2017-2018学年辽宁省实验中学等五所重点校高二上学期期末考试数学（理）试题（Word版）

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辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才 学校2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设命题，则为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2.设等差数列的前项和为，已知，则（ ）‎ A． B．27 C． D．54‎ ‎3.若，则“”是“”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.已知等比数列中，，则其前三项的和的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知变量满足约束条件，若目标函数的最小值为2，则（ ）‎ A．2 B．1 C． D． ‎ ‎8.的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，则的长为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.设椭圆与函数的图象相交于两点，点为椭圆上异于的动点，若直线的斜率取值范围是，则直线的斜率取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.设数列的前项和，若，且，则等于（ ）‎ A．5048 B．5050 C．10098 D．10100‎ ‎12.已知双曲线的上焦点为，是双曲线下支上的一点，线段与圆相切于点，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．‎ ‎14.已知正项等比数列的公比为2，若，则的最小值等于 ．‎ ‎15.已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是 ．‎ ‎16.如图，在直三棱柱中，，已知与分别是棱和的中点，与分别是线段与上的动点（不包括端点）.若，则线段的长度的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列是等比数列，首项，公比，其前项和为，且成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求数列的前项和.‎ ‎18.在长方体中，，为中点.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值.‎ ‎19.已知数列{满足，.‎ ‎（1）求证：数列是等比数列；‎ ‎（2）若数列是单调递增数列，求实数的取值范围.‎ ‎20.如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，且平面平面,为中点，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若二面角的平面角大小满足，求四棱锥的体积.‎ ‎21.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于 两点，且.‎ ‎（1）求该抛物线的方程； ‎ ‎（2）过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点和.设线段的中点分别为，求证：直线恒过一个定点.‎ ‎22.如图，在平面直角坐标系中，已知圆，点，点，以为圆心，为半径作圆，交圆于点，且的平分线交线段于点.‎ ‎（1）当变化时，点始终在某圆锥曲线上运动，求曲线的方程；‎ ‎（2）已知直线过点，且与曲线交于两点，记面积为，面积为，求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: DACAA 6-10: DCBBD 11、12：CB 二、填空题 ‎13. 14. 15. 6 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）因为成等差数列，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，因为数列是等比数列，所以，‎ 又，所以，所以数列的通项公式.‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以 ‎ ‎ ‎.‎ 故.‎ ‎18. （1）证明：连接 ‎∵是长方体，∴平面 又平面，∴ ‎ 在长方形中，,∴‎ 又,∴平面 而平面,∴ ‎ ‎（2）如图，以为坐标原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则 ‎，‎ 设平面的法向量为，则 令，则 ‎∴‎ 所以与平面所成角的正弦值为.‎ ‎19.解（1）因为数列满足，所以，‎ 即，又，所以 ，‎ 所以数列是以2为首项，公比为2的等比数列.‎ ‎（2）由（1）可得，所以，‎ 因为符合，所以.‎ 因为数列是单调递增数列，所以，即， ‎ 化为，所以.‎ ‎20.证明：（1）取中点为,中点为, ‎ 由侧面为正三角形，且平面平面，得平面,故,‎ 又,则平面,∴,‎ 又,则,‎ 又是中点，则,‎ 由线面垂直的判定定理知平面.‎ 又平面, 故平面平面.‎ ‎（2）如图，以为坐标原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则 令，则 由（1）知为平面的法向量，‎ 令为平面的法向量，由于，‎ 故 即 解得故，‎ 由，解得.‎ 故四棱锥的体积.‎ ‎21.解：（1）抛物线的焦点，∴直线的方程为：‎ 联立方程组，消元得：，‎ ‎∴‎ ‎∴，解得.‎ ‎∵，∴抛物线的方程为：.‎ ‎（2）设两点坐标分别为，则点的坐标为..‎ 由题意可设直线的方程为.‎ 由，得.‎ 因为直线与曲线于两点，所以.‎ 所以点的坐标为.‎ 由题知，直线的斜率为，同理可得点的坐标为.‎ 当时，有，此时直线的斜率.‎ 所以，直线的方程为，整理得.‎ 于是，直线恒过定点；‎ 当时，直线的方程为，也过点.‎ 综上所述，直线恒过定点.‎ ‎22.解：（1）∵,‎ ‎∴,∴,‎ ‎∵,∴,‎ 由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点,的椭圆，‎ 故点的轨迹方程为.‎ ‎(2)由题可知，设直线，不妨设 ‎∵，，‎ ‎，‎ ‎∵，∴，，‎ ‎∴ ，‎ ‎∵，即，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴.‎