2018-2019学年广东省佛山一中、石门中学、顺德一中、国华纪中高二下学期期末四校联考试题 数学（理）Wordf版

2018-2019学年广东省佛山一中、石门中学、顺德一中、国华纪中高二下学期期末四校联考试题 数学（理）Wordf版

‎2018—2019 学年下学期佛山一中、石门中学、顺德一中、国华纪中期末联考高二年级理科数学试卷 命题学校：石门中学 命题人：‎ 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 1. 若复数 z = a2 -1+ (a -1)i （ i 为虚数单位）是纯虚数，则复数 z =‎ ‎1 + 3i A. ‎3 + 1 i ‎5 5‎ ‎B. 3 - 1 i ‎5 5‎ ‎C. - + i ‎3 1‎ ‎5 5‎ ‎D. - - i ‎3 1‎ ‎5 5‎ 2. 某班有50 人，从中选10 人均分2 组（即每组5 人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有 C CA．‎ ‎10 5‎ ‎50 10‎ ‎C10C5‎ B． 50 10‎ ‎2‎ ‎‎ ‎10 5 2‎ C C AC．‎ ‎50 10 2‎ ‎‎ ‎5 5 2‎ C C AD．‎ ‎50 45 2‎ 3. 学校组织同学参加社会调查，某小组共有 5 名男同学，4 名女同学。现从该小组中选出 3位同学分别到 A, B, C 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有 A．70 种 B．140 种 C．420 种 D． 840 种4．一辆汽车在平直的公路上行驶，由于遇到紧急情况，以速度v(t) = 12 - 4t + ‎‎ ‎20‎ t +1‎ ‎‎ ‎( t 的单 位： s ， v 的单位： m / s )紧急刹车至停止．则刹车后汽车行驶的路程(单位： m )是 A．16 + 20 ln 4‎ ‎B．16 + 20 ln 5‎ ‎C． 32 + 20 ln 4‎ ‎D． 32 + 20 ln 5‎ 5. 将三颗骰子各掷一次，设事件 A = “三个点数都不相同”， B = “至少出现一个 6 点”，则 P( A | B) = ‎60 1 5‎ A. B． C．‎ ‎91 2 18‎ ‎91‎ D．‎ ‎216‎ 6. 某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布 N (10, 0.12 ) （单位： kg ）现抽 取 500 袋样本， X 表示抽取的面粉质量在(10,10.2)kg 的袋数，则 X 的数学期望约为A．171 B．239 C．341 D．477‎ 参考数据：若 X 服从正态分布 N (m,s2 ) ,则 P(m-s< X £ m+s) = 0.6827 ，‎ P(m- 2s< X £ m+ 2s) = 0.9545 ， P(m- 3s< X £ m+ 3s) = 0.9973‎ ‎7．若(2 - x)10 = a + a x + a x2 +L+ a x10 ,则a ‎+ a + 2a + 3a + L+ 10a = ‎0 1 2 10‎ A．10 B． -10‎ ‎0 1 2 3 10‎ C．1014 D．1034‎ 8. 甲罐中有5 个红球， 2 个白球和3 个黑球，乙罐中有6 个红球， 2 个白球和 2 个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以 A1 , A2 , A3 表示由甲罐取出的球是红球、白球 和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件， 下列结论中不．正．确．的是 A．事件 B 与事件 A1 不相互独立 B． A1 , A2 , A3 是两两互斥的事件 ‎3‎ C． P(B) = ‎5‎ ‎D． P(B | A ) = 7‎ ‎1 11‎ 9. 已知 n Î N * ，设(5x2 - 1)n 的展开式的各项系数之和为 M ，二项式系数之和为 N ，若 x M - N = 992 ，则展开式中 x 的系数为（ ）‎ A．-250 B．250 C．－500 D．500‎ 10. 