2018年上海市黄浦区高考数学一模试卷

2018年上海市黄浦区高考数学一模试卷

‎2018年上海市黄浦区高考数学一模试卷 ‎　‎ 一、填空题（本大题共有12题，满分36分.其中第1～6题每题满分36分，第7～12题每题满分36分）‎ ‎1．（3分）已知全集U=R，集合，则（∁UB）∩A=　 　．‎ ‎2．（3分）函数的定义域是　 　．‎ ‎3．（3分）若复数z满足（i为虚数单位），则z=　 　．‎ ‎4．（3分）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=　 　．‎ ‎5．（3分）若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为　 　．‎ ‎6．（3分）若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a=　 　．‎ ‎7．（3分）已知向量=（x，y）（x，y∈R），=（1，2），若x2+y2=1，则|﹣|的最小值为　 　．‎ ‎8．（3分）已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=　 　．‎ ‎9．（3分）已知 m，n，α，β∈R，m＜n，α＜β，若α，β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，则m，n，α，β四个数按从小到大的顺序是　 　（用符号“＜“连接起来）．‎ ‎10．（3分）已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为　 　．‎ ‎11．（3分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如 ‎，A（﹣1.1）=﹣1．若A（2x•A（x））=5，则正实数x的取值范围是　 　．‎ ‎12．（3分）已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m=　 　．‎ ‎　‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分12分．）‎ ‎13．（3分）若x∈R，则“x＞1”是“”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎14．（3分）已知向量，则下列能使成立的一组向量是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎15．（3分）一个算法的程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 （　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎16．（3分）已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（　　）‎ A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形 B．对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形 C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形 D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形 ‎　‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）‎ ‎17．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=4，BC=3，E，F分别是所在棱AB，BC的中点，点P是棱A1B1上的动点，联结EF，AC1．如图所示．‎ ‎（1）求异面直线EF，AC1所成角的大小（用反三角函数值表示）；‎ ‎（2）求以E，F，A，P为顶点的三棱锥的体积．‎ ‎18．（12分）如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．‎ ‎（1）用α表示A，B两点的坐标；‎ ‎（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．‎ ‎19．（14分）已知函数g（x）=，x∈R，函数y=f（x）是函数y=g（x）的反函数．‎ ‎（1）求函数y=f（x）的解析式，并写出定义域D；‎ ‎（2）设h（x）=，若函数y=h（x）在区间（0，1）内的图象是不间断的光滑曲线，求证：函数y=h（x）在区间（﹣1，0）内必有唯一的零点（假设为t），且﹣1．‎ ‎20．（18分）（理科）定义：若各项为正实数的数列{an}满足，则称数列{an}为“算术平方根递推数列”．‎ 已知数列{xn}满足，且，点（xn+1，xn）在二次函数f（x）=2x2+2x的图象上．‎ ‎（1）试判断数列{2xn+1}（n∈N*）是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；‎ ‎（2）记yn=lg（2xn+1）（n∈N*），求证：数列{yn}是等比数列，并求出通项公式yn；‎ ‎（3）从数列{yn}中依据某种顺序自左至右取出其中的项，把这些项重新组成一个新数列{zn}：．