2019-2020学年黑龙江省大庆铁人中学高二上学期期末考试 数学（理）

2019-2020学年黑龙江省大庆铁人中学高二上学期期末考试 数学（理）

铁人中学2018级高二学年上学期期末考试 数学理科试题 试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟。 ‎ ‎2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。‎ 第Ⅰ卷 选择题部分 一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。）‎ ‎1. 98与63的最大公约数为，二进制数化为十进制数为，则（ ）‎ A．60 B．58 C．54 D．53 ‎ ‎2.若命题“若,则”为真命题，则下列命题中一定为真命题的是( )‎ A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 ‎3.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线，则曲线C的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4. “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影区域概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.袋中装有3个黑球、2个白球、1个红球，从中任取两个，互斥而不对立的事件是（ ）‎ A.“至少有一个黑球”和“没有黑球” B.“至少有一个白球”和“至少有一个红球”‎ C.“至少有一个白球”和“红球黑球各有一个 D.“恰有一个白球”和“恰有一个黑球”‎ ‎6.“”是“方程表示椭圆”的( )‎ A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如右图,估计这次测试中数学 成绩的平均分、众数、中位数分别是( )‎ A. 73.3 ，75，72 B. 72，75，73.3 ‎ C. 75，72，73.3 D. 75，73.3，72‎ ‎8.阅读右侧程序框图,运行相应的程序,则输出的值为(   )‎ A. -10 B. 6 C. 14 D. 18‎ ‎9.已知椭圆上有一点,,是椭圆的左、右焦点,若为直角三角形,则这样的点有( )‎ A.3个 B.4个 C.6个 D.8个 ‎10.已知双曲线与双曲线,给出下列说法,其中错误的是( )‎ A.它们的焦距相等 B.它们的焦点在同一个圆上C.它们的渐近线方程相同D.它们的离心率相等 ‎11.把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线和平面所成的角的大小为(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知抛物线：，直线及上一点，抛物线上有一动点P到的距离为，P到的距离为，则的最小值为（ ）‎ A.5 B. 6 C.7 D. 9‎ 第ⅠⅠ卷 非选择题部分 二、填空题（每小题5分，共20分。）‎ ‎13.某班共有56名学生,现将所有学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知12号、26号、54号同学在样本中,则样本中还有一名同学的编号是 。‎ ‎14.已知正方体中，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 。‎ ‎15.下列说法中正确的个数是 。‎ ‎(1)．命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为“若方程无实数根，则”。‎ ‎(2)．命题“，”的否定“，”。‎ ‎(3)．若为假命题，则，均为假命题。‎ ‎(4)．“”是“直线：与直线：平行”的充要条件。‎ ‎16.已知双曲线的右顶点为,抛物线的焦点为,若在的渐近线上存在点使得,则的离心率的取值范围是 。‎ 三、解答题（第17题10分，其它每题12分，共70分。）‎ ‎17.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点. (1).求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；(2).求.‎ ‎18.如表是某位同学连续5次周考的数学、物理的成绩，结果如下：‎ 周次 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 数学(分)‎ ‎79‎ ‎81‎ ‎83‎ ‎85‎ ‎87‎ 物理(分)‎ ‎77‎ ‎79‎ ‎79‎ ‎82‎ ‎83‎ 参考公式：，，表示样本均值．‎ ‎(1).求该生5次月考数学成绩的平均分和物理成绩的方差；‎ ‎(2).一般来说，学生的数学成绩与物理成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量的线性回归方程．‎ ‎19. 把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，试就方程组解答下列各题：‎ ‎(1)求方程组只有一个解的概率；(2)求方程组只有正数解的概率．‎ ‎20.已知抛物线的焦点为上一点到焦点的距离为.‎ ‎1.求的方程;‎ ‎2.过作直线,交于两点,若线段中点的纵坐标为,求直线的方程.‎ ‎21.如图，在四棱柱中，点和分别为的中点,侧棱.‎ ‎（I）求证：//平面；（II）求二面角的正弦值 ‎22.设椭圆的离心率,椭圆上一点N到左、右两个焦点的距离之和是4.‎ ‎1.求椭圆的方程 ‎2.已知过的直线与椭圆交于两点,且两点与左、右顶点不重合,若,求四边形面积的最大值. ‎ 铁人中学2018级高二学年上学期期末考试 数学理科试题答案 第Ⅰ卷 选择题部分 一、 选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。）‎ B D B D C C B B C D C C 第ⅠⅠ卷 非选择题部分 二、 填空题（每小题5分，共20分。）‎ ‎13 、40 14、 15、1 16、‎ 三、解答题（第17题10分，其它每题12分，共70分。）‎ ‎17. 答案：(1).易知直线的方程为，曲线C的方程为.‎ ‎(2)将(为参数)，代入中得 设所对应的参数分别为.，.‎ ‎18. 答案：（1） ，，‎ ‎（2） 计算，，所以回归系数为，，‎ 故所求的线性回归方程为．‎ ‎19. 解：事件(a，b)的基本事件有36个．‎ 由方程组可得 ‎(1)方程组只有一个解，需满足‎2a－b≠0，‎ 即b≠‎2a，而b＝‎2a的事件有(1,2)，(2,4)，(3,6)共3个，‎ 所以方程组只有一个解的概率为P1＝1－＝.‎ ‎(2)方程组只有正数解，需‎2a－b≠0且 其包含的事件有13个：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)， (6,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)．因此所求的概率为.‎ ‎20. 1.法一:抛物线: 的焦点的坐标为,由已知 分解得或∵,∴∴的方程为 法二:抛物线 的准线方程为由抛物线的定义可知解得 ‎∴的方程为 ‎2.法一:由(1)得抛物线C的方程为,焦点设两点的坐标分别为,则分两式相减。整理得∵线段中点的纵坐标为∴直线的斜率分直线的方程为即 分法二:由(1)得抛物线的方程为,焦点设直线的方程为由消去,得设两点的坐标分别为,∵线段中点的纵坐标为∴解得 分直线的方程为即 ‎21. (I)证明：依题意，可得为平面的一个法向量，，由此可得，，又因为直线平面，所以平面 ‎(II)，设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，设为平面的一个法向量，则，又，得，不妨设，可得因此有，于是，所以二面角的正弦值为.‎ ‎22. 答案：1. ∵1∴∴椭圆的方程为 2.设,则由可得 即 又∵∴四边形是平行四边形 设平行四边形的面积为 则 设,则∴‎ ‎∵∴ (当且仅当时取等号)∴‎ ‎∴四边形面积的最大值为6‎