针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，‎ ‎1‎ 其中被调查的女生人数是男生人数的 ‎2‎ ‎2‎ ‎‎ ‎，男生喜欢抖音的人数占男生人数的 ‎1‎ ‎，女生 ‎6‎ 喜欢抖音的人数占女生人数 ‎3‎ 至少有 ‎，若有 99的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则男生 A．12 人 B．18 人 C．24 人 D．30 人 参考公式： K 2‎ ‎= n(ad - bc)2‎ ‎(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )‎ P(K 2 > k )‎ ‎0．10‎ ‎0．05‎ ‎0．025‎ ‎0．010‎ ‎0．005‎ ‎0．001‎ k ‎2．706‎ ‎3．841‎ ‎5．024‎ ‎6．635‎ ‎7．879‎ ‎10．828‎ 11. 在复平面内，复数 z = a + bi(a Î R,b Î R) 对应向量OZ （ O 为坐标原点），设| OZ |= r ，以 射线Ox 为始边， OZ 为终边逆时针旋转的角为q，则 z = r(cosq+ i sinq) ，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理： z1 = r1 (cosq1 + i sinq1 ) ， z2 = r2 (cosq2 + i sinq2 ) ,则 z1 z2 = r1r2 [cos(q1 +q2 ) + i sin(q1 +q2 )] ，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:‎ zn = [r(cosq+ i sinq)]n = rn (cos nq+ i sin nq) ,则(-1+ 3i)10 = A．1024 -1024 3i ‎B． -1024 +1024 3i ‎C． 512 - 512 3i ‎D． -512 + 512 3i 8. 函数 f (x) = ‎aex x ‎, x Î[1, 2], 且"x1 , x2 Î[1, 2], x1 ¹ x2 ,‎ ‎ f (x1 ) - f (x2 ) < 1恒成立，则实 x1 - x2‎ ‎4‎ 数 a 的取值范围是 A． (-¥, ]‎ e2‎ ‎‎ B．[ , +¥)‎ ‎4‎ e2‎ ‎‎ C． (-¥, 0]‎ ‎‎ D．[0, +¥)‎ 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。‎ 9. 已知复数 z1 对应复平面上的点(3, -4)，复数 z2 满足 z1z2 =| z1 | ，则复数 z2 的共轭复数为 10. 我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，‎ 以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如 在表达式1+ 1‎ ‎1+ 1‎ ‎‎ 中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方 ‎1+L 程1+ 1 = x ，求得1+ ‎‎ ‎3 + 3 + 3 + L ‎5‎ ‎；类似上述过程，则 =‎ x 2‎ 11. 设数列{a } 的前 n 项和为 S ，已知 a = 3 ， S ‎= 2na ‎- 3n2 - 4n, n Î N *‎ n 则 an = ‎ ‎n 1 n n+1‎ 12. 已知△ABC 的外接圆半径为1，AB = 2 ，点 D 在线段 AB 上，且CD ^ AB ，则△ACD 面积的最大值为 ‎ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共 60 分。‎ ‎17.(12 分)‎ x 设函数 f (x) = ．‎ ln x （1） 求 f (x) 的单调区间；‎ （2） 若对任意的 x1 , x2 Î[2, 3] 都有| f (x1 ) - f (x2 ) |< m 恒成立，求实数 m 的取值范围．‎ ‎18．(12 分)‎ ‎2020 年开始，国家逐步推行全新的高考制度，新高考不再分文理科。某省采用 3+3 模 式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各 150 分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物 6 门科目中自选 3 门参加考试（6 选 3），每科目满分 100 分．