数学卷·2018届重庆市杨家坪中学高二上学期第三次月考数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届重庆市杨家坪中学高二上学期第三次月考数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年重庆市杨家坪中学高二（上）第三次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．命题：“∀x∈R，cos2x≤cos2x”的否定为（　　）‎ A．∀x∈R，cos2x＞cos2x B．∃x∈R，cos2x＞cos2x C．∀x∈R，cos2x＜cos2x D．∃x∈R，cos2x≤cos2x ‎2．如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（　　）‎ A．圆锥 B．三棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 ‎3．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±2x C．y=±4x D．y=±x ‎4．函数y=f（x）的图象在点P（5，f（5））处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（　　）‎ A． B．1 C．2 D．0‎ ‎5．直线xcosα+y+2=0的倾斜角范围是（　　）‎ A．[，）∪（，] B．[0，]∪[，π） C．[0，] D．[，]‎ ‎6．已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中：‎ ‎①若α∥β，l⊂α，则l∥β；‎ ‎②若α∥β，l⊥α，则l⊥β；‎ ‎③若l∥α，m⊂α，则l∥m；‎ ‎④若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β．‎ 其中，真命题有（　　）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎7．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎9．函数y=ax3+bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和，则（　　）‎ A．a﹣2b=0 B．2a﹣b=0 C．2a+b=0 D．a+2b=0‎ ‎10．若函数f（x）=x3﹣3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（　　）‎ A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜‎ ‎11．设F1，F2是双曲线C：的两个焦点，点P在C上，且=0，若抛物线y2=16x的准线经过双曲线C的一个焦点，则|||的值等于（　　）‎ A．2 B．6 C．14 D．16‎ ‎12．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分共20分）‎ ‎13．曲线y=ex+x在点（0，1）处的切线方程为　　．‎ ‎14．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为 ‎　　m3‎ ‎15．若直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为　　．‎ ‎16．椭圆Γ： =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；‎ ‎（Ⅱ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．‎ ‎18．设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=﹣对称，且f′（1）=0‎ ‎（Ⅰ）求实数a，b的值 ‎（Ⅱ）求函数f（x）的极值．‎ ‎19．椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为，过M（0，﹣1）的直线l交椭圆于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ） 求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ） 若直线l交x轴于N，，求直线l的方程．‎ ‎20．已知函数f（x）=lnx﹣．‎ ‎（1）当a=﹣3时，求函数f（x）的单调增区间；‎ ‎（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为，求实数a的值．‎ ‎21．在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点．‎ ‎（1）证明：AC⊥SB；‎ ‎（2）求三棱锥B﹣CMN的体积．‎ ‎22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1和F2，由4个点M（﹣a，b）、N（a，b）、F2和F1组成了一个高为，面积为3的等腰梯形．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求△F2AB面积的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年重庆市杨家坪中学高二（上）第三次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．命题：“∀x∈R，cos2x≤cos2x”的否定为（　　）‎ A．∀x∈R，cos2x＞cos2x B．∃x∈R，cos2x＞cos2x C．∀x∈R，cos2x＜cos2x D．∃x∈R，cos2x≤cos2x ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，按命题否定的规则写出即可 ‎【解答】解：∵命题：“∀x∈R，cos2x≤cos2x”是一个全称命题 ‎∴它的否定是“∃x∈R，cos2x＞cos2x”‎ 故选B ‎　‎ ‎2．如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（　　）‎ A．圆锥 B．三棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】如图：该几何体的正视图与俯视图均为矩形，侧视图为三角形，易得出该几何体的形状．‎ ‎【解答】解：该几何体的正视图为矩形，俯视图亦为矩形，侧视图是一个三角形，‎ 则可得出该几何体为三棱柱（横放着的）．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±2x C．y=±4x D．y=±x ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】运用椭圆的离心率公式可得a，b的关系，再由双曲线的渐近线方程，即可得到．