安徽省合肥一中2020届高三9月阶段性检测考试数学(理)

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安徽省合肥一中2020届高三9月阶段性检测考试数学(理)

合肥一中2019年9月高三阶段性检测考试数学(理)‎ 一、选择题 ‎1.函数的定义域为的定义域为,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出函数和的定义域,得到集合和集合,然后根据集合的交集运算,得到答案。‎ ‎【详解】因为函数,所以,解得,故的定义域;集合,所以,解得,故的定义域;所以,故选A项.‎ ‎【点睛】本题考查求具体函数的定义域,集合的交集运算,属于简单题.‎ ‎2.复数满足,其中为虚数单位,则的实部与虚部之和为( )‎ A. 1 B. 0 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对进行化简计算,得到复数,然后计算出其实部与虚部之和,得到答案.‎ ‎【详解】因为 所以 所以的实部与虚部之和为,故选B项.‎ ‎【点睛】本题考查复数的运算,实部与虚部的概念,属于简单题.‎ ‎3.若,,,,则等于(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用同角三角函数的基本关系求出与,然后利用两角差的余弦公式求出值。‎ ‎【详解】,,则,‎ ‎,则,所以,,‎ 因此,‎ ‎,‎ 故选:C。‎ ‎【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值,解决这类求值问题需要注意以下两点:‎ ‎①利用同角三角平方关系求值时,要求对象角的范围,确定所求值的正负;‎ ‎②利用已知角来配凑未知角,然后利用合适的公式求解。‎ ‎4.函数的大致图象是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特殊位置的所对应的的值,排除错误选项,得到答案.‎ ‎【详解】因为 所以当时,,故排除A、D选项,‎ 而,‎ 所以 即是奇函数,其图象关于原点对称,故排除B项,‎ 故选C项.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数图象,属于简单题.‎ ‎5.已知函数,将函数向右平移个单位后得到一个奇函数的图象,则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对进行化简,然后根据平移规则得到平移后的解析式,再根据奇函数的特点,求出的值.‎ ‎【详解】由,‎ 向右平移个单位后得到 因为为奇函数,所以,‎ 所以,得,‎ 即 因为,所以的最小值为,‎ 故选B项.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数辅助角公式,函数的平移,奇函数和正弦型函数的性质,属于简单题.‎ ‎6. ( )‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定积分的计算公式进行计算,得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 是半径为的圆的面积的四分之一,为,‎ 所以,,故选C项.‎ ‎【点睛】本题考查定积分的计算,属于简单题.‎ ‎7.中,内角所对的边分别为,则“”是“为等腰三角形”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由进行推导,无法推出为等腰三角形,说明不充分,取三角形满足,说明不必要,得到答案.‎ ‎【详解】因为,所以,则 所以,‎ 所以或,即,或,‎ 故无法由推出为等腰三角形,即为不充分条件;‎ 取等腰三边为时,此时 无法推出,即为不必要条件,‎ 所以“”是“为等腰三角形”的既不充分也不必要条件,故选D项.‎ ‎【点睛】本题考查向量平行的坐标表示,充分条件和必要条件,属于简单题.‎ ‎8.已知,则 的值为( )‎ A. B. C. D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对进行整理,然后证明其关于对称,由,可得所求的,得到答案.‎ ‎【详解】因 所以 所以关于成中心对称,‎ 而,‎ 故.‎ 所以选B项.‎ ‎【点睛】本题考查利用三角函数公式进行化简,函数中心对称的证明和性质,属于中档题.‎ ‎9.中,所对的边分别为,若,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角形三边关系,得到,由,可得,再由余弦定理得到的范围,从而得到答案.‎ ‎【详解】由三角形三边关系,得到;‎ 因为 由正弦定理得 即 由余弦定理得,‎ 因为,所以,‎ 且 所以 所以,当且仅当时,等号成立 故 所以选B项.‎ ‎【点睛】本题考查正、余弦定理解三角形,基本不等式,属于中档题.‎ ‎10.