2018-2019学年北京市丰台区高二上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年北京市丰台区高二上学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年北京市丰台区高二上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知向量2，，4，，如果，那么x等于　　‎ A． B．1 C． D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用向量与向量平行的性质直接求解．‎ ‎【详解】‎ 向量2，，4，，，‎ ‎，‎ 解得．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查实数值的求法，考查空间向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎2．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么样本中男、女运动员的人数分别为　　‎ A．20，8 B．18，10 C．16，12 D．12，16‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求出每个个体被抽到的概率，再用男女运动员的人数乘以此概率，即得所求．‎ ‎【详解】‎ 每个个体被抽到的概率等于，则样本中女运动员的人数为，样本中男运动员的人数为，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．‎ ‎3．已知命题p：，，那么是　　‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得到命题的否定．‎ ‎【详解】‎ 命题“，”为特称命题，‎ 根据特称命题的否定是全称命题得到命题的否定为：，．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题．‎ ‎4．从中任取个不同的数，则取出的个数之和为的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题可以先计算出从中任取个不同的数有多少种可能，再计算出取出的个数之和为有多少种可能，两数相除得出概率。‎ ‎【详解】‎ 从中任取个不同的数有和、和、和、和、和、和六种情况，‎ 满足取出的个数之和为的有和、和两种情况，所以概率为故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是概率的计算，可以先通过计算出所有的可能的总数，再计算出满足题目条件的总数，两数相除即可得出概率。‎ ‎5．“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的　　‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等反之不成立即可判断出结论．‎ ‎【详解】‎ 由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等反之不成立．‎ ‎“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两个三角形全等与两个三角形面积相等之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎6．已知线段MN的长度为6，在线段MN上随机取一点P，则点P到点M，N的距离都大于2的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意画出图形，结合图形即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 如图所示，‎ 线段MN的长度为6，在线段MN上随机取一点P，‎ 则点P到点M，N的距离都大于2的概率为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．‎ ‎7．双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】在中令右端为零，得，即得，故选A。‎ ‎8．在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：恰好有2件次品时，取法为，恰好有3件次品时，取法为，所以总数为。‎ ‎【考点】排列组合。‎ ‎9．若直线的回归方程为，当变量x增加一个单位时，则下列说法中正确的是　　‎ A．变量y平均增加2个单位 B．变量y平均增加1个单位 C．变量y平均减少2个单位 D．变量y平均减少1个单位 ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，由线性回归方程的意义，分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，直线的回归方程为，其中斜率估计值为，‎ 当变量x增加一个单位时，变量y平均减少2个单位；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归方程的应用，关键是掌握线性回归方程的意义．‎ ‎10．在长方体中，，，分别在对角线，上取点M，N，使得直线平面，则线段MN长的最小值为　　‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】作于点，作于点，则设，则，，由此能求出MN的最小值．‎ ‎【详解】‎ 作于点，作于点，‎ 线段MN平行于对角面，．‎ 设，则，，‎ 在直角梯形中，‎ ‎，‎ 当时，MN的最小值为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空间想象能力，是中档题．‎ 二、填空题 ‎11．在的展开式中，的系数为______用数字作答 ‎【答案】80‎ ‎【解析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令，求出展开式中的系数．‎ ‎【详解】‎ 二项展开式的通项为 ‎ 令得的系数为 ‎ 故答案为：80．‎ ‎【点睛】‎ 利用二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．‎ ‎12．某篮球运动员在赛场上罚球命中率为，那么这名运动员在赛场上的2次罚球中，至少有一次命中的概率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用对立事件概率计算公式直接求解．‎ ‎【详解】‎ 某篮球运动员在赛场上罚球命中率为，‎ 这名运动员在赛场上的2次罚球中，‎ 至少有一次命中的概率为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎13．某校为了解学生对本校食堂的满意度，随机抽取部分学生进行调查根据学生的满意度评分，得到如图所示的频率分布直方图，其中______，若这次满意度评分的中位数为b，根据频率分布直方图，估计b______填“”，“”或“”‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由频率分布直方图列方程能求出a；评分在的频率为，评分为的频率为，由此能求出中位数．‎ ‎【详解】‎ 由频率分布直方图得：‎ ‎，‎ 解得．‎ 评分在的频率为：，‎ 评分为的频率为：，‎ 中位数．‎ 故答案为：，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率的求法、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．‎ ‎14．设，分别是椭圆的左、右焦点，P为该椭圆上一点，且与左、右顶点不重合，则的周长为______．