【数学】2019届一轮复习北师大版坐标系与参数方程学案

【数学】2019届一轮复习北师大版坐标系与参数方程学案

第1讲　坐标系与参数方程 选修部分 考向预测 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．‎ 知识与技巧的梳理 ‎1．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则 ‎2．直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．‎ 几个特殊位置的直线的极坐标方程：‎ ‎(1)直线过极点：θ＝α；‎ ‎(2)直线过点M(a，0)(a>0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；‎ ‎(3)直线过M且平行于极轴：ρsinθ＝b．‎ ‎3．圆的极坐标方程 几个特殊位置的圆的极坐标方程：‎ ‎(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；‎ ‎(2)当圆心位于M(r，0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；‎ ‎(3)当圆心位于M，半径为r：ρ＝2rsinθ．‎ ‎4．直线的参数方程 经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)．‎ 设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量．‎ ‎5．圆、椭圆的参数方程 ‎(1)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)．‎ ‎(2)椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)．‎ 热点题型 热点一　曲线的极坐标方程 ‎【例1】(2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ 解　(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，‎ C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0．‎ ‎(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，‎ 得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝．‎ 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝．‎ 由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为．‎ 探究提高　进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧．‎ ‎【训练1】(2017·北京东城区调研)在极坐标系中，已知极坐标方程C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cosθ．‎ ‎(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；‎ ‎(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两点间的距离．‎ 解　(1)由C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，‎ ‎∴x－y－1＝0，表示一条直线．由C2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ．‎ ‎∴x2＋y2＝2x，则(x－1)2＋y2＝1，‎ ‎∴C2是圆心为(1，0)，半径r＝1的圆．‎ ‎(2)由(1)知，点(1，0)在直线x－y－1＝0上，因此直线C1过圆C2的圆心．‎ ‎∴两交点A，B的连线段是圆C2的直径，‎ 因此两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2．‎ 热点二　参数方程及其应用 ‎【例2】(2014·全国Ⅰ卷)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；‎ ‎(2)过曲线C上任一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．‎ 解　(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．‎ 直线l的普通方程为2x＋y－6＝0．‎ ‎(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为d＝|4cos θ＋3sin θ－6|．‎ 则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝．‎ 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为；‎ 当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为．‎ 探究提高　1．将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．‎ ‎2．在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．‎ ‎【训练2】(2017·郴州三模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C的两个交点分别为M，N，直线l与x轴的交点为P，求|PM|·|PN|的值．‎ 解　(1)直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 消去参数t，得x＋y－1＝0．‎ 曲线C的参数方程为(θ为参数)，‎ 利用平方关系，得x2＋(y－2)2＝4，则x2＋y2－4y＝0．‎ 令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ，代入得C的极坐标方程为ρ＝4sin θ．‎ ‎(2)在直线x＋y－1＝0中，令y＝0，得点P(1，0)．‎ 把直线l的参数方程代入圆C的方程得t2－3t＋1＝0，‎ ‎∴t1＋t2＝3，t1t2＝1．‎ 由直线参数方程的几何意义，|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1．‎ ‎（45分钟）‎ 限时训练 经典常规题 ‎1．(2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4．