为了应对新高考，某学校从 高一年级 1000 名学生（其中男生 550 人，女生 450 人）中，根据性别分层，采用分层抽样 的方法从中抽取 100 名学生进行调查．‎ （1） 学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的 100 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个 选择“物理”‎ 选择“历史”‎ 总计 男生 a ‎10‎ 女生 ‎25‎ b 总计 科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），如下表是根据调查结果得到的 2×2 列联表．请求出 a 和b ，并判断是否有 99 的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；‎ （2） 在抽取到的女生中按（1）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出 9 名女生，再从这 9 名女生中随机抽取 4 人，设这 4 人中选择“历史”的人数为 X ，求 X 的分布列及数学 期望．‎ 参考公式： K 2‎ ‎‎ = n(ad - bc)2‎ ‎(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )‎ P(K 2 > k )‎ ‎0．10‎ ‎0．05‎ ‎0．025‎ ‎0．010‎ ‎0．005‎ ‎0．001‎ k ‎2．706‎ ‎3．841‎ ‎5．024‎ ‎6．635‎ ‎7．879‎ ‎10．828‎ ‎19.(12 分)‎ m 2e 设函数 f (x) = mx - - 2 ln x ， g(x) = ．‎ x x （1） 讨论函数 f (x) 的单调性；‎ （2） 已知 m > 0 ，若存在 x0 Î[1, e] 使得 f (x0 ) = g(x0 ) ，求实数 m 的取值范围．‎ ‎20．(12 分)‎ 随着国内电商的不断发展，快递业也进入了高速发展时期，按照国务院的发展战略布局， 以及国家邮政管理总局对快递业的宏观调控，某快递收取快递费的标准是：重量不超过1kg 重量（单位： kg ）‎ ‎（0，1]‎ ‎（1，2]‎ ‎（2，3]‎ ‎（3，4]‎ ‎（4，5]‎ 件数 ‎43‎ ‎30‎ ‎15‎ ‎8‎ ‎4‎ 的包裹收费 10 元；重量超过1kg 的包裹，在收费 10 元的基础上，每超过1kg （不足1kg ， 按1kg 计算）需再收 5 元.某县快递代办点将最近承揽的 100 件包裹的重量统计如下：‎ 对近 60 天，每天揽件数量统计如下表：‎ 件数范围 ‎0～100‎ ‎101～200‎ ‎201～300‎ ‎301～400‎ ‎401～500‎ 件数（近似处理）‎ ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 天数 ‎6‎ ‎6‎ ‎30‎ ‎12‎ ‎6‎ 以上数据做近似处理，将频率视为概率．‎ （1） 计算该代办点未来 5 天内不少于 2 天揽件数在 101～300 之间的概率；‎ （2） ‎①估计该代办点对每件包裹收取的快递费的平均值；‎ ‎②根据以往的经验，该代办点将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前该代办点前台有工作人员 3 人，每人每天揽件不超过 150 件，‎ 日工资 110 元.代办点正在考虑是否将前台工作人员裁减 1 人，试计算裁员前后代办点每日 利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员 1 人？‎ ‎21．(12 分)‎ 已知函数 f ( x ) = aex cos x + bx ， g ( x ) = 1 x2 - sin x + cx + d ‎2‎ y = g ( x ) 都过点 P(0,1) ，且在点 P 处有相同切线 y = x + 1． (1)求 f ( x ) 和 g ( x ) 的解析式，并求 f ( x ) 的单调区间；‎ ‎‎ ‎，若曲线 y = f ( x ) 和曲线 ‎2‎ （2） 设 g ' (x) 为 g(x) 的导数，当 x > 0 ， l£ - 时，证明： f ( x ) > g ' (x) sin x + le x ．