‎ 若数列{zn}是首项为、公比为的无穷等比数列，且数列{zn}各项的和为，求正整数k、m的值．‎ ‎21．（18分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．‎ ‎（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；‎ ‎（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．‎ ‎（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．‎ ‎　‎ ‎2018年上海市黄浦区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（本大题共有12题，满分36分.其中第1～6题每题满分36分，第7～12题每题满分36分）‎ ‎1．（3分）已知全集U=R，集合，则（∁UB）∩A=　{x|﹣1＜x≤}　．‎ ‎【解答】解：A={x|﹣1＜x＜1}，‎ ‎∁UB={x|x≤}，‎ 则（∁UB）∩A={x|﹣1＜x≤}，‎ 故答案为：{x|﹣1＜x≤}，‎ ‎　‎ ‎2．（3分）函数的定义域是　（1，+∞）　．‎ ‎【解答】解：要使函数有意义，需满足 解得x＞1‎ 故答案为：（1，+∞）‎ ‎　‎ ‎3．（3分）若复数z满足（i为虚数单位），则z=　1+2i　．‎ ‎【解答】解：由，‎ 得z=1+2i．‎ 故答案为：1+2i．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=　﹣2　．‎ ‎【解答】解：∵sin（α+）=cosα，sin（α+）=，‎ ‎∴cosα=，‎ 又α∈（﹣，0），‎ ‎∴sinα=﹣，‎ ‎∴tanα==﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为　　．‎ ‎【解答】解：设数列中的任意一项为a，‎ 由无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，‎ 得a=，即1﹣q=q ‎∴q=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a=　1　．‎ ‎【解答】解：作函数y=sinx在区间[π，2π]上的图象如下，‎ ‎，‎ 结合图象可知，‎ 若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，‎ 则a﹣1=0，‎ 故a=1；‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）已知向量=（x，y）（x，y∈R），=（1，2），若x2+y2=1，则|﹣|的最小值为　﹣1　．‎ ‎【解答】解：设O（0，0），P（1，2），‎ ‎∴|﹣|=≥||﹣1=﹣1=﹣1，‎ ‎∴|﹣|的最小值为﹣1‎ ‎　‎ ‎8．（3分）已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=　﹣7　．‎ ‎【解答】解：∵反函数与原函数具有相同的奇偶性．‎ ‎∴g（﹣3）=﹣g（3），‎ ‎∵反函数的定义域是原函数的值域，‎ ‎∴log2（x+1）=3，‎ 解得：x=7，‎ 即g（3）=7，‎ 故得g（﹣3）=﹣7．‎ 故答案为：﹣7．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）已知 m，n，α，β∈R，m＜n，α＜β，若α，β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，则m，n，α，β四个数按从小到大的顺序是　α＜m＜n＜β　（用符号“＜“连接起来）．‎ ‎【解答】解：∵α、β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，‎ ‎∴α、β是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与函数y=7的交点 的横坐标，‎ 且m、n是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与x轴的交点的横坐标，‎ 故由二次函数的图象可知，‎ α＜m＜n＜β；‎ 故答案为：α＜m＜n＜β．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为　　．‎ ‎【解答】解：如图，‎ A（﹣a，0），B（0，b），F（c，0），‎ 则P（c，），‎ ‎∴，，‎ 由，得，即b=c，‎ ‎∴a2=b2+c2=2b2，．‎ 则．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如，A（﹣1.1）=﹣1．若A（2x•A（x））=5，则正实数x的取值范围是　（1，]　．‎ ‎【解答】解：当A（x）=1时，0＜x≤1，‎ 可得4＜2x≤5，得2＜x≤，矛盾，故A（x）≠1，‎ 当A（x）=2时，1＜x≤2，‎ 可得4＜4x≤5，得1＜x≤，符合题意，故A（x）=2，‎ 当A（x）=3时，2＜x≤3，‎ 可得4＜6x≤5，得＜x≤，矛盾，故A（x）≠3，‎ 由此可知，当A（x）≥4时也不合题意，故A（x）=2‎ ‎∴正实数x的取值范围是（1，]‎ 故答案为：（1，]‎ ‎　‎ ‎12．