2018-2019学年安徽省滁州市定远县育才学校高二（实验班）上学期期中考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年安徽省滁州市定远县育才学校高二（实验班）上学期期中考试数学（文）试题 解析版

育才学校2018-2019学年度第一学期期中考试 高二实验班文科数学试题 满分：150分，考试时间：120分钟； 命题人：‎ 第I卷 选择题 60分 一、选择题（12小题，共60分）‎ ‎1.直线的斜率为，其中点，点在直线上，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是（ ） A.若a⊥b，a⊥α， ，则 B.若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β C.若a⊥β，α⊥β，则 或 D.若 ， ，则 ‎ ‎3.如上右图是某几何体的三视图，则该几何体的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D.‎ ‎4.已知是轴上的两点，点的横坐标为，且，若直线的方程为，则直线的方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.在正方体中， 为棱上一动点， 为底面上一动点， 是的中点，若点都运动时，点构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（ ）‎ A. 棱柱 B. 棱台 C. 棱锥 D. 球的一部分 ‎6.若直线与互相垂直，则实数（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎7.如图所示，正四棱锥的底面面积为，体积为， 为侧棱的中点，则与所成的角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.已知正方体的棱长为1，在正方体的侧面上的点 到点距离为的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知两点， ，若直线上至少存在三个点，使得是直角三角形，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高‎8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为‎6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　　) ‎ A. cm3 B. cm‎3 C. cm3 D. cm3‎ ‎11.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，，则四棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表看，六根等长的正四棱分成三组，榫卯起来如图，若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（容器壁的厚度忽略不计）（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷 非选择题 90分 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.如图，在边长为4的正方形纸片中， 与相交于点，剪去，将剩余部分沿折叠，使重合，则折叠后以为顶点的四面体的体积为__________．‎ ‎14.如图，已知正方体的棱长为，点是面的中心，点是面的对角线上一点，且平面，则线段的长为 ‎__________．‎ ‎15.在三棱台中，，点、分别是棱、的中点，则在三棱台的各棱所在的直线中，与平面平行的有__________．‎ ‎16.若圆被直线截得的弦长为，则__________．‎ 三、解答题（70分）‎ ‎17. （10分）已知的三个顶点， ， ，求：‎ ‎（1）边上的高所在直线的方程；‎ ‎（2）的垂直平分线所在直线的方程；‎ ‎（3）边的中线的方程.‎ ‎18. （12分）已知圆过两点， ，且圆心在直线上．‎ ‎（Ⅰ）求圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）直线过点且与圆有两个不同的交点， ，若直线的斜率大于0，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在直线使得弦的垂直平分线过点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎19. （12分）如图所示，空间四边形中，分别在上，且满足，，过的平面交于，连接.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求证：三线共点.‎ ‎20. （12分）如图，在正方体中，棱长为，E是棱的中点 ‎（1）求三棱锥的体积；‎ ‎（2）在棱上是否存在一点F，使平面？证明你的结论。‎ ‎21. （12分）正方体中，为中点，为中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2），求三棱锥的体积.‎ ‎22. （12分）如图，在直四棱柱中，底面四边形为菱形， ， ， 是的中点. ‎ ‎（1）图1中，点是的中点，求异面直线所成角的余弦值；‎ ‎（2）图2中，点分别是的中点，点在线段上， ，求证：平面AEH∥平面.‎ 高二实验班文科数学试题 参考答案与解析 ‎1.B【解析】设点,，则，选B.‎ ‎2.D【解析】A：记a，b确定的平面为γ， ，在平面γ内，∵ ， ，∴ ，从而根据线面平行的判定可知A不符合题意； B：等价于两个平面的法向量垂直，根据面面垂直的判定可知B不符合题意； C：根据面面垂直的性质可知C符合题意； D： 或 ，故D符合题意， 故答案为：D．‎ ‎3.B【解析】由三视图可知该几何体为正方体中的内接正四面体，正四面体的棱长为 ，设内切球的半径为r， 则 易得： ∴内切球的表面积为 故答案为：B ‎4.B【解析】点的横坐标为，‎ 又 的斜率互为相反数，‎ 的斜率为 则直线的方程是，即。