‎ ‎（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）‎ 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 ìïx = 5 cosa(a为参数)．以坐标 ï î ‎1 í y = sina 原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 ‎)‎ rcos(q+ p = 8 ．‎ ‎3‎ (1) 写出C1 的普通方程和C2 的直角坐标方程；‎ (2) 设点 M 在C1 上，点 N 在C2 上，求| MN | 的最小值及此时 M 的直角坐标．‎ ‎23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 f (x) =| x + 2 | + | 2x - 3 | ．‎ （1） 若关于 x 的不等式 f (x) < m2 - 5 m 的解集不是空集，求m 的取值范围；‎ ‎2‎ （2） 设 f (x) 的最小值为l，若正实数 a, b, c 满足 a + b + c = l．‎ a2 + b2 + a2 + c2 + b2 + c2 ³ 证明：‎ ‎7 ．‎ c b a ‎2018—2019 学年下学期佛山一中、石门中学、顺德一中、国华纪中期末联考高二年级理科数学答案 命题学校：石门中学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A C B A B C C A B D A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ‎13． 3 - 4 i ；14． 1+ ‎5 5‎ ‎13 3 3‎ ‎；；15． 2n +1 ；16． ；‎ ‎2 8‎ 选择题和填空题部分题目详解 ‎4【解析】当汽车停止时， v(t) = 12 - 4t + ‎‎ ‎20‎ t +1‎ ‎‎ = 0 ，解得： t = 4 或t = -2 （舍去负值）‎ ‎4 20‎ 所以 s = (12 - 4t + )dt = (12t - 2t 2 + 20 ln(t + 1)) | 4= 16 + 20 ln 5‎ ò0‎ ‎12【解析】不妨设 x < x ‎t +1‎ ‎， f (x1 ) - f (x2 ) < 1，可得： f (x ) - x ‎0‎ > f (x ) - x ‎1 2 x - x ‎1 1 2 2‎ ‎1 2‎ 令 F (x) = f (x) - x ，则 F (x) 在[1, 2] 单调递减，所以 F ' (x) £ 0 在[1, 2] 上恒成立 ‎' aex (x -1)‎ F (x) = -1 £ 0‎ x2‎ 当 x = 1 时， a Î R x2 ' -x(x2 - 2x + 2)‎ 当 x Î(1, 2] 时， a £ = g (x) ，则 g (x) = < 0‎ ‎ ‎ ex (x -1)‎ 所以 g(x) 在[1, 2] 单调递减，是 g(x)‎ ‎‎ min ‎‎ = g(2) = 4‎ e2‎ ‎ex (x -1)2‎ ‎，所以 a Î(-¥, 4 ]‎ e2‎ ‎15【解析】（数学归纳法）由 a = 3 ， S = 2na - 3n2 - 4n, n Î N * ，可得 a = 5 ， a = 7‎ ‎1 n n+1 2 3‎ 归纳猜想： an = 2n +1 ，再由数学归纳法可证明结论成立。‎ ‎16【解析】由 AB = 2 = 2R 所以可知 AB 为直径，所以ÐC = p，设ÐA = q ‎2‎ 则 AC = 2 cosq，在△ACD 中，有 AD = 2 cos2 q,CD = 2 cosqsinq,‎ 所以△ACD 的面积 S (q) = 1 ´ AD ´CD = 2 cos 3qsinq,qÎ(0, p  ‎)‎ ‎2 2‎ 方法一：（导数法）‎ S ' (q) = 2 cos2 q(cos2 q- 3sin2 q) = 2 cos2 q(cosq+ ‎3 sinq)(cosq- ‎3 sinq)‎ qÎ p '‎ ‎p p '‎ 所以当 (0, ) 时， S (q) > 0 ，当qÎ( , ) 时， S (q) < 0 ，‎ ‎6 6 2‎ p p p 所以 S (q) 在(0, ) 上单调递增，在( , ) 上单调递减，‎ ‎6 6 2‎ 所以当q= p时， △ACD 的面积的最大值为 ‎6‎ ‎p ‎3 3‎ S ( ) = ‎6 8‎ 