（3分）已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m=　　．‎ ‎【解答】解：由题意可知：F（1，0），由抛物线定义可知A（x1，y1），‎ 可知B（x2，y2），‎ ‎∵=2，可得：2（x2﹣1，y2）=（1﹣x1，﹣y1），‎ 可得y2=﹣，x2=，‎ ‎，‎ 解得x1=2，y1=±2．‎ ‎||=||，‎ 可得|m﹣1|=，‎ 解得m=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分12分．）‎ ‎13．（3分）若x∈R，则“x＞1”是“”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎【解答】解：由x＞1，一定能得到 得到＜1，‎ 但当＜1时，不能推出x＞1 （如 x=﹣1时），‎ 故x＞1是 ＜1 的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）已知向量，则下列能使 成立的一组向量是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【解答】解：作为基底不共线即可，‎ 共线，‎ 共线，‎ 不共线，‎ 共线，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）一个算法的程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 （　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【解答】解：模拟执行程序框图，可得 k=0，S=0‎ 满足条件S＜1000，S=1，k=1‎ 满足条件S＜1000，S=1+2=3，k=2‎ 满足条件S＜1000，S=1+2+23=11，k=3‎ 满足条件S＜1000，S=1+2+23+211，k=4‎ 不满足条件S＜1000，退出循环，输出k的值为4．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（　　）‎ A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形 B．对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形 C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形 D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形 ‎【解答】解：A：对任意的d，假设均存在以l1，l2，l3为三边的三角形，∵a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，∴a2+a3＞a1，a3+a1=2a2＞a2，‎ 而a1+a2﹣a3=a1﹣d不一定大于0，因此不一定存在以为l1，l2，l3三边的三角形，故不正确；‎ B：由A可知：当a1﹣d＞0时，存在以为l1，l2，l3三边的三角形，因此不正确；‎ C：对任意的d，由于a3+a4，＞a2，a2+a4=2a1+4d=a1+2d+a3＞0，a2+a3﹣a4=a1＞0，因此均存在以l2，l3，l4为三边的三角形，正确；‎ D．由C可知不正确．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）‎ ‎17．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=4，BC=3，E，F分别是所在棱AB，BC的中点，点P是棱A1B1上的动点，联结EF，AC1．如图所示．‎ ‎（1）求异面直线EF，AC1所成角的大小（用反三角函数值表示）；‎ ‎（2）求以E，F，A，P为顶点的三棱锥的体积．‎ ‎【解答】（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分（6分），第2小题满分（6分）．‎ 解：（1）联结AC，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有AC∥EF．‎ 又∠CAC1是直角三角形ACC1的一个锐角，‎ ‎∴∠CAC1就是异面直线EF，AC1所成的角．‎ 由AB=AA1=4，BC=3，得AC==5．‎ ‎∴tan∠CAC1==，‎ 即异面直线EF，AC1所成角为arctan．‎ ‎（2）由题意可知，点P到底面ABCD的距离与棱AA1的长相等．‎ ‎∵，‎ ‎∴=．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．‎ ‎（1）用α表示A，B两点的坐标；‎ ‎（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，α∈（0，）‎ 可得A（cosα，sinα），将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．可得B（cos（），sin（）），‎ 即B（﹣sinα，cosα）．‎ ‎（2）设M（x，0），x≠0，‎ ‎=（cosα﹣x，sinα），=（﹣sinα﹣x，cosα）．‎ MA⊥MB，‎ 可得（cosα﹣x）（﹣sinα﹣x）+sinαcosα=0．