‎ ‎【解答】解：椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，‎ 则=，‎ 即有=，‎ 则双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，‎ 即有y=±x．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．函数y=f（x）的图象在点P（5，f（5））处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（　　）‎ A． B．1 C．2 D．0‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】利用切线方程，计算f（5）、f′（5）的值，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：将x=5代入切线方程y=﹣x+8，可得y=3，即f（5）=3‎ ‎∵f′（5）=﹣1‎ ‎∴f（5）+f′（5）=3﹣1=2‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．直线xcosα+y+2=0的倾斜角范围是（　　）‎ A．[，）∪（，] B．[0，]∪[，π） C．[0，] D．[，]‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是直线的斜率与倾斜角之间的转化关系，由直线的方程xcosα+y+2=0，我们不难得到直线的斜率的表达式，结合三角函数的性质，不得得到斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系，进一步可以得到倾斜角的取值范围．‎ ‎【解答】解：设直线的倾斜角为θ，‎ 则tanθ=﹣cosα．‎ 又﹣1≤cosα≤1，‎ ‎∴﹣≤tanθ≤．‎ ‎∴θ∈[0，]∪[，π）．‎ 故选B ‎　‎ ‎6．已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中：‎ ‎①若α∥β，l⊂α，则l∥β；‎ ‎②若α∥β，l⊥α，则l⊥β；‎ ‎③若l∥α，m⊂α，则l∥m；‎ ‎④若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β．‎ 其中，真命题有（　　）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】①若α∥β，l⊂α，则l∥β，由线面平行的定义进行判断； ②若α∥β，l⊥α，则l⊥β，由线面垂直的判定定理进行判断；‎ ‎③若l∥α，m⊂α，则l∥m，由线面平行的性质定理进行判断； ④若α⊥‎ β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β，由线面垂直的性质定理进行判断．‎ ‎【解答】解：①若α∥β，l⊂α，则l∥β 是真命题，由α∥β，l⊂α知l与β没有公共点，由定义即；‎ ‎②若α∥β，l⊥α，则l⊥β是真命题，因为两平行平面中的一个垂直于一条直线，另一个也必垂直于这条直线；‎ ‎③若l∥α，m⊂α，则l∥m 是假命题，因为l∥α，m⊂α 两直线的关系可以是平行，也可以是异面；‎ ‎④若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β，是假命题，由面面垂直的性质定理知只有当m⊂α时，结论者正确的，题设条件不能保证这一点．‎ 综上①②正确，③④错误 故选 C．‎ ‎　‎ ‎7．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离．‎ ‎【解答】解：∵F是抛物线y2=x的焦点，‎ F（）准线方程x=，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=，|BF|=，‎ ‎∴|AF|+|BF|==3‎ 解得，‎ ‎∴线段AB的中点横坐标为，‎ ‎∴线段AB的中点到y轴的距离为．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．‎ ‎【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，‎ 代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，‎ 因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，‎ 即，‎ 故选择C．‎ ‎　‎ ‎9．函数y=ax3+bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和，则（　　）‎ A．a﹣2b=0 B．2a﹣b=0 C．2a+b=0 D．a+2b=0‎ ‎【考点】函数在某点取得极值的条件．‎ ‎【分析】由函数极值的性质可知，极值点处的导数为零，且左右两侧导数异号，据此可以列出关于a，b的方程（组），再进行判断．‎ ‎【解答】解：设f（x）=ax3+bx2（a≠0），‎ 则f′（x）=3ax2+2bx，‎ 由已知得且a＞0，即 化简得a+2b=0．‎ 故选D ‎　‎ ‎10．若函数f（x）=x3﹣3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（　　）‎ A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】先对函数f（x）进行求导，然后令导函数等于0，由题意知在（0，1）内必有根，从而得到b的范围．‎ ‎【解答】解：因为函数在（0，1）内有极小值，所以极值点在（0，1）上．‎ 令f'（x）=3x2﹣3b=0，得x2=b，显然b＞0，‎ ‎∴x=±．‎ 又∵x∈（0，1），∴0＜＜1．∴0＜b＜1．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．设F1，F2是双曲线C：的两个焦点，点P在C上，且=0，若抛物线y2=16x的准线经过双曲线C的一个焦点，则|||的值等于（　　）‎ A．2 B．6 C．14 D．16‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】求得抛物线的准线方程x=﹣4，可得双曲线的c=4，由向量垂直的条件和勾股定理，可得PF12+PF22=F1F22=4c2=64，①由双曲线的定义可得|PF1﹣PF2|=2a=6，②，运用平方相减即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=16x的准线为x=﹣4，‎ 由题意可得双曲线的一个焦点为（﹣4，0），‎ 即有c=4，‎ 由=0可得PF1⊥PF2，‎ 由勾股定理可得，PF12+PF22=F1F22=4c2=64，①‎ 由双曲线的定义可得|PF1﹣PF2|=2a=6，②‎ ‎①﹣②2，可得2PF1•PF2=28，‎ 即有|||的值等于14．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）‎ ‎【考点】函数的单调性与导数的关系．