‎ ‎(1)设点M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ ‎【解题思路】 (1) 由|OM|·|OP|＝16得出P的轨迹C2； (2) 由转化三角函数可得，亦可转化点到直线距离可得．‎ ‎【答案】解　(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．‎ 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝．‎ 由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)．‎ 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．‎ 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·＝2≤2＋．‎ 当α＝－时，S取得最大值2＋．‎ 所以△OAB面积的最大值为2＋．‎ ‎2．(2017·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；‎ ‎(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a．‎ ‎【解题思路】 (1)曲线C利用消参，直线l代入消元化为普通方程，联立即可．(2)利用点到直线距离公式，曲线C直接用参数方程，用三角函数求其最值．‎ ‎【答案】解　(1)a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0．‎ 曲线C的标准方程是＋y2＝1，‎ 联立方程解得或 则C与l交点坐标是(3，0)和．‎ ‎(2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0．‎ 设曲线C上点P(3cos θ，sin θ)．‎ 则P到l距离d＝＝，‎ 其中tan φ＝．‎ 又点C到直线l距离的最大值为．‎ ‎∴|5sin(θ＋φ)－4－a|的最大值为17．‎ 若a≥0，则－5－4－a＝－17，∴a＝8．‎ 若a<0，则5－4－a＝17，∴a＝－16．‎ 综上，实数a的值为a＝－16或a＝8．‎ 高频易错题 ‎1．(2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2．‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ ‎【解题思路】 (1)曲线C1利用消参，曲线C2利用化为直角坐标方程．(2)利用点到直线距离公式，曲线C1直接用参数方程，用三角函数求其最值．‎ ‎【答案】解　(1)C1的普通方程为＋y2＝1，曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0．‎ ‎(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值．‎ 又d(α)＝＝，当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时点P的直角坐标为．‎ ‎2．(2017·哈尔滨模拟)已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝4．‎ ‎(1)写出曲线C的极坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎(2)若射线θ＝与曲线C交于O，A两点，与直线l交于B点，射线θ＝与曲线C交于O，P两点，求△PAB的面积．‎ ‎【解题思路】 (1)曲线C1利用消参，曲线C2利用化为直角坐标方程．(2)分别联立求出A，B，P的坐标．‎ ‎【答案】解　(1)由(θ为参数)，消去θ．‎ 普通方程为(x－2)2＋y2＝4．‎ 从而曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ，‎ 因为直线l的极坐标方程为ρsin＝4，即ρsin θ＋ρcos θ＝4，‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为x＋y－8＝0．‎ ‎(2)依题意，A，B两点的极坐标分别为，，‎ 联立射线θ＝与曲线C的极坐标方程，‎ 得P点极坐标为，‎ ‎∴|AB|＝2，‎ ‎∴S△PAB＝×2×2sin＝2．‎ 精准预测题 ‎1．(2017·新乡三模)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线M的直角坐标方程为x－2y＋2＝0(x>0)．‎ ‎(1)以曲线M上的点与点O连线的斜率k为参数，写出曲线M的参数方程；‎ ‎(2)设曲线C与曲线M的两个交点为A，B，求直线OA与直线OB的斜率之和．‎ ‎【解题思路】 (1)；(2)联立曲线M的参数方程和曲线C的直角坐标方程，韦达定理．‎ ‎【答案】解　(1)由得 故曲线M的参数方程为．‎ ‎(2)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，∴x2＋y2＝4x．‎ 将代入x2＋y2＝4x整理得k2－4k＋3＝0，‎ ‎∴k1＋k2＝4．‎ 故直线OA与直线OB的斜率之和为4．‎ ‎2．(2017·乐山二模)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，0≤θ<π)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝－4cos α，圆C的圆心到直线l的距离为．‎ ‎(1)求θ的值；‎ ‎(2)已知P(1，0)，若直线l与圆C交于A，B两点，求＋的值．‎ ‎【解题思路】 (1)利用点到直线的距离公式列方程可得．(2)联立直线的参数方程和圆的直角坐标方程可得t的一元二次方程，利用韦达定理求＋．‎ ‎【答案】解　(1)由直线l的参数方程为(t为参数，0≤θ<π)，消去参数t，可得：xsin θ－ycos θ－sin θ＝0．‎ 圆C的极坐标方程为ρ＝－4cos α，即ρ2＝－4ρcos α．‎ 可得圆C的普通坐标方程为：x2＋y2＋4x＝0，‎ 可知圆心为(－2，0)，圆C的圆心到直线l的距离为d＝＝3sin θ．‎ 由题意：d＝，即3sin θ＝，则sin θ＝，‎ ‎∵0≤θ<π，‎ ‎∴θ＝或θ＝．‎ ‎(2)已知P(1，0)，点P在直线l上，直线l与圆C交于A，B两点，将代入圆C的普通坐标方程x2＋y2＋4x＝0，‎ 得(1＋tcos θ)2＋(tsin θ)2＋4(1＋tcos θ)＝0，‎ ‎∴t2＋6tcos θ＋5＝0．‎ 设A，B对应参数为t1，t2，则t1＋t2＝－6cos θ，t1·t2＝5，‎ ‎∵t1·t2>0，t1，t2是同号．‎ ‎∴＋＝＋＝＝＝．‎