‎ xsinα﹣xcosα+x2=0，‎ 可得﹣x=sinα﹣cosα=sin（）∈（﹣1，1）．‎ 综上x∈（﹣1，0）∪（0，1）．‎ 点M横坐标的取值范围：（﹣1，0）∪（0，1）．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）已知函数g（x）=，x∈R，函数y=f（x）是函数y=g（x）的反函数．‎ ‎（1）求函数y=f（x）的解析式，并写出定义域D；‎ ‎（2）设h（x）=，若函数y=h（x）在区间（0，1）内的图象是不间断的光滑曲线，求证：函数y=h（x）在区间（﹣1，0）内必有唯一的零点（假设为t），且﹣1．‎ ‎【解答】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分（7分），第2小题满分（7分）．‎ 解：（1）∵函数g（x）==1﹣，‎ ‎∴g（x）∈（﹣1，1）．‎ 令y=g（x）=1﹣，‎ 则=1﹣y，即，即x=，‎ ‎∴f（x）=，x∈（﹣1，1）．‎ 证明：（2）由（1）可知，h（x）==﹣，x∈（﹣1，0）∪（0，1）．‎ ‎∵h（﹣x）+h（x）=﹣﹣+﹣=0，‎ 所以，函数h（x）是奇函数．‎ 当x∈（0，1）时，单调递减，=﹣1+单调递减，‎ 于是单调递减．‎ 因此，函数h（x）单调递减．‎ 依据奇函数的性质，可知，‎ 函数h（x）在（﹣1，0）上单调递减．‎ 又∵h（﹣）=﹣2+lg3＜0，h（﹣）=﹣+lg199＞0，‎ 所以，函数h（x）在区间（﹣1，0）上有且仅有唯一零点t，且﹣1．‎ ‎　‎ ‎20．（18分）（理科）定义：若各项为正实数的数列{an}满足 ‎，则称数列{an}为“算术平方根递推数列”．‎ 已知数列{xn}满足，且，点（xn+1，xn）在二次函数f（x）=2x2+2x的图象上．‎ ‎（1）试判断数列{2xn+1}（n∈N*）是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；‎ ‎（2）记yn=lg（2xn+1）（n∈N*），求证：数列{yn}是等比数列，并求出通项公式yn；‎ ‎（3）从数列{yn}中依据某种顺序自左至右取出其中的项，把这些项重新组成一个新数列{zn}：．‎ 若数列{zn}是首项为、公比为的无穷等比数列，且数列{zn}各项的和为，求正整数k、m的值．‎ ‎【解答】解：（1）数列{2xn+1}（n∈N*）是否为算术平方根递推数列，证明如下：‎ ‎∵点（xn+1，xn）在二次函数f（x）=2x2+2x的图象上，‎ ‎∴xn=2xn+12+2xn+1，‎ ‎∴2xn+1=（2xn+1+1）2，‎ ‎∵xn＞0，n∈N*，‎ ‎∴2xn+1+1=，‎ ‎∴数列{2xn+1}（n∈N*）是否为算术平方根递推数列；‎ ‎（2）∵yn=lg（2xn+1），2xn+1+1=，‎ ‎∴yn+1=yn，‎ ‎∵y1=lg（2x1+1）=1，‎ ‎∴数列{yn}是首项为1，公比为等比数列，‎ ‎∴通项公式yn=（）n﹣1‎ ‎（3）由题意可得数列{zn}的首项为，公比为，‎ ‎∴=，‎ ‎∴+=16，‎ 若m﹣1≥3，则+≤+＜+＜16，矛盾，‎ ‎∴m﹣1≤2，‎ ‎∵m﹣1=0或1时，+＞16，‎ ‎∴m﹣1=2，‎ ‎∴m=3，‎ ‎∴k=6．‎ ‎　‎ ‎21．（18分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．‎ ‎（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；‎ ‎（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．‎ ‎（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．‎ ‎【解答】解：（1）∵ACBD为正方形，‎ ‎∴直线l1和l2的方程为y=x和y=﹣x，‎ 设点A、B的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），‎ 解方程组，得==，‎ 由对称性可知，S=4=；‎ ‎（2）由题意，不妨设直线l1的方程为y=kx，则直线l2的方程为y=﹣kx，‎ 设P（x0，y0），则+=1，‎ 又∵d1=，d2=，‎ ‎∴+=+=，‎ 将=b2（1﹣）代入上式，‎ 得+=，‎ ‎∵d12+d22为定值，‎ ‎∴k2﹣=0，即k=±，‎ 于是直线l1和l2的斜率分别为和﹣，此时+=；‎ ‎（3）设AC与圆x2+y2=1相切的切点坐标为（x0，y0），‎ 则切线AC的方程为：x0x+y0y=1，‎ 点A、C的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）为方程组的实数解．‎ ‎①当x0=0或y0=0时，ACBD均为正方形，‎ 椭圆均过点（1，1），于是有+=1；‎ ‎②当x0≠0或y0≠0时，将y=（1﹣x0x）代入+=1，‎ 整理得：（a2+b2）x2﹣2a2x0x﹣a2（1+b2）=0，‎ 由韦达定理可知x1x2=，‎ 同理可知y1y2=，‎ ‎∵ACBD为菱形，‎ ‎∴AO⊥CO，即x1x2+y1y2=0，‎ ‎∴+=0，‎ 整理得：a2+b2=a2b2（+），‎ 又∵+=1，‎ ‎∴a2+b2=a2b2，即+=1；‎ 综上所述，a，b满足的关系式为+=1．‎ ‎　‎