河北省唐山市2012届高三数学下学期第二次模拟考试试题 理 新人教A版

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河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试 数学（理）试题 说明：‎ ‎ 一、本试卷共4页，包括三道大题，24道小题，共150分，其中1．～(21)小题为必做题，(22)～(24)小题为选做题．‎ ‎ 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．‎ ‎ 三、做选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案，‎ ‎ 四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回，‎ 参考公式：‎ 样本数据的标准差；‎ 为样本平均数；‎ 柱体体积公式：、h为高；‎ 锥体体积公式：为高；‎ ‎ 球的表面积、体积公式：其中R为球的半径。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．‎ ‎1．已知=2+i，则复数z的共轭复数为 ‎ A．-3-i B．-3+i C．3+i D．3-i ‎2．的展开式中的常数项为 ‎ A．－15 B．‎15 ‎ C．－20 D．20‎ ‎3．己知命题p：“a>b”是“‎2a>2b”的充要条件；q：∈R，lx+l l≤x，则 ‎ A．pq为真命题 B．pq为假命题 ‎ C．pq为真命题 D． pq为真命题 ‎4．已知是第三象限的角，且tan=2，则sin（+）=‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．设变量x、y满足则目标函数z=2x+y的最小值为 ‎ A．6 B．‎4 ‎ C．2 D．‎ ‎6．把函数y=sin（2x-）的图象向左平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为 ‎ A．x=0 B．x= C．x=— D．x= ‎ ‎7．执行如图所示的算法，若输出的结果y≥2，则输入的x满足 ‎ A．x≤一l或x≥4 B．x≤-l ‎ C．-1≤x≤4 D．x≥4 ‎ ‎8．已知某几何体的三视图如图所示，则其体积为 ‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎9．奇函数f（x）、偶函数g（x）的图象分别如图1、2所示，方程f（g(x）)=0、g（f(x））=0 的实根个数分别为a、b，则a+b=‎ ‎ A．14 B．‎10 ‎ C．7 D．3‎ ‎10．直线l与双曲线C：交于A、B两点，M是线段AB的中 点，若l与OM （O是原点）的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为 ‎ A． B． C．2 D． 3‎ ‎11．曲线y=与其在点（0，一1）处的切线及直线x=1所围成的封闭图形的面积为 ‎ A．1－ln2 B．2－2n‎2 ‎ C． ln2 D．2ln2－1‎ ‎12．把一个皮球放入如图所示的由8根长均为‎20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为 ‎ A．l0cm B．‎10 cm ‎ ‎ C．10cm D．‎‎30cm 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13．函数y=的定义域为 。‎ ‎14．向圆(x一2）2+（y—）=4内随机掷一点，则该点落在x轴下方的概率为 。‎ ‎15．过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若|AF| =2|BF|=6，则p= 。‎ ‎16．在△ABC中，（则角A的最大值为 。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知数列满足：.‎ ‎ （I）求数列的通项公式；‎ ‎ （II）设，求 ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎ 某篮球队甲、乙两名队员在本赛零已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：‎ ‎ （I）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；‎ ‎ （II）以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过15分次数X的分布列和均值．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB= 2AD =2CD =2．E是PB的中点．‎ ‎ （I）求证：平面EAC⊥平面PBC;‎ ‎ （II）若二面角P-A C-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 在直角坐标系xOy中，长为的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上滑动，．记点P的轨迹为曲线E．‎ ‎ （I）求曲线E的方程；‎ ‎ （ II）经过点（0，1）作直线l与曲线E相交于A、B两点，当点M在曲线E上时，求的值．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知.‎ ‎ （I）求函数f（x）的最小值；‎ ‎ （ II）（i）设 ‎ （ii）若，且证明：‎ ‎ 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲 ‎ 如图，在△ABC中，BC边上的点D满足BD=2DC，以BD为直径作圆O恰与CA相切于点A，过点B作BE⊥CA于点E，BE交圆D于点F．‎ ‎ （I）求∠ABC的度数：‎ ‎ （ II）求证：BD=4EF．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 ‎ 极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为z轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同，己知圆C1的极坐标方程为p=4（cos+sin，P是C1上一动点，点Q在射线OP上且满足OQ=OP，点Q的轨迹为C2。‎ ‎ （I）求曲线C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；‎ ‎ （ II）已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤<），l与曲线C2有且只有一个公共点，求的值．‎ ‎24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 ‎ 设f（x）=|x|+2|x-a|（a>0）．