方法二：（均值不等式）‎ ‎2 6 2‎ ‎‎ cos2 q ‎‎ cos2 q ‎‎ cos2 q 2‎ S (q) = 4 cos qsin ‎q= 4 ´ 27 ´ ´ ´ ‎3 3 3‎ ‎sin q cos2 q ‎‎ cos2 q ‎‎ cos2 q 2‎ ‎cos2 q+ cos2 q+ cos2 q+ ‎3 3 3‎ ‎‎ sin2 q ‎1‎ ‎4‎ 因为 ´ ´ ‎sin ‎q£ ( ) = ‎3 3 3 4 4 4‎ 当且仅当 ‎cos2 q 3‎ ‎‎ = sin ‎2 q，即q= p ‎6‎ ‎‎ 时等号成立，即 S (q) £ = ‎4 ´ 27 ´ 1‎ ‎44‎ ‎3 3‎ ‎8‎ 三、解答题：共 70 分。‎ ‎17．【解析】（1） f (x) 的定义域为(0,1) U (1, +¥) 1 分 f ' (x) = ln x -1 ， 2 分 ‎(ln x)2‎ 当 f ' (x) > 0 时， x > e ， f (x) 单调递增； 3 分 当 f ' (x) < 0 时， 0 < x < 1或1 < x < e ， f (x) 单调递减； 4 分 所以 f (x) 的增区间为(e, +¥) ； f (x) 的减区间为(0,1) ，(1, e)‎ ‎…………………………6 分 ‎（2）由（1）知 f (x) 在[2, e] 单调递减，[e, 3] 单调递增； 7 分 知 f (x) 的最小值为 f (e) = e ， 又 f (2) = 2 , f (3) = 3 9 分 ln 2 ln 3‎ f (2) - f (3) = 2 - 3 = 2 ln 3 -3ln 2 = ln 9 -ln 8 > 0 10 分 ln 2 ln 3 ln 2 ln 3 ln 2 ln 3‎ 所以 f (x) 在[2, 3] 上的值域为[e,‎ ‎2 ] ，‎ ln 2‎ 所以实数 m 的取值范围为(‎ ‎2‎ ln 2‎ ‎- e, +¥)‎ ‎…………………………………………………12 分 ‎18【解析】（1）由题意，男生人数为100 ´ 550‎ ‎1000‎ ‎= 55 ，‎ 女生人数为100 ´ 450‎ ‎1000‎ 所以 2×2 列联表为：‎ ‎= 45 ， 1 分 选择“物理”‎ 选择“历史”‎ 总计 男生 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 女生 ‎25‎ ‎20‎ ‎45‎ 总计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ a = 45,b = 20 2 分 假设 H0 ：选择科目与性别无关,所以 K 2 的观测值 ‎100(45 ´ 20 - 25 ´10) 2‎ k = » 8.129 > 6.635 ， 4 分 ‎70 ´ 30 ´ 55´ 45‎ 查表可得： P (K 2 ³ k ) < 0.01 ,所以有 99%的把握认为选择科目与性别有关． 5 分 ‎（2）从 45 名女生中分层抽样抽 9 名女生，所以这 9 名女生中有 5 人选择物理，4 人选择历史，9 名女生中再选择 4 名女生，则这 4 名女生中选择历史的人数 X 可为 0，1，2，3，4． 设事件 X 发生概率为 P( X ) ，则 C 4 5‎ ‎C3C1 40‎ ‎C 2C 2 60‎ ‎9‎ ‎9‎ P( X = 0) = 5 = ， P( X = 1) = 5 4 = ， P( X = 2) = 5 4 = C C C ‎4‎ ‎9‎ C1C3‎ ‎126‎ ‎20‎ ‎4 126‎ C 4 1‎ ‎4 126‎ P( X = 3) = 5 4 = ， P( X = 4) = 4 =10 分 C C ‎9‎ ‎9‎ ‎4 126 4 126‎ 所以 X 的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎5‎ ‎126‎ ‎20‎ ‎63‎ ‎10‎ ‎21‎ ‎10‎ ‎63‎ ‎1‎ ‎126‎ 所以 X 的数学期望 EX = 0´ ‎5 +1´ ‎40 + 2´ ‎60 + 3´ ‎20 + 4´ 1‎ ‎= 16 ………12 分 ‎126 126 126 126 126 9‎ ‎19【解析】（1） f (x) 的定义域为(0, +¥)‎ ‎……………………………………………1 分 mx2 - 2x + m f ' (x) = ， f x2‎ ‎' (x) = 