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时,提出了分线段的“中末比”问题:将一线段分为两线段,使得其中较长的一段是全长与另一段的比例中项,即满足,后人把这个数称为黄金分割数,把点C称为线段的黄金分割点,在中,若点为线段的两个黄金分割点,设( ,‎ ‎,则( )‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得到 从而得到,,即得到相应的,再代入到计算得到结果.‎ ‎【详解】因为点为线段的两个黄金分割点,‎ 所以 所以 所以,‎ 所以 故选C项.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量定理的应用,属于中档题.‎ ‎11.关于数列,给出下列命题:①数列满足,则数列为公比为2的等比数列;②“的等比中项为”是“”的充分不必要条件;③数列是公比为的等比数列,则其前项和;④等比数列的前项和为,则成等比数列,其中,真命题的序号是( )‎ A. ①③④ B. ①②④ C. ② D. ②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别对四个命题进行判断,从而得到其是否为真命题,得到答案.‎ ‎【详解】命题①,当时,满足,但数列不是等比数列,故①错误;命题②由“的等比中项为”可得“”,当时,不能得到的等比中项为,故②正确;命题③当等比数列的公比为1时,其前项的和为,故③错误;命题④,当时,,不满足成等比数列,故④错误.‎ 故选C项.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的求和和性质,判断命题的正确,属于简单题.‎ ‎12.已知函数,曲线上总存在两点使曲线在两点处的切线互相平行,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据在两点处的切线互相平行,得到,从而得到,再设,利用导数求出其最大值,从而得到答案.‎ ‎【详解】函数,‎ 可得 曲线在两点处的切线互相平行,‎ 所以 即 ‎,(,故等号取不到) ‎ 即恒成立,‎ 设,‎ 当时,,单调递增;当时,,单调递减;‎ 所以时,取最大值,‎ 所以,即,故选D项.‎ ‎【点睛】本题考查导数几何意义,利用导数研究函数的最值,解决恒成立问题,属于难题.‎ 二、填空题 ‎13.设等差数列的前项和为,若,则________.‎ ‎【答案】54‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列中下标公式的性质,得到的值,再根据求和公式,求出.‎ ‎【详解】等差数列中,‎ 所以,即,‎ 所以 ‎【点睛】本题考查等差数列的下标公式和等差数列的求和,属于简单题.‎ ‎14.已知的夹角为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对平方,然后代入已知条件,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 所以 ‎【点睛】本题考查求向量的模长,属于简单题.‎ ‎15.已知函数的定义域为R,且满足,当时,,则= _______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据,得到周期为4,,再由当时,,得到答案.‎ ‎【详解】因为函数满足,所以的周期为,‎ 所以 而,所以 所以.‎ ‎【点睛】本题考查数列周期的性质,求函数的值,属于中档题.‎ ‎16.中,内角所对的边分别为,若是与的等比中项,且是与的等差中项,则________ ,__________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据是与的等比中项,得到,即,根据是 与的等差中项,得到,即,代入到中进行化简,再利用,得到,从而得到的值,再利用之前的两个式子,将用代换,得到关于的方程,解出.‎ ‎【详解】因为是与的等比中项,‎ 所以,即,‎ 因为是与的等差中项,‎ 所以 即,‎ 所以,即 所以,‎ ‎,所以,‎ ‎,所以;‎ 所以得 即,解得.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理解三角形,三角函数公式的运用,属于中档题.‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17.已知函数部分图象如图所示,函数.‎ ‎(1)求函数的表达式;‎ ‎(2)求函数的单调增区间和对称中心.‎ ‎【答案】(1);(2),‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据函数图象可得和周期,由周期求出,再由,得到,再得到的解析式;(2)根据的解析式,利用正弦函数的单调性与对称性求出其单调增区间和对称中心.