数学卷·2018届重庆市万州二中高二下学期入学数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届重庆市万州二中高二下学期入学数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年重庆市万州二中高二（下）入学数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.选出正确的答案，并将其字母代号填在答题卡规定的位置上．‎ ‎1．直线的倾斜角α=（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎2．直线x+（1+m）y=2﹣m和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为（　　）‎ A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．﹣‎ ‎3．设a，b∈R，则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知椭圆+=1的一点M到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M到椭圆的另一个焦点的距离等于（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎5．在空间给出下列命题（设α、β表示平面，l表示直线，A，B，C表示点）其中真命题有（　　）‎ ‎（1）若A∈l，A∈α，B∈α，B∈l，则l⊂α ‎（2）A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β=AB ‎（3）若l⊄α，A∈l，则A∉α ‎（4）若A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共线，则α与β重合．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎6．（文）圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0与直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0（t∈R）的位置关系是（　　）‎ A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 ‎7．一几何体的三视图如图，则它的体积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．直线y=x+b是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为（　　）‎ A．2 B．ln2+1 C．ln2﹣1 D．ln2‎ ‎9．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（　　）‎ A． x±y=0 B．x±y=0 C．2x±y=0 D．x±2y=0‎ ‎10．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=1，AB=2，点E是AB上一点，当二面角P﹣EC﹣D的平面角为时，AE=（　　）‎ A．1 B． C．2﹣ D．2﹣‎ ‎11．设双曲线为双曲线F的焦点．若双曲线F存在点M，满足（O为原点），则双曲线F的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（　　）‎ A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．球的一部分 D．抛物线的一部分 ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎13．双曲线﹣y2=1的离心率等于　　．‎ ‎14．若A（1，﹣2，1），B（2，2，2），点P在z轴上，且|PA|=|PB|，则点P的坐标为　　．‎ ‎15．已知点P（x，y）满足x2﹣8x+y2﹣4y+16≤0，则的取值范围是　　．‎ ‎16．已知点M是y=上一点，F为抛物线的焦点，A在C：（x﹣1）2+（y﹣4）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卷的指定区域内.‎ ‎17．已知命题p：方程﹣=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2），若p且q为假，p 或 q为真，求实数m的取值范围．‎ ‎18．点P（0，4）关于x﹣y+3=0的对称点Q在直线l上，且l与直线3x﹣y+2=0平行 ‎（1）求直线l的方程 ‎（2）求圆心在直线l上，与x轴相切，且被直线x﹣2y=0截得的弦长为4的圆的方程．‎ ‎19．如图（1），边长为2的正方形ABEF中，D，C分别为EF，AF上的点，且ED=CF，现沿DC把△CDF剪切、拼接成如图（2）的图形，再将△BEC，△CDF，△ABD沿BC，CD，BD折起，使E，F，A三点重合于点A′．‎ ‎（1）求证：BA′⊥CD；‎ ‎（2）求四面体B﹣A′CD体积的最大值．‎ ‎20．经过双曲线x2﹣=1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB．求：‎ ‎（1）线段AB的长；‎ ‎（2）设F2为右焦点，求△F2AB的周长．‎ ‎21．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．‎ ‎（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；‎ ‎（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．