0, 则mx2‎ ‎- 2x + m = 0 2 分 当 m £ 0 时，则 f ' (x) < 0 ， f (x) 在(0, +¥) 单调递减； 3 分 当0 < m < 1 时， mx2 - 2x + m = 0 ， D > 0 有两个根 x , x ，不妨设 x < x ‎1+ 1- m2‎ ‎2‎ ‎1 2 1 2‎ ‎1- 1- m2‎ 则 x1 = ‎m , x2 = ‎m ，由 x1 + x2 = m > 0, x1x2 = 1 ，所以0 < x1 < x2‎ 所以 f ' (x) < 0 时， x < x < x ‎， f (x) 单调递减；‎ ‎1 2‎ ‎1‎ ‎2‎ f ' (x) > 0 ， 0 < x < x 或 x > x ‎， f (x) 单调递增； 5 分 ‎1- 1- m2‎ ‎1+ 1- m2‎ 当 m ³ 1时，方程 mx2 - 2x + m = 0 的D £ 0 ，则 f ' (x) ³ 0 ， f (x) 在(0, +¥) 单调递增； 综上所述：当 m £ 0 时， f (x) 的减区间为(0, +¥) ；‎ 当0 < m < 1 时， f (x) 的减区间为( , ) ，‎ m m ‎1- 1- m2‎ ‎1+ 1- m2‎ f (x) 增区间为(0, ) 和( , +¥)‎ m m 当 m ³ 1时， f (x) 的增区间为(0, +¥) ． 7 分 ‎（2）令 F (x) = f (x) - g(x) ， F (x) = mx - m - 2 ln x - 2e x x ‎‎ ‎……………………………8 分 ‎' mx2 - 2x + m + 2e mx2 + m + 2(e - x)‎ F (x) = = ³ 0 ，所以 F (x) 在[1, e] 单调递增 x2 x2‎ F (1) = -2e < 0‎ ‎， F (e) = me - m - 4‎ e ‎‎ ‎， 要 使 得 ‎‎ F (x) = 0‎ ‎‎ 在 [1, e] 有 解 ， 当 且 仅 当 F (e) = me - m - 4 ³ 0 ，解得： m ³ e ‎4e e2 -1‎ ‎………………………………………………12 分 ‎20【解析】（1）由题意得样本中包裹件数在 101～300 之间的天数为 36，频率 f = 36 = 3 ，‎ ‎60 5‎ 故可估计概率为 3 ， 未来 5 天中，在 101～300 之间的天数服从二项分布，即 X : ‎5‎ ‎3‎ B(5, ) ，‎ ‎5‎ 故所求概率为1- P( X = 0) - P( X = 1) = 1- ‎( 2 5 - C 1 ´( 2 4 ´ 3 = 2853 4 分 ‎5‎ ‎)‎ ‎)‎ ‎5 5 5 3125‎ ‎（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：‎ 包裹重量（单位： kg ）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 快递费（单位：元）‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ 包裹件数 ‎43‎ ‎30‎ ‎15‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎10 ´ 43 +15´ 30 + 20 ´15 + 25´8 + 30 ´ 4‎ 故样本中每件快递收取的费用的平均值为 ‎100‎ ‎= 15‎ 故估计该代办点对每件快递收取的费用的平均值为 15 元 6 分 ‎②代办点不应将前台工作人员裁员 1 人，理由如下：‎ 包裹件数范围 ‎0～100‎ ‎101～200‎ ‎201～300‎ ‎301～400‎ ‎401～500‎ 包裹件数（近似处理）‎ ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 实际揽件数 ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 频率 ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ E(Y )‎ ‎50 ´ 0.1+150 ´ 0.1+ 250 ´ 0.5 + 350 ´ 0.2 + 450 ´ 0.1 = 260‎ 根据题意及（2）①，搅件数每增加 1，代办点快递收入增加 15（元）， 若不裁员，则每天可揽件的上限为 