【数学】2019届一轮复习人教A版12．1　坐标系学案

【数学】2019届一轮复习人教A版12．1　坐标系学案

‎12．1　坐标系 ‎[知识梳理]‎ ‎1．伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．‎ ‎2．极坐标 一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．‎ ‎3．极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：‎ ‎[诊断自测]‎ ‎1．概念思辨 ‎(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．(　　)‎ ‎(2)点P的直角坐标为(－，)，那么它的极坐标可表示为.(　　)‎ ‎(3)过极点作倾斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ＝α或θ＝π＋α.(　　)‎ ‎(4)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2asinθ.(　　)‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2．教材衍化 ‎(1)(选修A4－4P15T4)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)‎ A．ρ＝，0≤θ≤ B．ρ＝，0≤θ≤ C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤ D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤ 答案　A 解析　∵y＝1－x(0≤x≤1)，‎ ‎∴ρsinθ＝1－ρcosθ(0≤ρcosθ≤1)；‎ ‎∴ρ＝.故选A.‎ ‎(2)(选修A4－4P8T5)‎ 通过平面直角坐标系中的平移变换和伸缩变换，可以把椭圆＋＝1变为圆心在原点的单位圆，求上述平移变换和伸缩变换，以及这两种变换的合成的变换．‎ 解　先通过平移变换把椭圆＋＝1变为椭圆＋＝1；再通过伸缩变换把椭圆＋＝1变为单位圆x″2＋y″2＝1.‎ 上述两种变换的合成变换是 ‎3．小题热身 ‎(1)(2017·东营模拟)在极坐标系中，已知点P，则过点P且平行于极轴的直线方程是(　　)‎ A．ρsinθ＝1 B．ρsinθ＝ C．ρcosθ＝1 D．ρcosθ＝ 答案　A 解析　先将极坐标化成直角坐标表示，P转化为点x＝ρcosθ＝2cos＝，y＝ρsinθ＝2sin＝1，即(，1)，过点(，1)且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsinθ＝1.故选A.‎ ‎(2)(2016·北京高考)在极坐标系中，直线ρcosθ－ρsinθ－1＝0与圆ρ＝2cosθ交于A，B两点，则|AB|＝________.‎ 答案　2‎ 解析　将ρcosθ－ρsinθ－1＝0化为直角坐标方程为x－y－1＝0，将ρ＝2cosθ化为直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心坐标为(1,0)，半径r＝1，又(1,0)在直线x－y－1＝0上，所以|AB|＝2r＝2.‎ 题型1　平面直角坐标系中的伸缩变换 　　将圆x2＋y2＝1‎ 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.‎ ‎(1)求曲线C的标准方程；‎ ‎(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．‎ 由题意找出(x，y)与(x1，y1)的关系，采用代入法求解．‎ 解　(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上点(x，y)，‎ 依题意，得 由x＋y＝1得x2＋2＝1，‎ 故曲线C的方程为x2＋＝1.‎ ‎(2)由解得或 不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，‎ 于是所求直线方程为y－1＝，‎ 化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，‎ 故所求直线的极坐标方程为ρ＝.‎ 方法技巧 伸缩变换后方程的求法 平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y′＝h(x′)‎ ‎，即为所求变换之后的方程．见典例．‎ 提醒：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的坐标(x′，y′)．‎ 冲关针对训练 求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．‎ 解　设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，‎ 将代入x2－＝1，得－＝1，‎ 化简得－＝1，即－＝1为曲线C′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F1(－5,0)，F2(5,0)即为所求．‎ 题型2　极坐标与直角坐标的互化 　　(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ ‎(1)用转化公式；(2)理解ρ1，ρ2的几何意义，化成ρ的二次方程后，利用韦达定理求ρ1，ρ2.‎ 解　(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.‎ ‎(2)将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，‎ 得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝ ‎.