‎ ‎22．椭圆C： +=1（a＞b＞0），作直线l交椭圆于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，设直线l的斜率为k1，直线OM的斜率为k2‎ ‎，k1k2=﹣．‎ ‎（1）求椭圆C的离心率；‎ ‎（2）设直线l与x轴交于点D（﹣，0），且满足=2，当△OPQ的面积最大时，求椭圆C的方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年重庆市万州二中高二（下）入学数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.选出正确的答案，并将其字母代号填在答题卡规定的位置上．‎ ‎1．直线的倾斜角α=（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】先由直线的方程求出斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，再结合倾斜角的范围求出倾斜角．‎ ‎【解答】解：直线的斜率等于﹣，即直线倾斜角的正切值是﹣，又倾斜角大于或等于0度且小于180°，‎ 故直线的倾斜角为150°，‎ 故选 D．‎ ‎　‎ ‎2．直线x+（1+m）y=2﹣m和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为（　　）‎ A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．﹣‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】由直线平行可得1×2﹣（1+m）m=0，解方程排除重合可得．‎ ‎【解答】解：∵直线x+（1+m）y=2﹣m和直线mx+2y+8=0平行，‎ ‎∴1×2﹣（1+m）m=0，解得m=1或﹣2，‎ 当m=﹣2时，两直线重合．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．设a，b∈R，则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：若a=1，b=﹣2，满足a＞b，但|a|＞|b|不成立，‎ 若a=﹣2，b=1，满足|a|＞|b|，但a＞b不成立，‎ 即“a＞b”是“|a|＞|b|”的既不充分也不必要条件，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．已知椭圆+=1的一点M到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M到椭圆的另一个焦点的距离等于（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用椭圆的定义即可得出．‎ ‎【解答】解：由椭圆+=1，可得a=4．‎ 设点M到椭圆的另一个焦点的距离等于d，则d+4=2a=8，解得d=4．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．在空间给出下列命题（设α、β表示平面，l表示直线，A，B，C表示点）其中真命题有（　　）‎ ‎（1）若A∈l，A∈α，B∈α，B∈l，则l⊂α ‎（2）A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β=AB ‎（3）若l⊄α，A∈l，则A∉α ‎（4）若A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共线，则α与β重合．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【考点】平面的基本性质及推论．‎ ‎【分析】在（1）中，由公理一知l⊂α；在（2）中，由公理二知α∩‎ β=AB；在（3）中，A∉α或A∈α；在（4）中，由公理二得α与β重合．‎ ‎【解答】解：在（1）中，若A∈l，A∈α，B∈α，B∈l，则由公理一知l⊂α，故（1）正确；‎ 在（2）中，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则由公理二知α∩β=AB，故（2）正确；‎ 在（3）中，若l⊄α，A∈l，则A∉α或A∈α，故（3）错误；‎ 在（4）中，若A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共线，‎ 则由公理二得α与β重合，故（4）正确．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．（文）圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0与直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0（t∈R）的位置关系是（　　）‎ A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】观察动直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0（t∈R）可知直线恒过点（1，﹣2），然后判定点（1，﹣2）在圆内，从而可判定直线与圆的位置关系．