450 件，代办点每日揽件数情况如下：‎ 故代办点平均每日利润的期望值为 260 ´15 ´ 1 - 3´110 = 970 （元）； 8 分 ‎3‎ 若裁员 1 人，则每天可揽件的上限为 300 件，代办点每日揽件数情况如下：‎ 包裹件数范围 ‎0～100‎ ‎101～200‎ ‎201～300‎ ‎301～400‎ ‎401～500‎ 包裹件数（近似处理）‎ ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 实际揽件数 ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎300‎ ‎300‎ 频率 ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ E(Y )‎ ‎50 ´ 0.1+150 ´ 0.1+ 250 ´ 0.5 + 300 ´ 0.2 + 300 ´ 0.1 = 235‎ 则代办点平均每日利润的期望值为 235 ´15 ´ 1 - 2 ´110 = 955 （元） 11 分 ‎3‎ 故代办点不应将前台工作人员裁员 1 人 12 分 ‎21【解析】(Ⅰ) 曲线 y = f ( x ) 和曲线 y = g ( x ) 都过点 P(0,1) ，‎ 所以 f (0) = a = 1 ， g (0) = d = 1 1 分 f ' ( x ) = ex (cos x - sin x) + b ， f ' (0) = 1 + b = 1 ，所以b = 0‎ g ' ( x ) = x - cos x + c ， g ' (0) = -1 + c = 1 ，所以c = 2‎ f ( x ) = ex cos x, g (x ) = 1 x 2 - sin x + 2x + 1‎ ‎2‎ ‎‎ ‎…………………………………………………3 分 ‎)‎ 所以 f ' ( x ) = ex (cos x - sin x) = 2ex cos(x + p ， 4 分 ‎4‎ ‎)‎ 当 f ' ( x ) = 2ex cos(x + p > 0 ， - 3p+ 2kp< x < p+ ‎‎ ‎2kp, k Î Z ‎4 4 4‎ 当 f ' ( x ) = ‎2ex cos(x + p < 0 ， p + 2kp< x < 5p + 2kp, k Î Z ‎)‎ ‎4 4 4‎ ( ) ‎3p p 所以 f x 的增区间(- + 2kp,‎ ‎p + 2kp), k Î Z ，减区间为： (‎ ‎+ 2kp,‎ ‎5p + 2kp), k Î Z ‎4 4 4 4‎ ‎…………………………………………………………………………………………………6 分 ‎（Ⅱ）先证： ex cos x > (x - cos x + 2) sin x - 2ex 即证： ex (cos x + 2) > (x - cos x + 2) sin x ‎2‎ 因为 x > 0 ， -1 £ cos x £ 1 ，所以cos x + > 0, x - cos x + 2 > 0‎ ex 即证：‎ ‎> sin x ‎‎ ‎……………………………………………………………8 分 cos x + 2‎ x - cos x + 2‎ 令 F (x) = ‎ex x - cos x + 2‎ ‎， G(x) = ‎sin x F ' (x) = ‎ex (x - sin x - cos x +1) (x - cos x + 2)2‎ ‎‎ cos x + 2‎ ‎，因为 x > 0 ，所以 x - sin x > 0,1 - cos x ³ 0‎ 所以 F ' (x) > 0 ，所以 F (x) > F (0) = 1 10 分 u + 2‎ 令v = sin x,u = cos x ，所以G(x) = v ‎‎ 表示两点 A(u,v) 与 B(- ‎‎ ‎2, 0) 斜率 k ，‎ 其中u2 + v2 = 1 ，由图可知v = k (u + 2) 与圆u2 + v2 = 1 相切 k 有最大值1 11 分 max G(x) = 1 ， F (x) > 1 ³ G(x) ，所以 f ( x ) > g ' (x) sin x - ‎2e x 。