2018-2019学年福建省南平市高二上学期期末质量检测数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年福建省南平市高二上学期期末质量检测数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年福建省南平市高二上学期期末质量检测数学（文）试题 一、单选题 ‎1．抛物线的焦点到准线的距离为( )‎ A． B． C．4 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】，抛物线的焦点到准线的距离是，故选D.‎ ‎2．将53转化为二进制数得（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用“除取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将一次所得的余数倒序排列即可得到答案 ‎【详解】‎ 故 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了十进制与其他进制之间的转化，其中熟练掌握“除取余法”的方法步骤是解决本题的关键。‎ ‎3．下列命题中的假命题是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】对每一个选项逐一判断得解.‎ ‎【详解】‎ 对于选项A， ,所以该命题是真命题；对于选项B,,所以该命题是真命题；对于选项C,,，所以该命题是真命题；对于选项D,是假命题，因为.‎ 故答案为：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查全称命题和特称命题的真假的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎4．设，，则是成立的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】根据对数的运算法则解出，然后再根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到答案 ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎,‎ 或 ‎，则有 则是成立的必要不充分条件 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了对数与对数函数的必要条件和充分条件，较为基础 ‎5．欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌酒油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为的圆面，中间有边长为 的正方形孔，现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分别求出圆和正方形的面积，结合几何概型的概率公式计算即可 ‎【详解】‎ 正方形的面积 若铜钱是直径为的圆面，则半径为，圆的面积为：‎ 则随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为 ‎，‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了几何概型，解题的关键是求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解，属于基础题 ‎6．曲线在点处的切线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出导数，求得切线的斜率，由斜截式方程即可求得答案 ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎,‎ ‎,‎ 则在点处的切线的方程为 即 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题 ‎7．一个射手进行射击，记事件E1：“脱靶”，E2：“中靶”，E3：“中靶环数大于4”，E4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有 ( )．‎ A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 ‎【答案】B ‎【解析】由于事件E1：“脱靶”;E2：“中靶”;E3：“中靶环数大于4”;E4：“中靶环数不小于5”.‎ 则在上述事件中,互斥而不对立的事件分别为E1与E3,E1与E4,共2对.‎ ‎8．在区间上任取实数，在区间上任取实数，则满足的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】画出满足条件的区域，由几何概型计算出面积得到其概率 ‎【详解】‎ 由几何概型可得概率为：‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了几何概型，只要计算出满足条件的面积即可计算出其概率，较为基础 ‎9．已知某8个数的平均数为3，方差为2，现加入一个新数据3，此时这9个数的平均数为，方差为，则（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意计算出加入后的平均数，然后比较方差 ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎，‎ 由方差的定义可知加入新数据3，样本数据会变得更加稳定 故 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了加入数据后平均数和方差的变化，代入公式计算出结果，较为基础 ‎10．已知函数在处有极值，则＝（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】A ‎【解析】，若在处有极值，故，解得且 ，符合题意；或且 ，此时 ，单调递减，在处不存在极值，故且，不合题意，所以＝ ，故选A.