‎ ‎ （I）当a=l时，解不等式f（x）≤4；‎ ‎ （ II）若f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围 唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试 理科数学参考答案 一、 选择题：‎ A卷：AABCB CDDCB CB B卷：CBDAC BACBA DB 二、填空题：‎ ‎（13）(lg2，＋∞) （14）－ （15）4 （16） 三、解答题：‎ ‎（17）解：‎ ‎（Ⅰ）＝(32－1)＝3， …1分 当n≥2时，‎ ‎∵＝(＋＋…＋)－(＋＋…＋)‎ ‎＝(32n－1)－(32n－2－1)＝32n－1， …5分 当n＝1，＝32n－1也成立，‎ 所以an＝． …6分 ‎（Ⅱ）bn＝log3＝－(2n－1)， …7分 ＝＝(－)，‎ ‎∴＋＋…＋＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)] …10分 ‎＝(1－)＝． …12分 ‎（18）解：‎ ‎（Ⅰ）甲＝(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，‎ 乙＝(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，‎ s＝[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，‎ s＝[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25．‎ 甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）． …4分 ‎（Ⅱ）根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为p1＝，p2＝，两人得分均超过15分的概率分别为p1p2＝，‎ 依题意，X～B(2，)，P(X＝k)＝C()k()2－k，k＝0，1，2， …7分 X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎…10分 X的均值E(X)＝2×＝． …12分 ‎（19）解：‎ ‎（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，ACÌ平面ABCD，∴AC⊥PC，‎ ‎∵AB＝2，AD＝CD＝2，∴AC＝BC＝，‎ ‎∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，‎ 又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，‎ ‎∵ACÌ平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC． …4分 D A C E P B x y z ‎（Ⅱ）如图，以C为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，－1，0)．‎ 设P(0，0，a)（a＞0），‎ 则E(，－，)， …6分 ＝(1，1，0)，＝(0，0，a)，‎ ＝(，－，)，‎ 取m＝(1，－1，0)，则 m·＝m·＝0，m为面PAC的法向量．‎ 设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·＝n·＝0，‎ 即取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，‎ 依题意，|cosám，nñ|＝＝＝，则a＝2． …10分 于是n＝(2，－2，－2)，＝(1，1，－2)．‎ 设直线PA与平面EAC所成角为θ，‎ 则sinθ＝|cosá，nñ|＝＝，‎ 即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为． …12分 ‎（20）解：‎ ‎（Ⅰ）设C(m，0)，D(0，n)，P(x，y)．‎ 由＝，得(x－m，y)＝(－x，n－y)，‎ ‎∴得 …2分 由||＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2，‎ ‎∴(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2，‎ 整理，得曲线E的方程为x2＋＝1． …5分 ‎（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝＋，知点M坐标为(x1＋x2，y1＋y2)．‎ 设直线l的方程为y＝kx＋1，代入曲线E方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝－． …7分 y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝，‎ 由点M在曲线E上，知(x1＋x2)2＋＝1，‎ 即＋＝1，解得k2＝2． …9分 这时x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋k(x2＋x2)＋1＝－，‎ ‎(x＋y)(x＋y)＝(2－x)(2－x)＝4－2(x＋x)＋(x1x2)2‎ ‎＝4－2[(x1＋x2)2－2x1x2]＋(x1x2)2＝，‎ cosá，ñ＝＝－． …12分 ‎（21）解：‎ ‎（Ⅰ）f¢(x)＝x－＝． …1分 当x∈(0，a)时，f¢(x)＜0，f(x)单调递减；‎ 当x∈(a，＋∞)时，f¢(x)＞0，f(x)单调递增．‎ 当x＝a时，f(x)取得极小值也是最小值f(a)＝a2－a2lna． …4分 ‎（Ⅱ）（ⅰ）设g(t)＝f(a＋t)－f(a－t)，则 当0＜t＜a时，‎ g¢(t)＝f¢(a＋t)＋f¢(a－t)＝a＋t－＋a－t－＝＜0， …6分 所以g(t)在(0，a)单调递减，g(t)＜g(0)＝0，即f(a＋t)－f(a－t)＜0，‎ 故f(a＋t)＜f(a－t)． …8分 ‎（ⅱ）由（Ⅰ），f(x)在(0，a)单调递减，在(a，＋∞)单调递增，‎ 不失一般性，设0＜x1＜a＜x2，‎ 因0＜a－x1＜a，则由（ⅰ），得 f(‎2a－x1)＝f(a＋(a－x1))＜f(a－(a－x1))＝f(x1)＝f(x2)， …11分 又‎2a－x1，x2∈(a，＋∞)，‎ 故‎2a－x1＜x2，即x1＋x2＞‎2a． …12分 ‎（22）解：‎ ‎（Ⅰ）连结OA、AD．‎ ‎∵AC是圆O的切线，OA＝OB，‎ ‎∴OA⊥AC，∠OAB＝∠OBA＝∠DAC， …2分 又AD是Rt△OAC斜边上的中线，‎ C A B E D O F ‎∴AD＝OD＝DC＝OA，‎ ‎∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，‎ 故∠ABC＝∠AOD＝30°． …5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，‎ 在Rt△AEB中，∠EAB＝∠ADB＝60°，‎ ‎∴EA＝AB＝×BD＝BD，‎ EB＝AB＝×BD＝BD， …7分 由切割线定理，得EA2＝EF×EB，‎ ‎∴BD2＝EF×BD，‎ ‎∴BD＝4EF． …10分 ‎（23）解：‎ ‎（Ⅰ）设点P、Q的极坐标分别为(ρ0，θ)、(ρ，θ)，则 ρ＝ρ0＝·4(cosθ＋sinθ)＝2(cosθ＋sinθ)，‎ 点Q轨迹C2的极坐标方程为ρ＝2(cosθ＋sinθ)， …3分 两边同乘以ρ，得ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)，‎ C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2． …5分 ‎（Ⅱ）将l的代入曲线C2的直角坐标方程，得 ‎(tcosφ＋1)2＋(tsinφ－1)2＝2，即t2＋2(cosφ－sinφ)t＝0， …7分 t1＝0，t2＝sinφ－cosφ，‎ 由直线l与曲线C2有且只有一个公共点，得sinφ－cosφ＝0，‎ 因为0≤φ＜p，所以φ＝． …10分 ‎（24）解：‎ ‎（Ⅰ）f(x)＝|x|＋2|x－1|＝ …2分 当x＜0时，由2－3x≤4，得－≤x＜0；‎ 当0≤x≤1时，1≤2－x≤2；‎ 当x＞1时，由3x－2≤4，得1＜x≤2．‎ 综上，不等式f(x)≤4的解集为[－，2]． …5分 ‎（Ⅱ）f(x)＝|x|＋2|x－a|＝ …7分 可见，f(x)在(－∞，a]单调递减，在(a，＋∞)单调递增．‎ 当x＝a时，f(x)取最小值a．‎ 所以，a取值范围为[4，＋∞)． …10分