省资阳市2020届高三上学期第一次诊断性考试数学（理）试题 含解析

四川省资阳市2020届高三上学期第一次诊断性考试数学（理）试题 含解析

资阳市高中2017级第一次诊断性考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将答题卡交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1． 已知集合，，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】据题意得：，，.‎ ‎【点睛】先解不等式，化简集合M，N，从而可判定集合的包含关系． 本题以集合为载体，考查集合之间的关系，解题的关键是解不等式化简集合．‎ ‎2． 复数 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】据已知得：‎ ‎【点睛】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．‎ ‎3． 已知向量，，若（），则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】据已知得：，，，所以有，2m=1,m=.‎ ‎【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的平行的运算，属于基础题 ‎4． 已知等差数列的前n项和为．若，则 A．7 B．14 ‎ C．21 D．42‎ ‎【答案】B ‎【解析】据已知得：，所以，‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和和等差中项，是基础的计算题． ‎ ‎5． 已知，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要比充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得：后面化简：三种情况，相对于前面来说，是大范围。所以选A ‎【高考考点】考查充分必要条件，小技巧，小大，小是大的充分不必要条件.‎ ‎6． 执行右图所示的程序框图，则输出的 ‎ A．3 ‎ B．4‎ C．5‎ D．6‎ ‎【答案】C ‎【高考考点】考查程序框图的逻辑推理能力 ‎7． 已知，，，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】从题意得：，，。所以B为正确答案.‎ ‎【点睛】指数或者对数比较大小，考查学生对指数与对数的图像与性质的灵活处理能力，需要学生抓住定点。算出所在区间在去比较大小。‎ ‎8． 函数的图象大致是 ‎【答案】 D ‎9． 已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，将α的终边按顺时针方向旋转后经过点，则 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】‎ ‎10．若函数（）的图象关于点对称，则的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】最后算出。C为正确答案 ‎【点睛】考查三角函数的图像与性质，是比较中等题目。‎ ‎11．已知，．若，则的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【点睛】考查平面向量的概念，平面向量的线性运算，平面向量的的数量积以及最大值 最小值的讨论。解决此类问题，要多注意平面向量的性质，做题一定要数行结合@‎ ‎12. 定义在R上的可导函数满足，记的导函数为，当时恒有．若，则m的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】构造函数，所以构造函数，，所以的对称轴为，所以，是增函数；是减函数。，解得：‎ ‎【点睛】压轴题，考查导数与函数，涉及到构函数以及对称轴的性质。难度比较大。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．求值：_________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】=1‎ ‎【点睛】考查对数的运算性质，比较简单。‎ 14． 已知x，y满足若的最小值为_________．‎ ‎【答案】5‎ 15． 等比数列的前n项和为．已知，，则_________．‎ ‎【答案】511‎ ‎【解析】等比数列的前n项和为．所以 还是等比数列。‎ 所以,解得：511‎ ‎【点睛】考查等比数列，等比数列的前n项和。‎ 14． 已知当且时，函数取得最大值，则的值为__________． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得：其中，‎ ‎，.因为 要取得最大值，，‎ 带入以上所求，化简：，解：‎ ‎三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.（12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求在上的零点；‎ ‎（2）求在上的取值范围．‎ ‎【答案】（1），．（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1），．‎ 令，即，则，，得，，‎ 由于，令，得；令，得． ‎ 所以，在上的零点为，．‎ ‎（2）由，则．所以，，‎ 故在上的取值范围是．‎ ‎18.（12分）‎ 已知等差数列的前n项和为，，且．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】（1）（1）由，得，‎ 两式相减，得，所以，．‎ ‎（2）由题，两边同乘以，有，‎ 两式相减，得 ‎．所以，．‎ ‎19．（12分）‎ 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．‎ ‎ （1）求角B的大小；‎ ‎ （2）求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）的最大值为8‎ ‎【解析】（1）由，根据正弦定理，有，‎ 即有，则有，又，‎ 所以，．‎ ‎（2）（2）由（1），，则，又△ABC为锐角三角形，‎ 所以，且，所以，于是．‎ 则．‎ 又，所以，的取值范围是．‎ ‎20．（12分）‎ 已知函数，且函数为偶函数．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若方程有三个不同的实数根，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题可知a≠0，所以函数的对称轴为，‎ 由于是偶函数，所以，即关于x＝1对称，‎ 所以，即．所以． ‎ ‎（2）方程有三个不同的实数根，即方程有三个不同实数根．‎ 令，由（1）有，所以，令，则或．当时，；当时，；当时，．‎ 故当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增．‎ 所以，当时，取得极大值；当时，取得极小值．‎ 又由于，且当时，；当时，．‎ 所以，方程有三个不同实数根时，m的范围是． ‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数在点处的切线与轴垂直．‎ ‎（1）若a＝1，求的单调区间；‎ ‎（2）若，成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】‎ （1） 当时，，为增函数，当时，，为减函数.‎ （2） ‎【解析】‎ ‎（1），由题，解得，由a＝1，得b=1. ‎ 因为的定义域为，所以，‎ 故当时，，为增函数，当时，，为减函数，‎ ‎（2）由（1）知b＝2－a，‎ 所以.‎ ‎（i）若，则由（1）知，即恒成立．‎ ‎（ii）若，则且，‎ 当时，，为增函数；当时，，为减函数，‎ ‎，即恒成立．‎ ‎（iii）若，则且，‎ 故当时，，为增函数，‎ 当时，，为减函数，‎ 当时，，为增函数，‎ 由题只需即可，即，解得，‎ 而由，且，得．‎ ‎（iv）若，则，为增函数，且，‎ 所以，，不合题意，舍去；‎ ‎（v）若，则，在上都为增函数，且，‎ 所以，，不合题意，舍去；‎ 综上所述，a的取值范围是．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设，直线l与C的交点为M，N，线段MN的中点为Q，求．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）直线l的普通方程为．‎ 由，得，则有，即，‎ 则曲线C的直角坐标方程为．‎ ‎（2）将l的参数方程代入，得，设其两根为，‎ 则为M，N对应的参数，且，‎ 所以，线段MN的中点为Q对应的参数为．‎ 所以，．‎ ‎23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）‎ 已知，且．‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）证明：．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】（1）‎ ‎．当且仅当取“＝”． ‎ 所以，的最大值为．‎ ‎（2）‎ ‎ ．‎ 当且仅当取“＝”． 10分