江苏省扬州市蒋王中学2020届高三上学期12月月考数学试题 含解析

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

江苏省扬州市蒋王中学2020届高三上学期12月月考数学试题 含解析

蒋王中学2020届高三数学月考试题 ‎(满分160分,考试时间120分钟)2019.12.13‎ 一、填空题:本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。‎ ‎1. 已知集合,0,1,,,则元素的个数为______.‎ 答案:1‎ 解:集合,0,1,,‎ ‎,‎ 则.‎ ‎2.复数是虚数单位)是纯虚数,则实数的值为  .‎ 答案:4‎ 解:.‎ 复数是纯虚数 ‎,解得:.‎ 故答案为:4.‎ ‎3. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为,则的值为  .‎ 答案:‎ 解:双曲线的一条渐近线的倾斜角为,‎ 所以,‎ 所以.‎ 故答案为:.‎ ‎4. 不等式的解集为  .‎ 答案:‎ 解:不等式,即 ,即,即,故不等式 的解集为,‎ 故答案为.‎ ‎5. 设曲线在点处的切线方程为,则  .‎ 答案:3‎ 解:的导数 ‎,‎ 由在点处的切线方程为,‎ 得,‎ 则.‎ 故答案为:3.‎ ‎6.已知点,,则与向量同方向的单位向量的坐标是  .‎ 答案:‎ 解:点,,‎ ‎,可得,‎ 因此,与向量同方向的单位向量为:,‎ 故答案为:‎ ‎7.已知抛物线的准线与双曲线的左准线重合,则的值为  .‎ 答案:2‎ 解:抛物线的准线为:,‎ 双曲线的左准线为:,‎ 由题意可知,‎ ‎.‎ 故答案为:2.‎ ‎8. 已知,,则  .‎ 答案:‎ 解:由,得,解得,‎ ‎,,‎ 故答案为:.‎ ‎9. 已知四边形为梯形,,为空间一直线,则“垂直于两腰,”是“垂直于两底,”的   条件(填写“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分也不必要”中的一个).‎ 答案:充分不必要 解:先看充分性 四边形为梯形,,‎ 两腰、所在直线是相交直线.‎ 垂直于两腰,‎ 平面 又,是平面内的直线,‎ 垂直于两底,,因此充分性成立;‎ 再看必要性 作出梯形的高,则垂直于两底,,设所在直线为,‎ 垂直于两底,,且是平面内的直线,‎ 与梯形的两腰不垂直,因此必要性不成立.‎ 故答案为:充分不必要.‎ ‎10. 已知函数,,是奇函数,且的最小正周期为,将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为.若,则  .‎ 答案:‎ 解:函数,,是奇函数,则,‎ 由于的最小正周期为,所以,‎ 将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为.‎ 若,所以,解得.‎ 所以.‎ 故答案为:‎ ‎11. 记等比数列的前项积为,已知,且,则的值为  .‎ 答案:4‎ 解:,由等比数列的性质可得,,‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎,.‎ 故答案为:4.‎ ‎12.命题:已知椭圆,,是椭圆的两个焦点,为椭圆上的一个动点,过作的外角平分线的垂线,垂足为,则的长为定值.类比此命题,在双曲线中也有命题:已知双曲线,,是双曲线的两个焦点,为双曲线上的一个动点,过作的  的垂线,垂足为,则的长为定值.‎ 答案:内角平分线 ‎【解答】解:点关于的外角平分线的对称点在的延长线上 ‎,是椭圆的两个焦点,为椭圆上的一个动点,过作的外角平分线的垂线,垂足为 ‎(椭圆长轴长),又是△的中位线,故;‎ 不妨设点在双曲线右支上,点关于的内角平分线的对称点在的延长线上,当过作的内角平分线的垂线,垂足为时,,又是△的中位线,故;‎ 故答案为:内角平分线 ‎13. 已知中,边上的高与边的长相等,则的最大值为  .‎ 答案:‎ 解:在中,,,,‎ 所以 因为,‎ 所以,‎ 中,边上的高与边的长相等,‎ 所以,‎ 即,‎ ‎.‎ 的最大值为:.‎ 故答案为:.‎ ‎14. 设,,,若对任意的正实数,,都存在以,,为三边长的三角形,则实数的取值范围是  .‎ 答案:‎ 解:,‎ ‎,,‎ 三角形任意两边之和大于第三边,‎ ‎,且,‎ 解得,故实数的取值范围是,‎ 故答案为:.‎ ‎ [二、解答题 (本大题共6小题,共90分.请在答题卡制定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎15.(本小题满分为14分)‎ 中,角,,所对应的边分别为,,,若 ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)若,求的最小正周期与单调递增区间.‎ 解:(1)由,得,即,由余弦定理,得,‎ 又角是的一个内角,.‎ ‎(2),‎ 故函数的最小正周期为.‎ 由,,可得,,故单调增区间为,,.‎ ‎16.(本小题满分为14分)‎ 如图,在四棱锥中,四边形是菱形,,为的中点.‎ ‎(1)求证:面;‎ ‎(2)求证:平面平面.