‎ ‎2‎ 因为l£ - ,‎ ‎ex cos x > (x - cos x + 2) sin x - ‎2ex ³ (x - cos x + 2) sin x + lex ‎………12 分 方法二：证明： ex cos x > (x - cos x + 2) sin x - ‎①当sin x £ 0 时 ‎2ex 由 x > 0, x - cos x + 2 > 0,e x (cos x + 2) > 0,(x - cos x + 2) sin x £ 0‎ 所以ex (cos x + 2) > (x - cos x + 2) sin x ‎2‎ ‎②当sin x > 0 时， 因为cos x - sin x ³ - 所以(x - cos x + 2) sin x + (cos x - sin x)e x ³ (x - cos x + 2) sin x - 下证： ex cos x > (x - cos x + 2) sin x + (cos x - sin x)ex 化简可得： (x - cos x + 2) sin x - sin xe x < 0‎ 因为 x > 0, x - cos x + 2 > 0,‎ 当sin x ³ 0 时， x - cos x + 2 - e x < 0‎ ‎‎ ‎2e x 令 F (x) = x - cos x + 2 - e x ， F ' (x) = 1 + sin x - e x ， F '' (x) = -cos x - e x < 0‎ F ' (x) 在(0, +¥) 单调递减，所以 F ' (x) < F ' (0) = 0‎ 所以 F (x) 在(0, +¥) 单调递减，所以 F (x) < F (0) = 0‎ 综上所述： ex cos x > (x - cos x + 2) sin x - 2ex x 2 2 2 2‎ ‎x2 2‎ ‎22【解析】(1) C1 : (‎ ‎) + y ‎5‎ ‎= (cosa)‎ ‎+ (sina)‎ ‎= 1 ，化简： + y ‎5‎ ‎= 1 ………2 分 C ： rcosqcos p- rsinqsin p = 8 ，由 x=rcosq, y=rsinq,‎ ‎ ‎ ‎2‎ 化简可得： x - ‎3 3‎ ‎3y -16 = 0 4 分 x2 2‎ 所以C1 的普通方程为： + y ‎5‎ ‎= 1， C2 的直角坐标方程为： x - ‎3y -16 = 0 ；……5 分 ‎(2) 由题意，可设点 M 的直角坐标为( 5 cosa, sina) ，因为C2 是直线，‎ 所以| MN |‎ ‎的最小值，即为 M 到C2 的距离 d (a) 的最小值， 6 分 d (a) = | 5 cosa- ‎10‎ ‎3 sina-16 | =| 2( cosa- 2‎ ‎5‎ ‎2 2‎ ‎6‎ ‎sina) - 8 |=| 2 cos(a+a0) - 8 |‎ ‎3‎ ‎2 2‎ 其中cosa0 = ‎4 ，sina0 = ‎……………………………………………………………7 分 ‎4‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎2‎ 当且仅当cosa= ， sina= - 时， d (a) 取得最小值，最小值为8 - ，‎ ‎4 4‎ 此时 M 的直角坐标为(5 2 , - 6 ) ． 10 分 ‎4 4‎ ‎23 【 解 析 】（ 1 ） 不 等 式 ‎f (x) > m2 - 5 m 的 不 是 空 集 ， 等 价 于 ‎2‎ ‎f (x)‎ ‎‎ 的 最 小 值 f (x)‎ ‎‎ min ‎< m2 - 5 m ‎2‎ ‎‎ ì3x -1, x ³ 3‎ ‎2‎ ï ‎3‎ ï ï 3 7‎ f (x) =| x + 2 | + | 2x - 3 |= í5 - x, -2 £ x < ï ï1- 3x, x < -2‎ ïî ‎2 ，可知 f (x)min = f ( 2) = 2‎ 所以 7 < m2 - 5 m ，解得： m < -1或m > 7‎ ‎‎ ‎………………………………………5 分 ‎2 2 2‎ ‎（2）由（1）可知 f (x) 的最小值为 7 ，所以 a + b + c = 7 6 分 ‎2 2‎ a2 + b2 a2 + c2 b2 + c2 2ab 2ac 2bc 正实数 a, b, c ，由均值不等式可知：‎ ‎+ + ³ + + …7 分 c b a c b a 又因为 2ab + 2ac + 2bc = a(b + c ) + b(a + c ) + c(b + a ) ³ 2(a + b + c) = 7‎ c b a c b c a a b ‎‎ ‎………10 分