‎ ‎【解答】解：直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0恒过（1，﹣2）‎ 而12+（﹣2）2﹣2×1+4×（﹣2）﹣4=﹣9＜0‎ ‎∴点（1，﹣2）在圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0内 则直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0与圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0相交 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．一几何体的三视图如图，则它的体积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】几何体是一个简单组合体，上面是一个圆锥，圆锥的高是a，底面直径是2a，这些都比较好看出，再根据圆锥的体积公式，得到结果，下面是一个特正方体，棱长是a，做出体积把两个体积相加得到结果．‎ ‎【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，‎ 上面是一个圆锥，圆锥的高是a，底面直径是2a，‎ ‎∴圆锥的体积是=，‎ 下面是一个棱长是a的正方体，‎ 正方体的体积是a3，‎ ‎∴空间几何体的体积是，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎8．直线y=x+b是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为（　　）‎ A．2 B．ln2+1 C．ln2﹣1 D．ln2‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】欲实数b的大小，只须求出切线方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后求出切线方程与已知直线方程对照即可．‎ ‎【解答】解：y′=（lnx）′=，令得x=2，‎ ‎∴切点为（2，ln2），‎ 代入直线方程y=x+b，‎ ‎∴ln2=×2+b，‎ ‎∴b=ln2﹣1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（　　）‎ A． x±y=0 B．x±y=0 C．2x±y=0 D．x±2y=0‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】通过椭圆与双曲线的方程可得各自的离心率，化简即得结论．‎ ‎【解答】解：∵椭圆C1的方程为+=1，‎ ‎∴椭圆C1的离心率e1=，‎ ‎∵双曲线C2的方程为﹣=1，‎ ‎∴双曲线C2的离心率e2=，‎ ‎∵C1与C2的离心率之积为，‎ ‎∴•=，‎ ‎∴==1﹣，‎ 又∵a＞b＞0，∴=，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥‎ 平面ABCD，且PD=AD=1，AB=2，点E是AB上一点，当二面角P﹣EC﹣D的平面角为时，AE=（　　）‎ A．1 B． C．2﹣ D．2﹣‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法．‎ ‎【分析】过点D作DF⊥CE于F，连接PF，由三垂线定理证出DF⊥CE，从而∠PFD为二面角P﹣EC﹣D的平面角，即∠PFD=．等腰Rt△PDF中，得到PD=DF=1．矩形ABCD中，利用△EBC与△CFD相似，求出EC=2，最后在Rt△BCE中，根据勾股定理，算出出BE=，从而得出AE=2﹣．‎ ‎【解答】解：过点D作DF⊥CE于F，连接PF ‎∵PD⊥平面ABCD，∴DF是PF在平面ABCD内的射影 ‎∵DF⊥CE，‎ ‎∴PF⊥CE，可得∠PFD为二面角P﹣EC﹣D的平面角，即∠PFD=‎ Rt△PDF中，PD=DF=1‎ ‎∵矩形ABCD中，△EBC∽△CFD ‎∴=，得EC==2‎ Rt△BCE中，根据勾股定理，得BE==‎ ‎∴AE=AB﹣BE=2﹣‎ 故选：D ‎　‎ ‎11．设双曲线为双曲线F的焦点．若双曲线F存在点M，满足（O为原点），则双曲线F的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题设条件结合双曲线性质推导出|MF1|=4a，|MO|=|MF2|=2a，取OF2的中点N，连结MN，得到MN⊥F1F2，且ON=，F1N=，把x=代入双曲线F，求出MN=，由此能求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】双曲线F存在点M，满足（O为原点），‎ ‎∴|MF1|=4a，|MO|=|MF2|=2a，‎ 取OF2的中点N，连结MN，‎ 则MN⊥F1F2，且ON=，F1N=，‎ 把x=代入双曲线F，‎ 得，‎ 解得MN=|y|=，‎ ‎∵|MF1|2=|F1N|2+|MN|2，‎ ‎∴16a2=+，‎ 整理，得e4+4e2﹣60=0，‎ 解得e2=6，或e2=﹣10（舍），‎ ‎∴e=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（　　）‎ A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．球的一部分 D．抛物线的一部分 ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，写出点A，B的坐标，根据条件得出Rt△APD∽Rt△CPB，‎ 进而得出．，设出点P的坐标，利用两点间的距离公式，代入上式化简，根据轨迹方程，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：在平面PAB内，‎ 以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．‎ 设点P（x，y），则由题意可得 A（﹣3，0），B（3，0）．