‎ ‎11．已知为上的可导函数，且，均有，则以下判断正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．与大小无法确定 ‎【答案】B ‎【解析】设函数，求得,可得在上单调递减，可得，再进一步化简，可得结论 ‎【详解】‎ 为上的可导函数，且，均有，‎ 则构造 ‎,‎ 在上单调递减，‎ 则 即 故 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，需要构造新函数，然后结合函数的单调性进行判定，需要掌握解题方法 ‎12．为双曲线右支上的一点，分别为左、右焦点，，若的外接圆半径是其内切圆半径的3倍，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】C ‎【解析】结合题意计算出三角形的外接圆半径和内切圆半径，由数量关系计算出双曲线离心率 ‎【详解】‎ ‎，‎ 点的坐标为 ‎,则 的外接圆半径 其内切圆半径 的外接圆半径是其内切圆半径的3倍，‎ ‎,‎ 即 化简可得 即 解得 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了计算双曲线的离心率，结合题意先计算出外接圆和内切圆的半径，然后结合数量关系求出结果，属于中档题 二、填空题 ‎13．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为100的样本，则应从高二年级抽取学生人数__________名．‎ ‎【答案】30‎ ‎【解析】由分层抽样的计算公式求出结果 ‎【详解】‎ 高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，‎ 则高二学生人数占比为 样本容量为100‎ 则应该从高二年级抽取学生人数为（名）‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分层抽样，明确分层抽样的操作步骤是解答本题的关键，属于基础题 ‎14．如果执行如图的程序框图，那么输出的__________．‎ ‎【答案】42‎ ‎【解析】输入，由循环语句计算出结果 ‎【详解】‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 故答案为42‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了程序框图中的循环语句的运算，求出输出值，较为基础 ‎15．已知点在椭圆上，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】运用三角函数换元，然后利用辅助角公式进行化简求出最值 ‎【详解】‎ 点在椭圆上，‎ 令 令，则 则原式，当时其最大值为9‎ 故最大值为9‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了运用三角函数换元后求最值问题，在解答此类问题时注意椭圆方程的换元形式，属于中档题 ‎16．下列命题中，正确命题的序号是__________．‎ ‎①函数关于点对称；‎ ‎②定义在上的奇函数中一定有；‎ ‎③函数满足；‎ ‎④已知是的三个内角，若，则.‎ ‎【答案】①②③④‎ ‎【解析】运用函数的对称性、单调性以及三角函数知识对选项进行判定 ‎【详解】‎ ‎①函数，令 ‎,‎ ‎,为奇函数，关于原点对称，则由向上平移1个单位，‎ 函数关于点对称；故①正确 ‎②定义在上的奇函数 ‎，‎ 解得 ‎,‎ 解得 则 可知为增函数，则成立，故②正确 ‎③已知函数 则，‎ 故③正确 ‎④在中，‎ ‎,‎ ‎，‎ 又，则 故，故④正确 综上所述，则正确命题的序号是①②③④‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的性质及三角函数公式的灵活运用，熟练运用公式来解题尤为重要，属于中档题 三、解答题 ‎17．已知函数. ‎ ‎（1）求单调递减区间；‎ ‎（2）求在区间的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）最大值为,最小值为.‎ ‎【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可 ‎（2）根据函数的单调性求出在区间的最大值和最小值即可 ‎【详解】‎ 解：（1）函数的定义域为.‎ ‎，由，得.‎ 所以，函数的单调递减区间为.‎ ‎（2）当时，在单调递增，‎ 由（1）知在单调递减区间，‎ 所以当时，取得最大值为，‎ 又因为，，‎ 比较，所以.‎ 因此的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数求函数的单调区间及最值问题，掌握解题方法，较为基础 ‎18．某校高二数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示.其中130～140分数段的人数为1人. ‎ ‎（1）学校计划录用其中一半的学生（由高分至低分）进行培训，若用中位数来估计录取分数线，则录取分数线约为多少？（结果取整数）；‎ ‎（2）现根据初赛成绩从第一组和第四组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组.若选出的两人成绩之差大于20分，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率..‎ ‎【答案】（1）113（2）‎ ‎【解析】（1）先计算出人数，结合频率分布直方图计算出中位数 ‎（2）运用枚举法列出可能出现的结果，然后计算出概率 ‎【详解】‎ 解：设90～140分之间的人数为，由130～140分分数段的人数为1，‎ 可知，得.‎ ‎（1）设其中位数为分.‎ 所以录取分数线估计为113分.‎ ‎（2）依题意第一组共有人，分别记作，；‎ 第四组共有人，分别记作，，.