2019届二轮复习等差数列及其前n项和学案(全国通用)

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2019届二轮复习等差数列及其前n项和学案(全国通用)

‎5.2 等差数列及其前n项和 考向1等差数列的基本运算 ‎1.(2015·重庆高考)在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6=(  )‎ A.-1 B.0 ‎ C.1 D.6‎ ‎【解析】 ∵{an}为等差数列,∴2a4=a2+a6,∴a6=2a4-a2,‎ 即a6=2×2-4=0.【答案】 B ‎2.(2015·陕西高考)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为 .‎ ‎【解析】 设数列首项为a1,则=1 010,故a1=5.‎ ‎【答案】 5‎ ‎1.等差数列运算问题的通性通法 ‎(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.‎ ‎(2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.‎ ‎2.等差数列前n项和公式的应用方法 根据不同的已知条件选用两个求和公式,如已知首项和公差,则使用公式Sn=na1+d,若已知通项公式,则使用公式Sn=.‎ 考向2等差数列的判定与证明 ‎ (1)设an=(n+1)2,bn=n2-n(n∈N ),则下列命题中不正确的是(  )‎ A.{an+1-an}是等差数列 B.{bn+1-bn}是等差数列 C.{an-bn}是等差数列 D.{an+bn}是等差数列 ‎(2)(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.‎ ‎①证明:an+2-an=λ;‎ ‎②是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.‎ ‎【解析】 (1)对于A,∵an=(n+1)2,∴an+1-an=(n+2)2-(n+1)2=2n+3,设cn=2n+3,‎ ‎∴cn+1-cn=2.∴{an+1-an}是等差数列.故A正确.‎ 对于B,∵bn=n2-n(n∈N ),∴bn+1-bn=2n,设cn=2n,∴cn+1-cn=2,‎ ‎∴{bn+1-bn}是等差数列.故B正确.对于C,∵an=(n+1)2,bn=n2-n(n∈N ),‎ ‎∴an-bn=(n+1)2-(n2-n)=3n+1,设cn=an-bn=3n+1,‎ ‎∴cn+1-cn=3,∴{an-bn}是等差数列.故C正确.对于D,an+bn=2n2+n+1,设cn=an+bn,‎ cn+1-cn不是常数.故D错误.‎ ‎【答案】 D ‎(2)①证明:由题设知anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1,‎ 两式相减得an+1(an+2-an)=λan+1,由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.‎ ‎②由题设知a1=1,a1a2=λS1-1,‎ 可得a2=λ-1.由①知,a3=λ+1,令2a2=a1+a3,解得λ=4.‎ 故an+2-an=4,由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;‎ ‎{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2,‎ 因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.‎ 等差数列的四个判定方法 ‎1.定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数.‎ ‎2.等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2后,可递推得出an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=an-1-an-2=…=a2-a1,根据定义得出数列{an}为等差数列.‎ ‎3.通项公式法:得出an=pn+q后,得an+1-an=p对任意正整数n恒成立,根据定义判定数列{an}为等差数列.‎ ‎4.前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,根据Sn,an的关系,得出an,再使用定义法证明数列{an}为等差数列.‎ ‎[变式训练]‎ ‎(2014·大纲全国卷)数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.‎ ‎(1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列;‎ ‎(2)求{an}的通项公式.‎ ‎【解】 (1)证明:由an+2=2an+1-an+2得an+2-an+1=an+1-an+2,‎ 即bn+1=bn+2.又b1=a2-a1=1,所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列.‎ ‎(2)由(1)得bn=1+2(n-1)=2n-1,即an+1-an=2n-1.‎ 于是(ak+1-ak)=(2k-1),所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.‎ 又a1=1,所以{an}的通项公式为an=n2-2n+2.‎ 考向3等差数列性质的应用 ‎(1)(2015·广东高考)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8= .‎ ‎(2)(2016·郑州模拟)已知等差数列{an}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项和S10= .