‎ ‎【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．‎ ‎【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，‎ ‎∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，‎ 即当x＞0时，g′（x）恒小于0，‎ ‎∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，‎ 又∵g（﹣x）====g（x），‎ ‎∴函数g（x）为定义域上的偶函数 又∵g（﹣1）==0，‎ ‎∴函数g（x）的图象性质类似如图：‎ 数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0‎ ‎⇔或，‎ ‎⇔0＜x＜1或x＜﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分共20分）‎ ‎13．曲线y=ex+x在点（0，1）处的切线方程为　y=2x+1　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】欲求在点（0，1）处的切线的方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．‎ ‎【解答】解：∵y=ex+x，‎ ‎∴y′=ex+1，‎ ‎∴曲线y=ex+x在点（0，1）处的切线的斜率为：k=2，‎ ‎∴曲线y=ex+x在点（0，1）处的切线的方程为：y﹣1=2x，即y=2x+1．‎ 故答案为：y=2x+1．‎ ‎　‎ ‎14．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为 ‎　2　m3‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，‎ 棱锥的底面是底为2，高为1的平行四边形，故底面面积S=2×1=2m2，‎ 棱锥的高h=3m，‎ 故体积V==2m3，‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎15．若直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为　（﹣1，1]∪{﹣}　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】曲线表示以原点O（0，0）为圆心、半径等于1的半圆，数形结合求得当直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围．‎ ‎【解答】解：曲线即 x2+y2=1 （x≥0），表示以原点O（0，0）为圆心、半径等于1的半圆（位于y轴及y轴右侧的部分），‎ 如图：当直线经过点A（0，﹣1）时，求得b=﹣1；‎ 当直线经过点C（0，1）时，求得b=1；‎ 当直线和圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径可得=1，求得b=（舍去），或 b=﹣，‎ 数形结合可得当直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为（﹣1，1]∪{﹣}，‎ 故答案为：（﹣1，1]∪{﹣}．‎ ‎　‎ ‎16．椭圆Γ： =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于　　．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，可得，进而．‎ 设|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得，解出a，c即可．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ 由直线可知倾斜角α与斜率有关系=tanα，∴α=60°．‎ 又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，∴，∴‎ ‎．‎ 设|MF2|=m，|MF1|=n，则，解得．‎ ‎∴该椭圆的离心率e=．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；‎ ‎（Ⅱ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）取AC中点G，连结FG、BG，推导出EF∥BG，由此能证明EF∥面ABC．‎ ‎（Ⅱ）连结EC，VA﹣BCDE=VE﹣ABC+VE﹣ADC，由此能求出四棱锥A﹣BCDE的体积．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）取AC中点G，连结FG、BG，‎ ‎∵F，G分别是AD，AC的中点 ‎∴FG∥CD，且FG=DC=1．‎ ‎∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等 ‎∴EF∥BG．‎ ‎∵EF⊄面ABC，BG⊂面ABC，‎ ‎∴EF∥面ABC．‎ 解：（Ⅱ）连结EC，该四棱锥分为两个三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC．‎ ‎∴四棱锥A﹣BCDE的体积VA﹣BCDE=VE﹣ABC+VE﹣ADC==．‎ ‎　‎ ‎18．设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=﹣对称，且f′（1）=0‎ ‎（Ⅰ）求实数a，b的值 ‎（Ⅱ）求函数f（x）的极值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；二次函数的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先对f（x）求导，f（x）的导数为二次函数，由对称性可求得a，再由f′（1）=0即可求出b ‎（Ⅱ）对f（x）求导，分别令f′（x）大于0和小于0，即可解出f（x）的单调区间，继而确定极值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因f（x）=2x3+ax2+bx+1，故f′（x）=6x2+2ax+b 从而f′（x）=6y=f′（x）关于直线x=﹣对称，‎ 从而由条件可知﹣=﹣，解得a=3‎ 又由于f′（x）=0，即6+2a+b=0，解得b=﹣12‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3+3x2﹣12x+1‎ f′（x）=6x2+6x﹣12=6（x﹣1）（x+2）‎ 令f′（x）=0，得x=1或x=﹣2‎ 当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上是增函数；‎ 当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣2，1）上是减函数；‎ 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数．