‎ ‎∵AD⊥α，BC⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，‎ ‎∴Rt△APD∽Rt△CPB，‎ ‎∴．‎ 即 BP2=4AP2，故有（x﹣3）2+y2=4[（x+3）2+y2]，‎ 整理得：（x+5）2+y2=16，表示一个圆．‎ 由于点P不能在直线AB上（否则，不能构成四棱锥），‎ 故点P的轨迹是圆的一部分，‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎13．双曲线﹣y2=1的离心率等于　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线的方程，求出a，b，c，即可求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：由双曲线的方程可知a2=4，b2=1，‎ 则c2=a2+b2=4+1=5，‎ 则a=2，c=，‎ 即双曲线的离心率e==，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．若A（1，﹣2，1），B（2，2，2），点P在z轴上，且|PA|=|PB|，则点P的坐标为　（0，0，3）　．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】由点P在z轴上且到A、B两点的距离相等，可设出点P（0，0，z），由两点间的距离公式建立方程求解即可得到点M的坐标．‎ ‎【解答】解：设P（0，0，z），由|PA|=|PB|，得1+4+（z﹣1）2=4+4+（z﹣2）2，‎ 解得z=3，‎ 故点P的坐标为（0，0，3），‎ 故答案为：（0，0，3）．‎ ‎　‎ ‎15．已知点P（x，y）满足x2﹣8x+y2﹣4y+16≤0，则的取值范围是　[0，]　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】将已知条件中不等式x2﹣8x+y2﹣4y+16≤0进行化简，得（x﹣4）2+（y﹣2）2≤4，则（x，y）表示圆（x﹣4）2+（y﹣2）2=4及其内部的点，由表示两点（x，y），（0，0）的斜率k，当直线y=kx与圆相切时k取最大最小值．根据圆心到直线的距离等于半径确定的最大最小值．‎ ‎【解答】解：∵不等式x2﹣8x+y2﹣4y+16≤0可化简为：（x﹣4）2+（y﹣2）2≤4，‎ 则（x，y）表示圆（x﹣4）2+（y﹣2）2=4及其内部的点，‎ ‎∵可看做为两点（x，y），（0，0）连线的斜率，‎ 设，‎ 即kx﹣y=0，‎ 当直线与圆相切时，k取最大最小值，此时，圆心到直线的距离d=r，‎ 即，‎ 解得：k=0，或k=，‎ ‎∴的取值范围是[]．‎ ‎　‎ ‎16．已知点M是y=上一点，F为抛物线的焦点，A在C：（x﹣1）2+（y﹣4）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值为　4　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】首先求出抛物线上的点到圆上及抛物线的焦点的距离最小的位置，然后根据三点共线求出相应的点的坐标，进一步求出最小值．‎ ‎【解答】‎ 解：如上图所示 利用抛物线的定义知：MP=MF 当M、A、P三点共线时，|MA|+|MF|的值最小 即：CM⊥x轴 CM所在的直线方程为：x=1与y=建立方程组解得：M（1，）‎ ‎|CM|=4﹣‎ 点M到圆C的最小距离为：|CM|﹣|AC|=3‎ 抛物线的准线方程：y=﹣1‎ 则：，|MA|+|MF|的值最小值为3+1=4‎ 故答案为：4‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卷的指定区域内.‎ ‎17．已知命题p：方程﹣=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2），若p且q为假，p 或 q为真，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据椭圆和双曲线的简单性质，判断出命题p，q的真假，进而根据命题命题真假判断的真值表，得到答案．‎ ‎【解答】（本题满分12分）‎ 解：若P真，则1﹣m＞2m＞0，解得0＜m＜ …‎ 若q真，则1＜＜4，解得0＜m＜15；…‎ 若p真q假，则，解集为空集，…‎ p假q真，则，解得，…‎ 故． …‎ ‎　‎ ‎18．点P（0，4）关于x﹣y+3=0的对称点Q在直线l上，且l与直线3x﹣y+2=0平行 ‎（1）求直线l的方程 ‎（2）求圆心在直线l上，与x轴相切，且被直线x﹣2y=0截得的弦长为4的圆的方程．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）求出点（0，4）关于x﹣y+3=0的对称点，利用l与直线3x﹣y+2=0平行，即可求直线l的方程 ‎（2）利用待定系数法，即可求出圆的方程．‎ ‎【解答】解：（1）设点Q（m，n）为点（0，4）关于x﹣y+3=0的对称点．‎ 则 解得m=1，n=3，即Q（1，3）．‎ 由l与直线3x﹣y+2=0平行，得l的斜率为3．‎ 又Q（1，3）在直线l上，‎ 所以直线l的方程为y﹣3=3（x﹣1），即3x﹣y=0．‎ ‎（2）设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）．‎ 由题意得 解得或．‎ ‎∴圆的方程为（x+1）2+（y+3）2=9或（x﹣1）2+（y﹣3）2=9．‎ ‎　‎ ‎19．如图（1），边长为2的正方形ABEF中，D，C分别为EF，AF上的点，且ED=CF，现沿DC把△CDF剪切、拼接成如图（2）的图形，再将△BEC，△CDF，△ABD沿BC，CD，BD折起，使E，F，A三点重合于点A′．