‎ 从第一组和第四组中任意选出两人共有下列10种选法：‎ ‎，.‎ 设事件：选出的两人为“黄金搭档组”.‎ 若两人成绩之差大于20，则两人分别来自第一组和第四组，共有6种选法：‎ ‎.‎ 故.所以选出的两人为“黄金搭档组”的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了运用频率分布直方图解答实际问题，掌握解题方法，较为基础 ‎19．已知椭圆的离心率，且椭圆经过点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点作直线与该椭圆相交于、两点，若线段恰被点所平分，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据椭圆的性质列出方程求出a,b，即可得到答案 ‎（2）解法一：运用点差法，设出点坐标，代入求出结果；解法二：联立直线方程与椭圆方程，求出交点的横坐标的和，由中点坐标求出结果 ‎【详解】‎ 解：（1）由题意得，‎ 解得，.‎ 则椭圆的方程为；‎ ‎（2）法一：很明显点在椭圆内部，设、，‎ ‎①-②得：‎ 的中点为，所以，.‎ 代入上式得，得.‎ 直线的方程为，即为.‎ 法二：若直线斜率不存在，不符合题意.‎ 设直线方程为，‎ 设、，‎ 消去，化简得，‎ 由于点在椭圆内部，所以.‎ ‎，解得.‎ 直线的方程为，即为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，在遇到中点坐标时可以采用点差法计算，需要掌握解题方法 ‎20．为了对2018年某校统考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽取8位，他们的数学、物理分数对应如下表：‎ 学生编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 数学分数 ‎68‎ ‎72‎ ‎78‎ ‎81‎ ‎85‎ ‎88‎ ‎91‎ ‎93‎ 物理分数 ‎70‎ ‎66‎ ‎81‎ ‎83‎ ‎79‎ ‎80‎ ‎92‎ ‎89‎ ‎（1）用变量与的相关系数说明物理与数学的相关程度（精确到0.01）；‎ ‎（2）求与的线性回归方程（精确到0.01）；‎ ‎（3）当某同学的数学成绩为80分时，估计其物理科的得分（结果取整数）.‎ 参考公式：相关系数，‎ 回归直线方程是：，其中；‎ 参考数据：，，.‎ ‎【答案】（1）0.87,具有线性相关关系（2）（3）78‎ ‎【解析】（1）分别计算出、，然后求出相关系数说明物理与数学的相关程度 ‎（2）由公式计算出，求出回归直线方程 ‎（3）将代入求出，估计其物理科的得分 ‎【详解】‎ 解：（1）‎ 所以物理与数学具有较高的相关程度，与之间具有线性相关关系.‎ ‎（2）‎ 故所求的回归直线方程为.‎ ‎（3）当时，.‎ 即当某同学的数学成绩为80分时，估计其物理科的得分为78分.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了求出回归方程，并估计数据，通过计算说明线性相关程度，较为基础 ‎21．已知抛物线的焦点为圆的圆心，为坐标原点，点为抛物线上任意一点，过点作轴的平行线交抛物线的准线于点，直线交抛物线于点. ‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若、、三个点满足，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由已知条件求出抛物线焦点坐标，得到抛物线方程 ‎（2）法一：设直线的方程为，联立直线方程与抛物线方程，运用根与系数之间的关系求出点坐标和，由计算出的值，求出直线方程；法二：由，可知，运用抛物线的定义求出在直角中解直角三角形，求出直线方程 ‎【详解】‎ 解：（1）由圆，可得圆心坐标为，‎ 所以抛物线焦点为，‎ 由题意知，得，‎ 所以抛物线的方程为.‎ ‎（2）法一：设直线的方程为，‎ 联立直线与抛物线的方程得，消去得， ‎ 设， ，由根与系数的关系得，，‎ 因为，故，得，‎ 由及，‎ 解得，或，代入，‎ 解得或.‎ 故直线的方程为或，‎ 即或.‎ 法二：不坊设直线的斜率，如图所示，‎ 过点作于，可知，‎ ‎，可知，‎ 由，得，，‎ 根据抛物线定义知，‎ 等于点到准线的距离2，，所以，‎ 在直角中，，‎ 所以，因此，‎ 所以直线的方程为，即，‎ 由对称性知另一条直线的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了求抛物线方程以及直线与抛物线的位置关系，在解题过程中给了两种解法，一是运用抛物线的定义，另一个是联立直线方程与抛物线方程，运用根与系数之间的关系求解，需要掌握解题方法 ‎22．已知函数，.‎ ‎（1）判断函数在区间上的零点个数，并说明理由；‎ ‎（2）若恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】（1）对函数求导，分类讨论时、时零点的情况 ‎（2）设，求导后讨论时、时、时的单调性，求出的取值范围 ‎【详解】‎ 解：（1）由已知，及，‎ 所以，在单调递增.‎ 当时，，函数在上无零点；‎ 当时，因，，‎ 且在单调递增，所以函数在上只有一个零点.‎ 综上知：时，函数在上无零点.‎ 时，函数在上只有一个零点.‎ ‎（2）解：设，‎ 则的定义域为，，‎ 时，恒成立，符合题意；‎ 时，在由于恒成立，所以单调递增，且时，，，不符合题意.‎ 时，由得，由（1）知在上有唯一根记为，则，‎ 其中与在区间上的情况如下：‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 所以，函数的最小值为 依题意，即，解得，‎ 综上所述，的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了运用导数求函数的单调性和零点问题，在解答恒成立问题时需要构造新函数，运用导数解答含有参量的题目时注意分类讨论，需要掌握解题方法