2010年数学试题分类汇编天津卷

2010年数学试题分类汇编天津卷

‎2010年数学试题分类汇编天津卷 一、选择题 ‎1、设集合 则实数a的取值范围是 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D)‎ ‎2、设集合A=若AB,则实数a,b必满足 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎3、下列命题中，真命题是 ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎4、设函数，则的值域是 ‎（A） （B） （C）（D）‎ ‎5、命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是 ‎ (A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数 ‎（B）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数 ‎（C）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数 ‎（D）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 ‎6、若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是 ‎（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞） ‎ ‎（C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1）‎ ‎7、函数f（x）=‎ ‎ (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）‎ ‎8、设 ‎(A)ab>0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）.‎ ‎ （i）若，求直线l的倾斜角；‎ ‎ （ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且.求的值.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、C ‎【解析】本题主要考查绝对值不等式的基本解法与集合交集的运算，属于中等题。‎ 由|x-a|<1得-1b+2}‎ 因为AB,所以a+1b-2或a-1b+2，即a-b-3或a-b3，即|a-b|3‎ ‎【温馨提示】处理几何之间的子集、交、并运算时一般利用数轴求解。‎ ‎3、A ‎【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念，与存在量词、全称量词的含义，属于容易题。当m=0时，函数f（x）=x2是偶函数，所以选A.‎ ‎【温馨提示】本题也可以利用奇偶函数的定义求解。‎ ‎4、D ‎【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。‎ 依题意知，‎ ‎5、B ‎【解析】本题主要考查否命题的概念 ，属于容易题。‎ 否命题是同时否定命题的条件结论，故否命题的定义可知B项是正确的。‎ ‎【温馨提示】解题时要注意否命题与命题否定的区别。‎ ‎6、C ‎【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。‎ 由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。‎ ‎【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。‎ ‎7、C ‎【解析】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。‎ 因为f（0）=-1<‎0 f(1)=e-1>0,所以零点在区间（0，1）上，选C ‎【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。‎ ‎8、D ‎【解析】本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小的基本方法，属于容易题。‎ 因为 ‎【温馨提示】比较对数值的大小时，通常利用0，1进行，本题也可以利用对数函数的图像进行比较。‎ ‎9、B ‎【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。‎ 由及零点定理知f(x)的零点在区间（-1，0）上。‎ ‎【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。‎ 二、填空题 ‎10、D ‎【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。‎ ‎【解析】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。‎ ‎11、‎ ‎【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于容易题。‎ 因为A,B,C,D四点共圆，所以,因为为公共角，所以 ‎⊿PBC∽⊿PAB,所以=‎ ‎【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考查的热点。‎ ‎12、‎ ‎【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于中等题。‎ 因为A,B,C,D四点共圆，所以,因为为公共角，所以 ‎⊿PBC∽⊿PAB,所以.设OB=x，PC=y，则有，所以 ‎【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考查的热点。‎ ‎13、．‎ 由极坐标方程与普通方程的互化式知，这两条曲线的普通方程分别为．解得由得点（-1，1）的极坐标为．‎ ‎14、‎ ‎15、‎ 本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题。