‎ 从而f（x）在x=﹣2处取到极大值f（﹣2）=21，在x=1处取到极小值f（1）=﹣6．‎ ‎　‎ ‎19．椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为，过M（0，﹣1）的直线l交椭圆于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ） 求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ） 若直线l交x轴于N，，求直线l的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据右焦点到直线的距离为，可得，利用椭圆的离心率为，可得，从而可得，，故可求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0），利用，可得x2﹣x0，y2），设直线l的方程为y=kx﹣1（k≠0）．与椭圆方程联立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1﹣8k2=0，由此即可求得直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设右焦点为（c，0）（c＞0）‎ ‎∵右焦点到直线的距离为，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵椭圆的离心率为，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴椭圆的方程为；‎ ‎（Ⅱ）设A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0）‎ ‎∵，‎ ‎∴x2﹣x0，y2）‎ ‎∴①‎ 易知直线斜率不存在时或斜率为0时①不成立 于是设直线l的方程为y=kx﹣1（k≠0）．‎ 与椭圆方程联立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1﹣8k2=0②‎ ‎∴③④‎ 由①③可得，代入④整理可得：8k4+k2﹣9=0‎ ‎∴k2=1‎ 此时②为5y2+2y﹣7=0，判别式大于0‎ ‎∴直线l的方程为y=±x﹣1‎ ‎　‎ ‎20．已知函数f（x）=lnx﹣．‎ ‎（1）当a=﹣3时，求函数f（x）的单调增区间；‎ ‎（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为，求实数a的值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（1）要求函数f（x）的单调增区间，即求导函数值大于等于0的区间，我们根据求出函数导函数的解析式，结合函数的定义域，即可得到答案．‎ ‎（2）由（1）中函数的导函数的解析式，我们对a的取值进行分析讨论，求出对应的函数的单调区间，并分析函数f（x）在[1，e]上何时取最小值，分析后即可得到答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣，∴函数的定义域为（0，+∞）‎ 且f'（x）=+=，‎ a=﹣3时：f′（x）=‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞3，‎ 故f（x）在（3，+∞）递增；‎ ‎（2）由（1）可知，f'（x）=，‎ ‎①若a≥﹣1，则x+a≥0，则f'（x）≥0恒成立，‎ 函数f（x）在[1，e]上为增函数 ‎∴f（x）的最小值为：f（1）=﹣a=，此时a=﹣（舍去）‎ ‎②若a≤﹣e，则f'（x）≤0恒成立，‎ 函数f（x）在[1，e]上为减函数 ‎∴f（x）的最小值为：f（e）=1﹣=，‎ 此时a=﹣（舍去）‎ ‎③若﹣e＜a＜﹣1，当1＜x＜﹣a时，则f'（x）＜0，‎ 当﹣a＜x＜e时，f'（x）＞0，‎ ‎∴f（x）的最小值为：f（﹣a）=ln（﹣a）+1=，‎ 此时a=﹣，‎ 综上所述：a=﹣．‎ ‎　‎ ‎21．在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点．‎ ‎（1）证明：AC⊥SB；‎ ‎（2）求三棱锥B﹣CMN的体积．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（1）取AC 中点D，连接SD，DB，证明AC⊥平面SDB，由线面垂直的性质可得AC⊥SB；‎ ‎（2）由VB﹣CMN=VN﹣CMB，即可求得三棱锥B﹣CMN的体积．‎ ‎【解答】（1）证明：取AC中点D，连接SD，DB．‎ 因为SA=SC，AB=BC，所以AC⊥SD且AC⊥BD，‎ 因为SD∩BD=D，所以AC⊥平面SDB．‎ 又SB⊂平面SDB，所以AC⊥SB；‎ ‎（2）解：因为AC⊥平面SDB，AC⊂平面ABC，所以平面SDC⊥平面ABC．‎ 过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC，‎ 因为平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，所以SD⊥平面ABC．‎ 又因为NE⊥平面ABC，所以NE∥SD．‎ 由于SN=NB，所以NE=SD=‎ 所以S△CMB=CM•BM=‎ 所以VB﹣CMN=VN﹣CMB=S△CMB•NE==‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1和F2，由4个点M（﹣a，b）、N（a，b）、F2和F1组成了一个高为，面积为3的等腰梯形．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求△F2AB面积的最大值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】解：（1）由题意知b=， =3，即a+c=3①，又a2=3+c2②，联立①②解得a，c，；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），过点F1的直线方程为x=ky﹣1，代入椭圆方程消掉x得y的二次方程，△F2AB的面积S==|y1﹣y2|=，由韦达定理代入面积表达式变为k的函数，适当变形借助函数单调性即可求得S的最大值；‎ ‎【解答】解：（1）由题意知b=， =3，所以a+c=3①，‎ 又a2=b2+c2，即a2=3+c2②，‎ 联立①②解得a=2，c=1，‎ 所以椭圆方程为：；‎ ‎（2）由（1）知F1（﹣1，0），‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），过点F1的直线方程为x=ky﹣1，‎ 由得（3k2+4）y2﹣6ky﹣9=0，△＞0成立，‎ 且，，‎ ‎△F2AB的面积S==|y1﹣y2|=‎ ‎==12=，‎ 又k2≥0，所以递增，‎ 所以9+1+6=16，‎ 所以≤=3，当且仅当k=0时取得等号，‎ 所以△F2AB面积的最大值为3．‎