‎ 由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.‎ 方法技巧 极坐标方程与直角坐标方程的互化 ‎1．直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入直角坐标方程并化简即可．‎ ‎2．极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．‎ 冲关针对训练 ‎(2016·北京高考改编)在极坐标系中，已知极坐标方程C1：ρcosθ－ρsinθ－1＝0，C2：ρ＝2cosθ.求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状．‎ 解　由C1：ρcosθ－ρsinθ－1＝0，‎ ‎∴x－y－1＝0，表示一条直线．‎ 由C2：ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ.‎ ‎∴x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.‎ 所以C2是圆心为(1,0)，半径r＝1的圆．‎ 题型3　极坐标方程的应用 　　(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝‎ eq (10)，求l的斜率．‎ 解方程组利用韦达定理求|ρ1－ρ2|＝即可．‎ 解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．‎ 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程，得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.‎ 于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.‎ ‎|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.由|AB|＝，得cos2α＝，tanα＝±.‎ 所以l的斜率为或－.‎ 方法技巧 极坐标方程及其应用的类型及解题策略 ‎1．求极坐标方程．可在平面直角坐标系中，求出曲线方程，然后再转化为极坐标方程．‎ ‎2．求点到直线的距离．先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解．‎ ‎3．求线段的长度．先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后再求线段的长度．‎ 冲关针对训练 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (其中α为参数)，曲线C2：(x－1)2＋y2＝1.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若射线θ＝(ρ>0)与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|.‎ 解　(1)由得 所以曲线C1的普通方程为x2＋(y－2)2＝7.把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入(x－1)2＋y2＝1，得(ρcosθ－1)2＋(ρsinθ)2＝1，化简得曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ.‎ ‎(2)依题意可设A，B.‎ 因为曲线C1的极坐标方程为ρ2－4ρsinθ－3＝0，‎ 将θ＝(ρ>0)代入曲线C1的极坐标方程，得 ρ2－2ρ－3＝0，解得ρ1＝3.‎ 同理，将θ＝(ρ>0)代入曲线C2的极坐标方程，‎ 得ρ2＝，所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝3－.‎ ‎1．(2017·南阳期末)直线l：y＋kx＋2＝0与曲线C：ρ＝2cosθ有交点，则k的取值范围是(　　)‎ A．k≤－ B．k≥－ C．k∈R D．k∈R但k≠0‎ 答案　A 解析　由曲线C：ρ＝2cosθ化为ρ2＝2ρcosθ，‎ ‎∴x2＋y2＝2x，‎ 联立化为(1＋k2)x2＋(4k－2)x＋4＝0.‎ ‎∵直线l与曲线C有交点，‎ ‎∴Δ＝(4k－2)2－16(1＋k2)≥0，‎ 化为16k≤－12，‎ 解得k≤－.‎ ‎∴k的取值范围是k≤－.故选A.‎ ‎2．(2018·甘谷期末)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由可得sin2θ＝－1，再根据0≤θ<2π求得2θ＝，‎ ‎∴θ＝，∴ρ＝2sinθ＝，‎ ‎∴曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为.故选B.‎ ‎3．(2017·大庆期中)已知A，B两点的极坐标为和，则线段AB中点的直角坐标为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　∵A点的极坐标为，‎ ‎∴xA＝6×cos＝3，yA＝6×sin＝3，∴A(3，3)；同理可得B(－4，－4)．‎ 设线段AB的中点为M(m，n)，由线段的中点坐标公式可得 ‎∴线段AB中点的直角坐标为.故选D.‎ ‎4．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ 解　(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．‎ 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.‎ 由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ>0)．