‎ 令y=0得t=-1，所以直线与x轴的交点为（-1.0）‎ 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以圆C的方程为 ‎【温馨提示】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。‎ 三、解答题 ‎16、【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力.满分12分.‎ ‎(I)解：因为四边形ADEF是正方形，所以FA//ED.故为异面直线CE与AF所成的角.‎ 因为FA平面ABCD，所以FACD.故EDCD.‎ 在Rt△CDE中，CD=1，ED=，CE==3,故cos==.‎ 所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为.‎ ‎(Ⅱ)证明：过点B作BG//CD,交AD于点G，则.由,可得BGAB,从而CDAB,又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF.‎ ‎(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得AG=，即G为AD的中点.取EF的中点N，连接GN，则GN EF,因为BC//AD,所以BC//EF.过点N作NMEF，交BC于M，则为二面角B-EF-A的平面角。‎ 连接GM，可得AD平面GNM,故ADGM.从而BCGM.由已知，可得GM=.由NG//FA,FAGM,得NGGM.‎ 在Rt△NGM中，tan,‎ 所以二面角B-EF-A的正切值为.‎ ‎17、【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，满分12分。‎ 方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，‎ 点A为坐标原点，设,依题意得,‎ ‎,,‎ ‎（1） 解：易得,‎ 于是 ‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为 ‎（2） 证明：已知,,‎ 于是·=0，·=0.因此，,,又 所以平面 ‎(3)解：设平面的法向量，则,即 不妨令X=1,可得。由（2）可知，为平面的一个法向量。‎ 于是，从而 所以二面角的正弦值为 方法二：（1）解：设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=‎ 链接B‎1C,BC1，设B‎1C与BC1交于点M,易知A1D∥B‎1C，由,可知EF∥BC1.故是异面直线EF与A1D所成的角，易知BM=CM=,所以 ,所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为 ‎（2）证明：连接AC，设AC与DE交点N 因为，所以，从而，又由于,所以，故AC⊥DE,又因为CC1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE.‎ 连接BF，同理可证B‎1C⊥平面ABF,从而AF⊥B‎1C,所以AF⊥A1D因为，所以AF⊥平面A1ED ‎(3)解：连接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故为二面角A1-ED-F的平面角 易知，所以，又所以，在 连接A‎1C1,A‎1F 在 ‎。所以 所以二面角A1-DE-F正弦值为 四、选择题 ‎18、B ‎【解析】 本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题。‎ 第一次运行程序时i=1，s=3；第二次运行程序时，i=2，s=2；第三次运行程序时，i=3，s=1；第四次运行程序时，i=4，s=0，此时执行i=i+1后i=5，推出循环输出s=0.‎ ‎【温馨提示】涉及循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决。‎ 五、解答题 ‎19、【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分12分.‎ ‎ （Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为，从而B-C=0.‎ ‎ 所以B=C.‎ ‎ （Ⅱ）解：由A+B+C=和（Ⅰ）得A=-2B,故cos2B=-cos（-2B）=-cosA=.‎ 又0<2B<,于是sin2B==.‎ ‎ 从而sin4B=2sin2Bcos2B=，cos4B=.‎ ‎ 所以 ‎20、【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。‎ ‎（1）解：由，得 所以函数的最小正周期为 因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又 ‎，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1‎ ‎（Ⅱ）解：由（1）可知 又因为，所以 由，得 从而 所以 六、选择题 ‎21、D ‎【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。‎ ‎【温馨提示】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。‎ ‎22、D ‎【解析】本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想，属于难题。‎ ‎（1） B,D,E,F用四种颜色，则有种涂色方法；‎ ‎（2） B,D,E,F用三种颜色，则有种涂色方法；‎ ‎（3） B,D,E,F用两种颜色，则有种涂色方法；‎ 所以共有24+192+48=264种不同的涂色方法。‎ ‎【温馨提示】近两年天津卷中的排列、组合问题均处理压轴题的位置，且均考查了分类讨论思想及排列、组合的基本方法，要加强分类讨论思想的训练。‎ ‎23、D ‎【解析】 本题 主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题。‎ 第一次执行循环体时S=1，i=3;第二次执行循环时s=-2，i=5；第三次执行循环体时s=-7.i=7，所以判断框内可填写“i<6?”,选D.