故答案选 ‎5.A【解析】由题意知，当P在A′处，Q在AB上运动时，M的轨迹为过AA′的中点，在平面AA′B′B内平行于AB的线段（靠近AA′），当P在A′处，Q在AD上运动时，M的轨迹为过AA′的中点，在平面AA′D′D内平行于AD的线段（靠近AA′），‎ 当Q在B处，P在AA′上运动时，M的轨迹为过AB的中点，在平面AA′B′B内平行于AA′的线段（靠近AB），‎ 当Q在D处，P在AA′上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面AA′B′B内平行于AA′的线段（靠近AD），‎ 当P在A处，Q在BC上运动时，M的轨迹为过AB的中点，在平面ABCD内平行于AD的线段（靠近AB），‎ 当P在A处，Q在CD上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面ABCD内平行于AB的线段（靠近AB），‎ 同理得到：P在A′处，Q在BC上运动；P在A′处，Q在CD上运动；P在A′处，Q在C处，P在AA′上运动；‎ P、Q都在AB，AD，AA′上运动的轨迹．进一步分析其它情形即可得到M的轨迹为棱柱体．故选：A．‎ ‎6.A【解析】由题意得 ，当 时直线方程为不成立，舍去，选A.‎ ‎7.C【解析】连接交于点，连接正四棱锥的底面是正方形， 是中点， 是中点， 与所成的角为正四棱锥的底面积为，体积为， ， 在中， ， ，故选C.‎ ‎8.B【解析】正方体每个面到点距离为的点的轨迹如图：‎ 则在正方体的侧面上的点到点距离为的点的轨迹为小圆弧。‎ 故选 ‎9.B【解析】当， 为直角时， ，且一定存在，‎ 故至少存在一个点，使为直角，‎ 即直线与圆至少有一个交点，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴且．故选．‎ ‎10.A【解析】由题意可得，设球心为O,球与不面切点为B, 球与棱的一个切点为C,点C所在截面圆圆心为P, PB=2,PC=4,OC=R,OP=R-2,由勾股定理得，解得R=5, cm3，选A.‎ ‎11.C【解析】由题意，将四棱锥扩充为正方体，体对角线长为，所以四棱锥外接球的直径为，半径为，所以四棱锥外接球的表面积为，故选C.‎ ‎12.C【解析】有题意可知：该球形容器得半径最小值为，所以表面积最小值为 ‎13.‎ ‎【解析】折叠后的四面体如图所示．‎ OA，OC，OD两两相互垂直，且OA＝OC＝OD＝2，‎ 所以体积V＝S△OCD·OA＝××(2)3＝‎ ‎14.‎ ‎【解析】连接， ，‎ ‎∵点是面的中心，∴， 是的中点，‎ ‎∵平面，∴，∴．‎ 故答案为 ‎15.，‎ ‎【解析】‎ ‎∵点、分别是，的中点，‎ ‎∴，‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴四边形是平行四边形，‎ ‎∴，又平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ 故在三棱台各棱所在直线中，与平面平行的有：， ．‎ ‎16. ‎ ‎【解析】由题意利用弦长公式可得弦心距，再由点到直线的距离公式可得 ‎ 解得，或舍去）， 故选A．‎ ‎17.（1）；（2）；（3）．‎ ‎【解析】（1）由斜率公式易知kAC=-2，∴直线BD的斜率.‎ 又BD直线过点B（-4，0），代入点斜式易得 直线BD的方程为：x-2y+4=0．‎ ‎（2）∵，∴．又线段BC的中点为，‎ ‎∴EF所在直线的方程为y-2=-（x+）．‎ 整理得所求的直线方程为：6x+8y-1=0．‎ ‎（3）∵AB的中点为M（0，-3），kCM=-7‎ ‎∴直线CM的方程为y-（-3）=-7（x-0）．‎ 即7x+y+3=0，又因为中线的为线段，‎ 故所求的直线方程为：7x+y+3=0（-1≤x≤0）‎ ‎18.（Ⅰ）（x﹣1）2+y2=25；（Ⅱ） ；（Ⅲ）x+2y﹣1=0.‎ ‎【解析】（I）MN的垂直平分线方程为：x﹣2y﹣1=0与2x﹣y﹣2=0联立解得圆心坐标为C（1，0）‎ R2=|CM|2=（﹣3﹣1）2+（3﹣0）2=25‎ ‎∴圆C的标准方程为：（x﹣1）2+y2=25‎ ‎（II）设直线的方程为：y﹣5=k（x+2）即kx﹣y+2k+5=0，设C到直线l的距离为d，‎ 则d=‎ 由题意：d＜5 即：8k2﹣15k＞0‎ ‎∴k＜0或k＞‎ 又因为k＞0‎ ‎∴k的取值范围是（，+∞）‎ ‎（III）设符合条件的直线存在，则AB的垂直平分线方程为：y+1=﹣（x﹣3）即：x+ky+k﹣3=0‎ ‎∵弦的垂直平分线过圆心（1，0）∴k﹣2=0 即k=2‎ ‎∵k=2＞‎ 故符合条件的直线存在，l的方程：x+2y﹣1=0.‎ ‎19.（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】（1）∵，∴.‎ ‎∴平面.而平面，‎ 且平面平面，‎ ‎∴.而，‎ ‎∴.‎ ‎∴，即.‎ ‎（2）证明：∵，且，，‎ ‎∴，∴四边形为梯形.‎ 令，则，而平面，‎ ‎，平面，平面平面，‎ ‎∴.∴三线共点.‎ ‎20.（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】（1）·‎ ‎（2）存在 如图取中点,连,连交于 是的中位线 因为正方体 ‎ 所以 又因为四边形是平行四边形，‎ 所以，‎ 所以 所以四边形是平行四边形， ‎ 所以,‎ 所以平面 ‎ 法二：取中点,则平面平面 ‎21.（1）证明过程见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）取中点，连接，，有，‎ 所以是平行四边形，‎ 所以，‎ 又平面，‎ 平面，‎ 所以平面，得证.‎ ‎（2）正方体中，‎ ‎,,‎ 点到面的距离即为,‎ 所以三棱锥的体积 ‎.‎ ‎22.（1）‎ ‎【解析】（1）因为底面四边形为菱形，‎ 所以，异面直线所成角即为直线所成角，‎ 或其补角，连结， ， ， ， ， ‎ ‎（2）与相似， ， ， ，‎ 所以，又 MN∥AH,CN∥AE,‎ ‎， ，‎ 平面AEH∥平面.‎