‎ 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．‎ 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα· ‎＝2≤2＋.‎ 当α＝－时，S取得最大值2＋.‎ 所以△OAB面积的最大值为2＋.‎ ‎[基础送分 提速狂刷练]‎ ‎1．(2018·延庆县期末)在极坐标方程中，与圆ρ＝4sinθ相切的一条直线的方程是(　　)‎ A．ρsinθ＝2 B．ρcosθ＝2‎ C．ρcosθ＝4 D．ρcosθ＝－4‎ 答案　B 解析　ρ＝4sinθ的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，‎ 选项B：ρcosθ＝2的普通方程为x＝2.‎ 圆x2＋(y－2)2＝4与直线x＝2显然相切．故选B.‎ ‎2．(2017·渭滨区月考)在极坐标系中，A，B，C，则△ABC的形状为(　　)‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 答案　C 解析　B，‎ ‎∴OA＝5，OB＝8，‎ OC＝3，‎ ‎∴∠AOB＝－＝，∠BOC＝－＝，∠AOC＝－＝，‎ 在△AOB中，由余弦定理可得 AB＝＝7，‎ 同理可得，BC＝＝7，‎ AC＝＝7，‎ ‎∴AB＝BC＝AC，‎ ‎∴△ABC是等边三角形．故选C.‎ ‎3．牛顿在1736年出版的《流数术和无穷级数》中，第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点，牛顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin＝.‎ ‎(1)求O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．‎ 解　(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，‎ 故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，‎ 直线l：ρsin＝，即ρsinθ－ρcosθ＝1，‎ 则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.‎ ‎(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，‎ 将两方程联立得解得 即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，‎ 将(0,1)转化为极坐标为.‎ ‎4．(2018·郑州模拟)在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝－2cosθ，ρcos＝1.‎ ‎(1)求曲线C1和C2的公共点的个数；‎ ‎(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|·|OQ|＝2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形．‎ 解　(1)C1的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C2的直角坐标方程为x－y－2＝0，所以曲线C2为直线，由于圆心到直线的距离为d＝>1，所以直线与圆相离，即曲线C1和C2没有公共点．‎ ‎(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则即①‎ 因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C2上，‎ 所以ρ0cos＝1，②‎ 将①代入②，得cos＝1，‎ 即ρ＝2cos为点P的轨迹方程，化为直角坐标方程为2＋2＝1，因此点P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆．‎ ‎5．(2017·湖北模拟)在极坐标系中，曲线C：ρ＝2acosθ(a>0)，l：ρcos＝，C与l有且仅有一个公共点．‎ ‎(1)求a；‎ ‎(2)O为极点，A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求|OA|＋|OB|的最大值．‎ 解　(1)曲线C：ρ＝2acosθ(a>0)，变形ρ2＝‎2aρcosθ，‎ 化为x2＋y2＝2ax，即(x－a)2＋y2＝a2.‎ ‎∴曲线C是以(a,0)为圆心，a为半径的圆．‎ 由l：ρcos＝，展开为ρcosθ＋ρsinθ＝，∴l的直角坐标方程为x＋y－3＝0.‎ 由题可知直线l与圆C相切，即＝a，解得a＝1.‎ ‎(2)不妨设A的极角为θ，B的极角为θ＋，‎ 则|OA|＋|OB|＝2cosθ＋2cos＝3cosθ－sinθ ‎＝2cos，‎ 当θ＝－时，|OA|＋|OB|取得最大值2.‎ ‎6．(2018·沈阳模拟)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋6＝0.‎ ‎(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；‎ ‎(2)若点P(x，y)在圆C上，求x＋y的最大值和最小值．‎ 解　(1)由ρ2－4ρcos＋6＝0，得 ρ2－4ρ＋6＝0，‎ 即ρ2－4ρ＋6＝0，‎ ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0，‎ 即x2＋y2－4x－4y＋6＝0为所求圆的普通方程，‎ 整理为圆的标准方程(x－2)2＋(y－2)2＝2，‎ 令x－2＝cosα，y－2＝sinα.‎ 得圆的参数方程为(α为参数)．‎ ‎(2)由(1)得，‎ x＋y＝4＋(cosα＋sinα)＝4＋2sin，‎ ‎∴当sin＝1时，x＋y的最大值为6，‎ 当sin＝－1时，x＋y的最小值为2.‎ 故x＋y的最大值和最小值分别是6和2.‎