2017-2018学年甘肃省民乐县第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题

2017-2018学年甘肃省民乐县第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题

民乐一中2017-2018学年高二期中考试 数学理科试卷 一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）‎ ‎1．命题： ， ，则（ ）‎ A. ： ， B. ： ， ‎ C. ： ， D. ： ， ‎ ‎2．在等比数列中，已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．若双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．实数满足条件，则的最小值为（ ）‎ A. 16 B. 4 C. 1 D. ‎ ‎5．下列命题中， 表示两条不同的直线， 、、表示三个不同的平面． ‎ ‎①若， ，则； ②若， ，则； ‎ ‎③若， ，则； ④若， ， ，则． ‎ 正确的命题是（　 　）‎ A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④‎ ‎6已知双曲线方程为，过点的直线与双曲线只有一个公共点，则的条数共有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.平面内到x轴与到y轴的距离之和为1的点的轨迹为（　　）‎ A. 点 B. 线段 C. 正方形 D. 圆 ‎8．设为等差数列，若，且它的前项和有最小值，那么当取得最小正值时的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．已知点在抛物线上，则当点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．已知椭圆的弦的中点坐标为，则直线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11． 在三棱锥中，，，，，则该三棱锥外接球的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．设和分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在点，使，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. 3 D. ‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．函数的最小值为__________．‎ ‎14.若角α，β满足－ ＜α＜β＜，则2α－β的取值范围是________．‎ ‎15.已知各项不为0的等差数列{an}满足‎2a2－a＋‎2a12＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b3b11等于 .‎ ‎16．如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，有下列四个说法：‎ ‎①水的部分始终呈棱柱状；‎ ‎②水面四边形的面积不改变；‎ ‎③棱始终与水面平行；‎ ‎④当时， 是定值．‎ 其中正确说法是__________．‎ 三、简答题（第17题10分，其余每题12分）‎ ‎17．已知，不等式的解集是.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若对于任意，不等式恒成立，又已知，求的取值范围.‎ ‎[]‎ ‎18．已知 ，命题 ，命题．‎ ‎（1）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；‎ ‎（2）若命题 为真命题，命题 为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎19．已知动点 (其中)到轴的距离比它到点的距离少.‎ ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）若直线与动点的轨迹交于、两点，求的面积.‎ ‎20．已知数列满足，且． ‎ ‎（1）证明：数列是等比数列；‎ ‎（2）设数列的前n项和为，求使得成立的正整数n的最小值．‎ ‎21．如图，在矩形中，，，是平面同一侧面点，，，，，.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值.‎ ‎22.已知点是椭圆： 上的一点，椭圆的右焦点为，斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点互不重合．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求证：直线， 的斜率之和为定值．‎ 高二理科数学参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A B D C B C C D A C B ‎13.5 14. 15.16 16. ① ③ ④‎ ‎17.（1）由已知不等式的解集是，‎ 所以0和5是方程f(x)=0的两个根，‎ 由韦达定理知，b=-10.c=0 ‎ ‎ . ‎ ‎（2）对任意不等式恒成立 等价于对恒成立 即对恒成立 因为，所以只需 所以 所以的取值范围是.‎ ‎18. （1）因为命题，‎ 令，根据题意，只要时，即可，也就是； ‎ ‎（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，，‎ 命题q为真命题时，，解得 ‎ 因为命题为真命题，命题为假命题，所以命题p与命题q一真一假，‎ 当命题p为真，命题q为假时，，‎ 当命题p为假，命题q为真时，，‎ 综上：实数的取值范围是 ‎19. (1)由已知， 即： ，‎ 又 ‎ ‎(2)设，不妨令 过点，‎ 联立 则满足，且 ‎ ‎∴.‎ ‎20. （1）由已知有： ‎ 又， ‎ 所以是首项为，公比为的等比数列． ‎ ‎（2）由（1）知， ， ，‎ 所以 由 得，‎ 所以正整数 的最小值是.‎ ‎21. （Ⅰ）∵四边形是矩形，‎ ‎∴.‎ ‎∵，，‎ 故.‎ 又，‎ ‎∴平面.‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎（Ⅱ）∵，，，[]‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又，，‎ ‎∴平面.‎ 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，.‎ ‎∴ ，，‎ 设平面的一个法向量， ‎ 由，得，‎ 令，得.‎ 同理可求得平面的一个法向量，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 故二面角的正弦值为.‎ ‎22. （1）由题意得椭圆的左焦点为。‎ 由椭圆定义可得 ‎，‎ 解得，‎ ‎∴，‎ 所以椭圆的方程为． ‎ ‎（2）证明：设直线的方程为，‎ 又， ， 三点不重合，故。‎ 由消去y整理得， ‎ ‎∵直线与椭圆交于、两点，‎ ‎∴，‎ 解得 设， ，‎ 则，① ，②‎ 设直线， 的斜率分别为， ，‎ 则 ‎ （），‎ 分别将①②式代入（），得 ‎，‎ 所以，‎ 即直线， 的斜率之和为定值． ‎