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】由题意可知周长，进而计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意椭圆知：‎ ‎，，，‎ 周长．‎ 故答案为：10．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的定义等基础知识，考查数形结合思想，属于基础题．‎ ‎15．演讲比赛结束后，4名选手与1名指导教师站成一排合影留念要求指导教师不能站在两端，那么有______种不同的站法用数字作答 ‎【答案】72‎ ‎【解析】根据题意，分2步进行分析：，指导教师不能站在两端，易得指导教师有3种站法，，其4名选手全排列，安排在其他4个位置，由分步计数原理计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，分2步进行分析：‎ ‎，指导教师不能站在两端，则指导教师有3个位置可选，有3种站法；‎ ‎，其4名选手全排列，安排在其他4个位置，有种情况，‎ 则有种不同的站法；‎ 故答案为：72．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．‎ ‎16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F．‎ 的坐标为______；‎ 若M是抛物线上的动点，则的最大值为______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由抛物线的焦点坐标公式可得所求；‎ 求得抛物线的准线方程，设，即有，可得，再令，转化为t的函数，配方即可得到所求最大值．‎ ‎【详解】‎ 抛物线的焦点F的坐标为，‎ 若M是抛物线上的动点，设，即有，‎ 抛物线的准线方程为，可得，‎ 即有，‎ 可令，可得，‎ ‎，‎ 当即时，上式取得最大值．‎ 故答案为：，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查转化思想和换元法，以及化简运算能力，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知离散型随机变量X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P m ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）求；‎ ‎（3）求．‎ ‎【答案】（1）0.2；（2）0.9；（3）1.6‎ ‎【解析】Ⅰ根据题意，由分布列的性质可得，解可得m的值；‎ Ⅱ根据题意，分析可得，结合分布列计算可得答案；‎ Ⅲ根据题意，由期望的计算公式计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎1根据题意，由随机变量X的分布列可得：，‎ 解可得；‎ ‎2根据题意，；‎ ‎3根据题意，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查随机变量的分布列，涉及随机变量的期望、方差的计算．‎ ‎18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧棱底面ABCD，且，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．‎ ‎（1）求证：平面EFH；‎ ‎（2）求证：平面AHF；‎ ‎（3）求二面角的大小．‎ ‎【答案】（1）、（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】试题分析：分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，（Ⅰ）由，可得//平面；（Ⅱ）先证明，，进一步可得平面；（Ⅲ）先确定平面的法向量为平面的法向量为再由得二面角的大小为．‎ 试题解析：‎ 解：建立如图所示的空间直角坐标系，‎ ‎，‎ ‎，，，．‎ ‎（Ⅰ）证明：∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，且平面，‎ ‎∴//平面．---------------------------5分 ‎（Ⅱ）解：，，，‎ ‎，‎ 又，‎ 平面．‎ ‎（Ⅲ）设平面的法向量为，‎ 因为，，‎ 则取 又因为平面的法向量为 所以 所以二面角的大小为．‎ ‎【考点】1.空间中线面位置关系的证明；2.二面角的求法.‎ ‎19．某校高一、高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，测试成绩满分为100分，规定测试成绩在之间为“体质优秀”，在之间为“体质良好”，在之间为“体质合格”，在之间为“体质不合格”现从两个年级中各随机抽取8名学生，测试成绩如下：‎ 学生编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 高一年级 ‎60‎ ‎85‎ ‎55‎ ‎80‎ ‎65‎ ‎90‎ ‎90‎ ‎75‎ 高二年级 ‎75‎ ‎85‎ ‎65‎ ‎90‎ ‎75‎ ‎60‎ a b 其中a，b是正整数．‎ ‎（1）若该校高一年级有200名学生，试估计高一年级“体质优秀”的学生人数；‎ ‎（2）从高一年级抽取的学生中再随机选取3人，求这3人中，恰有1人“体质良好”的概率；‎ ‎（3）设两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等，当高二年级被抽取学生的测试成绩的方差最小时，写出a，b的值结论不要求证明 ‎【答案】（1）75；（2）；（3），‎ ‎【解析】Ⅰ由统计表能估计高一年级“体质优秀”的学生人数．‎ Ⅱ高一年级被抽取的8名学生中，“优质良好”的有2人，从高一年级抽取的学生中再随机选取3人，利用古典概型能求出这3人中，恰有1人“体质良好”的概率．‎ Ⅲ，．‎ ‎【详解】‎ ‎1该校高一年级有200名学生，‎ 则估计高一年级“体质优秀”的学生人数为：．‎ ‎2高一年级被抽取的8名学生中，“优质良好”的有2人，‎ 从高一年级抽取的学生中再随机选取3人，‎ 这3人中，恰有1人“体质良好”的概率．‎ ‎3，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频数、概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎20．已知椭圆C：过点，离心率，右焦点为F．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，与y轴交于点P，若，，求证：为定值．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】Ⅰ由已知得，结合离心率求得c，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；‎ Ⅱ方法1、由题意知，，可知直线AB的斜率存在，设其方程为，则，设出A，B的坐标，由已知向量等式可得m，n，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系即可证明为定值；‎ 方法2、由题意知，，，设，，，由向量等式可得，，‎ 由此可得，m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根，再由根与系数的关系得为定值．‎ ‎【详解】‎ ‎1椭圆C：过点，，‎ 又，，则．‎ 椭圆的方程为；‎ ‎2证明：方法1、由题意知，，可知直线AB的斜率存在，设其方程为，‎ 则，设，，则，．‎ 由，得，，‎ 由，得，，‎ 联立，得．‎ ‎，．‎ 故；‎ 方法2、由题意知，，，，‎ 设，，，‎ 由，得，‎ ‎，，故A，‎ 点在椭圆C：上，．‎ 整理得：．‎ 同理，由，得．‎ 由此可得，m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根．‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．‎