‎ ‎（1）求证：BA′⊥CD；‎ ‎（2）求四面体B﹣A′CD体积的最大值．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（1）通过折叠前与折叠后直线与直线的垂直，证明BA′⊥平面A′CD，然后证明BA′⊥CD．‎ ‎（2）设A′C=x（0＜x＜2），得到A′D=2﹣x．求出S△A′CD=x（2﹣x）．然后推出VB﹣A′CD的表达式，利用二次函数求出体积最大值．‎ ‎【解答】（1）证明：折叠前，BE⊥EC，BA⊥AD，折叠后BA′⊥A′C，BA′⊥A′D，‎ 又A′C∩A′D=A′，‎ 所以BA′⊥平面A′CD，‎ 因为CD⊂平面A′CD，‎ 因此BA′⊥CD．‎ ‎（2）解：设A′C=x（0＜x＜2），则A′D=2﹣x．因此S△A′CD=x（2﹣x）．‎ ‎∴VB﹣A′CD=S△A′CD==．‎ 所以当x=1时，四面体B﹣A′CD体积的最大值为．‎ ‎　‎ ‎20．经过双曲线x2﹣=1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB．求：‎ ‎（1）线段AB的长；‎ ‎（2）设F2为右焦点，求△F2AB的周长．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）求出双曲线的焦点坐标，求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程；将直线的方程代入双曲线的方程，利用两点的距离公式求出|AB|．‎ ‎（2）求出|BF2|，|AF2|，即可得到△F2AB的周长．‎ ‎【解答】解：（1）∵双曲线的左焦点为F1（﹣2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 直线AB的方程可设为y=（x+2），代入方程x2﹣=1得，8x2﹣4x﹣13=0，‎ ‎∴x1+x2=，x1x2=﹣，‎ ‎∴|AB|=|x1﹣x2|=3；‎ ‎（2）|F1A|=|x1﹣（﹣2）|=‎ 由双曲线的定义得|BF2|=|BF1|﹣2=|AB|+|AF1|﹣2=1+‎ ‎|AF2|=|AF1|+2=2+，‎ ‎∴△F2AB的周长为3+3．‎ ‎　‎ ‎21．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．‎ ‎（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；‎ ‎（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．‎ ‎【考点】与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．‎ ‎（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．‎ ‎【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，‎ 则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），‎ A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），‎ ‎∴， =（1，﹣1，﹣4），‎ ‎∴cos＜＞===，‎ ‎∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．‎ ‎（2）是平面ABA1的一个法向量，‎ 设平面ADC1的法向量为，‎ ‎∵，‎ ‎∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，‎ ‎∴平面ADC1的法向量为，‎ 设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，‎ ‎∴cosθ=|cos＜＞|=||=，‎ ‎∴sinθ==．‎ ‎∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．‎ ‎　‎ ‎22．椭圆C： +=1（a＞b＞0），作直线l交椭圆于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，设直线l的斜率为k1，直线OM的斜率为k2，k1k2=﹣．‎ ‎（1）求椭圆C的离心率；‎ ‎（2）设直线l与x轴交于点D（﹣，0），且满足=2，当△OPQ的面积最大时，求椭圆C的方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）设P（x1，y1），Q（x2，y2），代入椭圆方程，作差，结合直线的斜率公式和中点坐标公式，即可得到b2=a2，运用离心率公式可得所求；‎ ‎（2）椭圆C的方程为：2x2+3y2=6c2，设直线l的方程为：，代入椭圆方程，运用韦达定理，再由向量共线的坐标表示，求得三角形的面积，化简运用基本不等式可得最大值，即可得到所求椭圆方程．‎ ‎【解答】解：（1）设P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 代入椭圆C的方程有：，‎ 两式相减：，‎ 即，‎ 直线l的斜率为k1，直线OM的斜率为k2，‎ 可得k1=，k2=，‎ 即有，‎ 即b2=a2，c2=a2﹣b2=a2，‎ 可得；‎ ‎（2）由（1）知，得a2=3c2，b2=2c2，‎ 可设椭圆C的方程为：2x2+3y2=6c2，‎ 设直线l的方程为：，‎ 代入椭圆C的方程有，‎ 因为直线l与椭圆C相交，所以△=48m2﹣4（2m2+3）（6﹣6c2）＞0，‎ 由韦达定理：，．‎ 又，所以y1=﹣2y2，代入上述两式有：，‎ ‎=，‎ 当且仅当时，等号成立，此时c2=5，代入△，有△＞0成立，‎ 所以所求椭圆C的方程为：．‎