‎ ‎(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知前6项和为36,最后6项的和为180,Sn=324(n>6),求数列{an}的项数及a9+a10.‎ ‎【解析】 (1)因为等差数列{an}中,a3+a4+a5+a6+a7=25,所以5a5=25,即a5=5.所以a2+a8=2a5=10.‎ ‎(2)∵a2+a4=2a3=4,∴a3=2,又a3+a5=2a4=10,∴a4=5,‎ ‎∴d=a4-a3=3,又a3=a1+2d=2,∴a1=-4,S10=10×(-4)+×3=95.‎ ‎【答案】 (1)10 (2)95‎ ‎(3)由题意知a1+a2+…+a6=36,①‎ an+an-1+an-2+…+an-5=180,②‎ ‎①+②得(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216,∴a1+an=36,‎ 又Sn==324,∴18n=324,∴n=18.‎ 即a1+a18=36,‎ 从而a9+a10=a1+a18=36.‎ 等差数列性质的应用技巧 ‎1.本例中主要使用了等差数列中两项和的性质,即若m+n=p+q=2k,则am+an=ap+aq=2ak.‎ ‎2.掌握等差数列的性质,悉心研究每个性质的使用条件及应用方法,认真分析项数、序号、项的值的特征,这是解题的突破口.‎ ‎[变式训练]‎ ‎1.在等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则该数列前13项和是 .‎ ‎【解析】 3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=3×2a4+2×3a10=6a4+6a10=24,‎ ‎∴a4+a10=4,∴a1+a13=4.S13==26.‎ ‎【答案】 26‎ ‎2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S20=30,则S30= .‎ ‎【解析】 ∵S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,且S10=10,S20=30,∴S20-S10=20,‎ ‎∴S30-S20=2×20-10=30,∴S30=60.‎ ‎【答案】 60‎ 考向4等差数列的前n项和 ‎●命题角度1 等差数列前n项和的最值 ‎1.(2014·北京高考)若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n= 时,{an}的前n项和最大.‎ ‎【解析】 ∵a7+a8+a9=3a8>0,∴a8>0.‎ ‎∵a7+a10=a8+a9<0,∴a9<-a8<0.‎ ‎∴数列的前8项和最大,即n=8.‎ ‎【答案】 8‎ ‎2.等差数列{an}中,设Sn为其前n项和,且a1>0,S3=S11,则当n为多少时,Sn最大?‎ ‎【解】 法一 由S3=S11,得3a1+d=11a1+d,则d=-a1.从而Sn=n2+n=-(n-7)2+a1,‎ 又a1>0,所以-<0.故当n=7时,Sn最大.‎ 法二 由于Sn=an2+bn是关于n的二次函数,由S3=S11,可知Sn=an2+bn的图象关于n==7对称.由方法一可知a=-<0,故当n=7时,Sn最大.‎ 法三 由方法一可知,d=-a1.要使Sn最大,则有即 解得6.5≤n≤7.5,故当n=7时,Sn最大.‎ 法四 由S3=S11,可得2a1+13d=0,即(a1+6d)+(a1+7d)=0,‎ 故a7+a8=0,又由a1>0,S3=S11可知d<0,所以a7>0,a8<0,所以当n=7时,Sn最大.‎ ‎●命题角度2 求数列{|an|}的前n项和 ‎3.在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.‎ ‎(1)求d,an;‎ ‎(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.‎ ‎【解】 (1)由题意得,a1·5a3=(2a2+2)2,即a1·5(a1+2d)=[2(a1+d)+2]2,‎ 整理得d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4.‎ 当d=-1时,an=-n+11,当d=4时,an=4n+6.‎ 总上知d=-1,an=-n+11(n∈N )或d=4,an=4n+6(n∈N ).‎ ‎(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0,由(1)得d=-1,an=-n+11.‎ 令an≥0,即-n+11≥0得n≤11,从而当n≤11时,an≥0,当n≥12时,an<0.‎ 所以当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-n2+n;‎ 当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=(a1+a2+…+a11)-(a12+a13+…+an)‎ ‎=2S11-Sn=n2-n+110.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|‎ ‎= ‎1.求等差数列前n项和最值的方法 ‎(1)二次函数法:用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值,但要注意n∈N .‎ ‎(2)图象法:利用二次函数图象的对称性来确定n的值,使Sn取得最值.‎ ‎(3)项的符号法:当a1>0,d<0时,满足的项数n,使Sn取最大值;当a1<0,d>0时,满足的项数n,使Sn取最小值,即正项变负项处最大,负项变正项处最小,若有零项,则使Sn取最值的n有两个.‎ ‎2.求数列{|an|}前n项和的方法 ‎(1)先求an,令an≥0(an≤0)找出an≥0与an<0的项.‎ ‎(2)根据n的取值范围,分类讨论求和.‎
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