‎ ‎【温馨提示】设计循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决。‎ 七、解答题 ‎24、列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。‎ ‎（Ⅰ）证明：由题设，可得。‎ 所以 ‎=‎ ‎=2k(k+1)‎ 由=0，得 于是。‎ 所以成等比数列。‎ ‎（Ⅱ）证法一：（i）证明：由成等差数列，及成等比数列，得 当≠1时，可知≠1，k 从而 所以是等差数列，公差为1。‎ ‎（Ⅱ）证明：，，可得，从而=1.由（Ⅰ）有 所以 因此，‎ 以下分两种情况进行讨论：‎ ‎（1） 当n为偶数时，设n=‎2m()‎ 若m=1,则.‎ 若m≥2，则 ‎+‎ 所以 ‎(2)当n为奇数时，设n=‎2m+1（）‎ 所以从而···‎ 综合（1）（2）可知，对任意,,有 证法二：（i）证明：由题设，可得 所以 由可知。可得，‎ 所以是等差数列，公差为1。‎ ‎（ii）证明：因为所以。‎ 所以，从而，。于是，由（i）可知所以是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得= ，故。‎ 从而。‎ 所以，由，可得 ‎。‎ 于是，由（i）可知 以下同证法一。‎ 八、选择题 ‎25、B ‎【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，如图由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时z取得最大值10.‎ ‎26、B ‎【解析】本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题。‎ 依题意知，所以双曲线的方程为 ‎【温馨提示】选择、填空中的圆锥曲线问题通常考查圆锥曲线的定义与基本性质，这部分内容也是高考的热点内容之一，在每年的天津卷中三种软件曲线都会在题目中出现。‎ 九、填空题 ‎27、（，0） ‎ ‎28、‎ ‎【解析】本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。‎ 由渐近线方程可知 ①‎ 因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4 ②‎ 又 ③‎ 联立①②③，解得，所以双曲线的方程为 ‎【温馨提示】求圆锥曲线的标准方程通常利用待定洗漱法求解，注意双曲线中c最大。‎ 十、选择题 ‎29、A ‎【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。‎ 进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为-1.‎ ‎30、A ‎【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。‎ 进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为-1.‎ ‎【温馨提示】近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题，运算时要细心，不要失分哦。‎ 十一、解答题 ‎31、【解析】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力，满分12分 ‎（1）解：由，得，再由，得 由题意可知， ‎ 解方程组 得 a=2,b=1‎ 所以椭圆的方程为 ‎(2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),‎ 于是A,B两点的坐标满足方程组 由方程组消去Y并整理，得 由得 设线段AB是中点为M，则M的坐标为 以下分两种情况：‎ ‎（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是 ‎（2）当K时，线段AB的垂直平分线方程为 令x=0，解得 由 整理得 综上 ‎32、解：(1)设P(x,y)，则 化简得x2－=1(y≠0)………………………………………………………………4分 ‎(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)‎ 与双曲线x2－=1联立消去y得 ‎(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0‎ 由题意知3－k2≠0且△＞0‎ 设B(x1,y1),C(x2,y2)，‎ 则 y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]‎ ‎ ＝k2(＋4)‎ ‎ ＝‎ 因为x1、x2≠－1‎ 所以直线AB的方程为y＝(x＋1)‎ 因此M点的坐标为()‎ ‎,同理可得 因此 ‎ ＝‎ ‎ ＝0‎ ‎②当直线BC与x轴垂直时，起方程为x＝2，则B(2,3),C(2,－3)‎ AB的方程为y＝x＋1,因此M点的坐标为()，‎ 同理可得 因此＝0‎ 综上＝0，即FM⊥FN 故以线段MN为直径的圆经过点F………………………………………………12分 ‎33、【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.满分14分. ‎ ‎（Ⅰ）解：由e=，得.再由，解得a=2b.‎ 由题意可知，即ab=2.‎ 解方程组得a=2，b=1. ‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎(Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.‎ 于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得 ‎.‎ 由，得.从而.‎ 所以.‎ 由，得.‎ 整理得，即，解得k=.‎ 所以直线l的倾斜角为或.‎ ‎（ii）解：设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为.‎ 以下分两种情况：‎ ‎（1）当k=0时，点B的坐标是（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是 由，得。‎ ‎（2）当时，线段AB的垂直平分线方程为。‎ 令，解得。‎ 由，，‎ ‎，‎ 整理得。故。所以。‎ 综上，或