内蒙古鄂尔多斯市第一中学2020届高三第四次调研考试数学(理)试题 含答案

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内蒙古鄂尔多斯市第一中学2020届高三第四次调研考试数学(理)试题 含答案

www.ks5u.com 高三上学期第四次调研考试 理科数学 ‎(时间:120分钟 分数:150分)‎ 一.选择题(每小题5分,共60分)‎ ‎1.已知集合,,则 A.{0,1,6,12,20} B.{0,2,6,12,20} C.{2,6,12,20} D.{6,12}‎ ‎2.复数z满足,则z=‎ ‎ ‎ ‎3.在的展开式中,含项的系数为 A.16 B.-16 C.8 D.-8‎ ‎4.已知,且,则与的夹角为 ‎ ‎ ‎5.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等和亮度满足,其中星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是26.7,天狼星的星等是1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为 ‎ ‎ ‎6.已知等差数列的前n项和为,且,则 A.2019 B.2018 C.2017 D.2020‎ ‎7.若四面体ABCD的三组对棱分别相等,即AB=CD,AC=BD,AD=BC,给出下列结论:‎ ‎①四面体ABCD每组对棱相互垂直;‎ ‎②四面体ABCD每个面的面积相等;‎ ‎③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°;‎ ‎④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分;‎ ‎⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.‎ 其中正确结论的序号是 A.②④⑤ B.①②④⑤ C.①③④ D.②③④⑤‎ ‎8.已知奇函数且,当取最小值时,在下列区间内,单调递减的是 ‎ C. D. ‎ ‎9.已知点P是抛物线上的一点,在点P处的切线恰好过点,则点P到抛物线焦点的距离为 ‎ ‎ ‎10.如图,在三棱锥D-ABC中,CD⊥底面ABC,△ABC为正三角形,若AE∥CD,AB=CD=AE=2,则三棱锥D-ABC与三棱锥E-ABC的公共部分构成的几何体的外接球的体积为 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎11.设双曲线的左右焦点分别为,过点的直线分别交双曲线的左、右支于点M,N,若以MN为直径的圆过点,且,则双曲线的离心率为 ‎ ‎ ‎12.已知函数是定义在的偶函数,且.当时,,若方程有300个不同的实数根,则实数m的取值范围为 ‎ ‎ ‎ ‎ D.‎ 二.填空题(每小题5分,共20分):‎ ‎13.高一新生健康检查的统计结果:体重超重者占40%,血压异常者占15%,两者都有的占8%,今任选一人进行健康检查,已知此人超重,他血压异常的概率为__________.‎ ‎14若,则______________.‎ ‎15.已知函数,若正实数a,b满足,则的 最小值为___________.‎ ‎16.已知数列的首项,其前项和为,且满足,若对, 恒成立,则的取值范围是__________.‎ 三.解答题(共70分):‎ ‎17.(12分)在中,点D在线段BC上.[来源:学科网ZXXK]‎ ‎(1)若,求AD的长; ‎ ‎(2)若BD=2DC,,求的值.‎ ‎18.(12分)随着通识教育理念的推广及高校课程改革的深入,选修课越来越受到人们的重视.国内一些知名院校在公共选修课的设置方面做了许多有益的探索,并且取得了一定的成果.因为选修课的课程建设处于探索阶段,选修课的教学、管理还存在很多的问题,所以需要在通识教育的基础上制定科学的、可行的解决方案,为学校选修课程的改革与创新、课程设置、考试考核、人才培养提供参考.某高校采用分层抽样法抽取了数学专业的50名参加选修课与不参加选修课的学生的成绩,统计数据如下表:‎ 成绩优秀 成绩不够优秀 总计 参加选修课 ‎16‎ ‎9‎ ‎25‎ 不参加选修课[来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ ‎8‎ ‎17‎ ‎25‎ 总计 ‎24‎ ‎26‎ ‎50‎ ‎(1)试运用独立性检验的思想方法分析:你能否有99%的把握认为“学生的成绩优秀与是否参加选修课有关”,并说明理由;‎ ‎(2)如果从数学专业随机抽取5名学生,求抽到参加选修课的学生人数的分布列和数学期望(将频率当做概率计算).‎ 参考公式:[来源:Zxxk.Com]‎ 临界值表:‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19.(12分)如图,D是AC的中点,四边形BDEF是菱形,‎ 平面BDEF⊥平面ABC,∠FBD=60°,AB⊥BC,AB=BC=.‎ ‎(1)若点M是线段BF的中点,证明:BF⊥平面AMC;‎ ‎(2)求平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎20.(12分)已知,直线:,椭圆:分别为椭圆的左、右焦点.