‎ ‎【详解】(1)根据图像可知,,‎ 所以周期,即,得,‎ 代入得,得 因为,所以 所以 ‎;‎ ‎(2)令 解得 所以单调增区间是 令,可得 所以对称中心为 ‎【点睛】本题考查正弦型函数图像的性质,辅助角公式,求三角函数的单调区间和对称中心,属于简单题.‎ ‎18.已知数列的前项和为,且.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)令,求数列的前项和为.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用,,验证时,得到的通项;(2)得到 的通项,然后利用错位相减法,得到其前项的和.‎ ‎【详解】(1)当时,‎ 当时,,符合上式,‎ 所以 ‎(2)‎ 所以 所以 所以 ‎【点睛】本题考查通过求通项,错位相减法求数列的和,属于中档题.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎(1)当时,求函数的极值;‎ ‎(2)求函数在上的最小值.‎ ‎【答案】(1)的极大值为的极小值为;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对求导,判断的正负,得到的单调性,然后得到的极值;(2)对进行分类,研究其导函数的正负,从而得到的单调性,求出其最值.‎ ‎【详解】(1),所以 ‎,令,得 所以在和上,,单调递增,‎ 上,,单调递减,‎ 所以的极大值为,极小值为;‎ ‎(2),‎ ‎①当时,,所以上单调递增,所以,‎ ‎②当时,令,得,‎ 所以在上单调递减,在上单调递增,‎ i)当时,在上单调递减,所以 ii)当时,在上单调递减,在上单调递增,所以 综上所述:‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的极值和最值,分类讨论研究函数的单调性和最值,属于中档题.‎ ‎20.如图所示,合肥一中积极开展美丽校园建设,现拟在边长为0.6千米的正方形地块上划出一片三角形地块建设小型生态园,点分别在边上.‎ ‎(1)当点分别时边中点和靠近的三等分点时,求的余弦值;‎ ‎(2)实地勘察后发现,由于地形等原因,的周长必须为1.2千米,请研究是否为定值,若是,求此定值,若不是,请说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分别表示出和,根据公式得到的值,然后得到的值,从而得到的值;(2)设,表示出,表示出,再利用公式表示出,整理化简后得到定值,所以为定值,所以得到为定值.‎ ‎【详解】(1)由题意可知,‎ 所以,‎ 由题意可知,所以,‎ 所以.‎ ‎(2)设,所以 在直角三角形中,‎ 所以,‎ 整理得 ‎,‎ 所以 将代入上式可得,‎ 所以,‎ 所以为定值.‎ ‎【点睛】本题考查几何图形里正切的表示,两角和的正切公式,属于中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)设是函数在处的切线,证明:;‎ ‎(2)证明:.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意利用导数的几何意义,求出,再构造函数,再利用导数求出其最大值,得到,从而证明出;(2)由(1)可知,取,将所得到的不等式相加,再进行放缩,得到其值小于,从而得以证明 .‎ ‎【详解】(1)由 可得,‎ 代入切点横坐标,得切线斜率 所以切线 设 则 所以时,,单调递增,时,,单调递减,‎ 所以 故 即.‎ ‎(2)由(1)可知对任意的恒成立,‎ 取,有 取,有 取,有 则 而 所以,‎ 即,证毕.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数图像在一点的切线方程,利用导数求函数的最大值,放缩法证明不等式,属于难题.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎(1)若,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若不等式对恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由得到单调增,不等式转化为,可得,解出的范围;(2),而函数为单调增函数,且,故存在唯一,有,当,得到,设,则恒成立,利用导数求出,当时,有,设,则恒成立,利用导数求出,从而得到的取值范围.‎ ‎【详解】(1),‎ 所以,在上单调递增 不等式转化为 则,解得 ‎(2)‎ 函数为单调增函数,且,‎ 故存在唯一,有 ‎①当时,有 所以,‎ 令,则 ‎,所以 所以单调递减,,‎ 所以 ‎②当时,有 则,即 ‎,‎ ‎,‎ ‎,,所以,‎ 所以 所以 所以单调递减,‎ 所以,‎ 综上所述,‎ ‎【点睛】本题考查利用导数函数考查函数的单调性,参变分离的方法研究恒成立问题,利用导数求函数最值,属于难题.‎
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