‎ 解:(1)证明:设,连接,‎ 因为,分别是,的中点 ‎,所以(4分)‎ 而面,面,‎ 所以面(7分)‎ ‎(2)连接,因为,‎ 所以,‎ 又四边形是菱形,‎ 所以(10分)‎ 而面,面,,‎ 所以面(13分)‎ 又面,‎ 所以面面(14分)‎ ‎17.(本小题满分14分)‎ 如图,某生态园将一三角形地块的一角开辟为水果园种植桃树,已知角为,,的长度均大于200米,现在边界,处建围墙,在处围竹篱笆.‎ ‎(1)若围墙,总长度为200米,如何围可使得三角形地块的面积最大?‎ ‎(2)已知段围墙高1米,段围墙高1.5米,造价均为每平方米100元.若围围墙用了20000元,问如何围可使竹篱笆用料最省?‎ 解:设米,米,则 ‎(1),的面积,‎ 当且仅当时取等号;‎ ‎(2)由题意得,即,‎ 要使竹篱笆用料最省,只需最短,所以 所以时,有最小值,此时.‎ ‎18.(本小题满分16分)‎ 已知长轴在轴上的椭圆的离心率,且过点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若点,为圆上任一点,过点作圆的切线交椭圆于,两点,求证:为坐标原点).‎ ‎(1)解:由题意,设椭圆方程为 ‎,,‎ 椭圆过点,‎ ‎,‎ 椭圆的方程为;‎ ‎(2)证明:由题意可求得切线方程为 ‎①若,则切线为(或,则,,(当时同理可得);‎ ‎②当时,切线方程为,与椭圆联立并化简得 ‎,‎ 设,,,,则 ‎19.(本小题满分16分)‎ 已知函数且 ‎(1)求函数在点,处的切线方程;‎ ‎(2)求函数单调区间;‎ ‎(3)若存在,,,使得是自然对数的底数),求实数的取值范围.‎ 解:(1)因为函数,‎ 所以,,‎ 又因为,所以函数在点,处的切线方程为;‎ ‎(2)由(1),.‎ 当时,,在上递增;‎ 当时,,在上递增;‎ 故当,时,总有在上是增函数,‎ 又,所以不等式的解集为,‎ 故函数的单调增区间为,递减区间为;‎ ‎(3)因为存在,,,使得成立,‎ 而当,时,,‎ 所以只要即可.‎ 又因为,,的变化情况如下表所示:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎0‎ 减函数 极小值 增函数 可得在,上是减函数,在,上是增函数,‎ 所以当,时,的最小值,‎ 的最大值为和(1)中的最大值.‎ 因为,‎ 令,因为,‎ 所以在、上是增函数.‎ 而(1),故当时,(a),即(1);‎ 当时,(a),即(1).‎ 所以,当时,(1),即,‎ 函数在上是增函数,解得;‎ 当时,,即,‎ 函数在上是减函数,解得.‎ 综上可知,所求的取值范围为.‎ ‎20.(本小题满分16分)‎ 已知数列满足,,,是数列的前项和.‎ ‎(1)若数列为等差数列.‎ ‎(ⅰ)求数列的通项;‎ ‎(ⅱ)若数列满足,数列满足,试比较数列前项和与前项和的大小;‎ ‎(2)若对任意,恒成立,求实数的取值范围.‎ 解:(1)(ⅰ)因为,‎ 所以,‎ 即,又,,‎ 所以,‎ 又因为数列成等差数列,所以,‎ 即,解得,‎ 所以;‎ ‎(ⅱ)因为,所以,其前项和,‎ 又因为,‎ 所以其前项和,所以,‎ 当或时,;‎ 当或时,;‎ 当时,.‎ ‎(2)由,‎ 知,‎ 两式作差,得,‎ 所以,‎ 作差得,‎ 所以,当时,;‎ 当时,;‎ 当时,;‎ 当时,;‎ 因为对任意,恒成立,‎ 所以且,‎ 所以,解得,,‎ 故实数的取值范围为.‎ 蒋王中学2020届高三周测数学试题(理科附加)‎ ‎(满分40分,考试时间30分钟)2019.12.13‎ ‎21. 已知为矩阵属于的一个特征向量,求实数,的值及.‎ 解:由条件可知,‎ ‎,解得.(5分)‎ 因此,所以. (10分)‎ ‎22. 在极坐标系中,圆的方程为,以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为为参数),求直线被截得的弦的长度.‎ 解:的方程化为,两边同乘以,得 由,,,‎ 得(5分)‎ 其圆心坐标为,半径,‎ 又直线的普通方程为,‎ 圆心到直线的距离,‎ 弦长(10分)‎ ‎23.如图,设动点P在棱长为1的正方形ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1(不含端点)上,若AP⊥PC,求P点的位置.‎ 解:以,,为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).所以=(1,1,-1).(3分)‎ 设=λ=(λ,λ,-λ)(0<λ<1).(4分)‎ 所以=+=(1-λ,-λ,λ-1),(5分)‎ =+=(-λ,1-λ,λ-1).(6分)‎ 因为AP⊥PC,所以·=0,(7分)‎ 即(1-λ)(-λ)+(-λ)(1-λ)+(λ-1)2=0,解得λ=或λ=1(舍去),(9分)‎ 所以P.(10分)‎ ‎24. 已知是给定的某个正整数,数列满足:,,其中,2,3,,.‎ ‎(Ⅰ)设,求,,;‎ ‎(Ⅱ)求.‎ 解:(Ⅰ)由得,,2,3,,‎ 即,;‎ ‎,,‎ ‎,; (3分)‎ ‎(Ⅱ)由 得:,,2,3,,‎ 即,,,,‎ 以上各式相乘得 (5分)‎ ‎,,2,3,, (7分)‎ ‎ (10分)‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档