‎ ‎(1)当直线过右焦点时,求直线的方程;‎ ‎(2)设直线与椭圆交于两点,,的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内,求实数的取值范围.‎ ‎21.(12分)已知函数 ‎(1)若,求证:;‎ ‎(2)若,求的最大值;‎ ‎(3)求证:当时,.‎ 选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,按所做的第一题计分。[来源:学科网]‎ ‎22.(10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,M(-2,0).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,A(ρ,θ)为曲线C上一点,B,|BM|=1.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)求|OA|2+|MA|2的取值范围.‎ ‎23.(10分)选修4-5:不等式选讲 若∃x0∈R,使关于x的不等式|x-1|-|x-2|≥t成立,设满足条件的实数t构成的集合为T.‎ ‎(1)求集合T;‎ ‎(2)若m>1,n>1且对于∀t∈T,不等式log3m·log3n≥t恒成立,求m+n的最小值.‎ 月考答案 一. 选择题:1-5 BDBCA 6-10 CAABB 11-12 CA 二. 填空题:13. 0.2 14. 15.8 16.[来源:Z,xx,k.Com]‎ 三. 解答题:‎ ‎ .........................5分 ‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎.........................12分 ‎19.∵平面BDEF∩平面ABC=BD,‎ 平面ABC⊥平面BDEF,AC⊂平面ABC,‎ ‎∴AC⊥平面BDEF.‎ 又BF⊂平面BDEF,∴AC⊥BF.‎ ‎∵DM∩AC=D,∴BF⊥平面AMC.............................4分 ‎(2)设线段EF的中点为N,连接DN.易证DN⊥平面ABC.以D为坐标原点,DB,DC,DN所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则A(0,-1,0),E(-,0,),F(,0,),B(1,0,0),C(0,1,0),‎ ‎∴=(-,1,),=(1,0,0),=(-,0,),=(-1,1,0).....6分 设平面AEF,平面BCF的法向量分别为=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2).‎ 由得 取z1=-2,则y1=,∴=(0,,-2). ...............................8分 由得解得x2=y2=z2,‎ 取z2=1,∴=(,,1). ......................................10分 ‎∵||=||==.‎ ‎∴平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值为. ................12 分 ‎20.(1)∵直线:经过,,得.又,,故直线的方程为. ……4分 ‎(2)设,‎ 由消去得,∴. ‎ 由,得.…… 7分 ‎ 由于,故为的中点.由分别为的重心,可知,‎ 设是的中点,则,∵原点在以线段为直径的圆内,.而,‎ ‎∴,即.......10分 又且,,的取值范围是.……….12分 ‎ ...................................12 分 ‎22.解:(1)设A(x,y),则x=ρcosθ,y=ρsinθ,‎ 所以xB=ρcos=x-y,‎ yB=ρsin=x+y,‎ 故B由|BM|2=1,得,‎ 整理得曲线C的方程为(x+1)2+(y-)2=1....................................5分 ‎(2)圆C:(α为参数),‎ 则|OA|2+|MA|2=4sinα+10,‎ 所以|OA|2+|MA|2∈[10-4,10+4]......................................10分 ‎23.解:(1)||x-1|-|x-2||≤|x-1-(x-2)|=1,‎ 所以|x-1|-|x-2|≤1,所以t的取值范围为(-∞,1],‎ 即T={t|t≤1}....................................5分 ‎(2)由(1)知,对于∀t∈T,不等式log3m·log3n≥t恒成立,只需log3m·log3n≥tmax,‎ 所以log3m·log3n≥1,‎ 又因为m>1,n>1,所以log3m>0,log3n>0,‎ 又1≤log3m·log3n≤= ‎(log3m=log3n时取等号,此时m=n),...............................................8分 所以(log3mn)2≥4,所以log3mn≥2,mn≥9,‎ 所以m+n≥2≥6,即m+n的最小值为6(此时m=n=3)......................................10分
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