2012泉州5月份质检文数试卷

2012泉州5月份质检文数试卷

福建省泉州市2012届高三数学第二次质量检测试题 文 ‎1．设全集，集合,，则图中阴影部分表示的集合为 A． B．‎ C． D．‎ 考查集合概念与运算，考查数学语言的转换能力（抽象概括能力）。‎ ‎2．已知为虚数单位，则复数的实部等于 ‎ A. B. C. D. ‎ 考查复数的基本概念与运算。原设想考虚部，恐有争议且为降难度，而改为实部，希望分数能送得出去！‎ ‎3．命题“，都有”的否定是 A．，都有 B．，都有 C．，使得 D．，使得 考查特称命题与全称命题及其关系问题。属识记型的形式化试题！‎ ‎4．已知的面积为，内角所对的边分别为，且，则等于 A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°‎ 考查解三角形和正弦函数（特殊角的三角函数值、诱导公式或性质）基础知识。‎ ‎5．已知函数的图象是连续不断的，的对应值如下表：‎ 在下列区间内，函数一定有零点的是 A． B． C． D．‎ 考查零点概念和零点存在性定理。 ‎ ‎6．若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则的值为 A． B． C． D．‎ 考查抛物线与双曲线的基本性质和点线距离公式。‎ ‎7．设向量，，下列向量与不可能垂直的是 A． B. C． D．‎ 考查平面向量的位置关系和坐标运算。‎ ‎8．圆与直线相切于点，则直线的方程为 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 考查直线和圆的方程、直线与圆的位置关系。‎ ‎9．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是 考查三视图、锥体体积公式，考查空间想象能力和推理论证能力，分析问题和解决问题能力。‎ ‎10．设实数、满足约束条件，则的最小值为 A． B． C． D． ‎ 考查直线、线性规划的基础知识，考查数形结合思想。‎ ‎11．设函数是定义在上的以为周期的偶函数，若，则实数的取值范围是 A． B. C. D. ‎ 考查函数的基本性质与二次不等式的基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想。‎ ‎12．计算机内部都以二进制字符表示信息．若，其中或（）, ‎ 则称是长度为的字节；设，，用表示满足（）的的个数．如，，则．‎ 现给出以下三个命题：‎ ① 若，，则；‎ ② 对于给定的长度为的字节，满足的长度为的字节共有个；‎ ③ 对于任意的长度都为的字节，，，恒有．‎ 则其中真命题的序号是 A．① B．①② C．①③ D．②③ ‎ 考查阅读理解能力（学生的自主学习能力），抽象概括能力、推理论证能力，考查特殊与一般思想，考查理性思维能力，考查应用意识。‎ 试题很好地体现了应用性试题“贴近生活，背景公平，控制难度”的命题原则。‎ 创新点：1、形如“给出若干命题，判断正确命题的序号或个数”的“准选择题”试题，一般放在填空题最后一题的位置（实现对优秀生群体的层次内区分的试题），而用选择题来实现对优秀生群体的区分，显然是不恰当的。2、由于学科规定的选择题有天然的“不会做的做对也有的概率”特点，依靠选择题压轴题来实现对优秀生群体的选拔是合适的，因此，降低该位置试题的难度是必要的。‎ ‎13．某厂为了检查一条流水线的生产情况，随机抽取该流水线上件产品，逐一称出它们的重量（单位：克），经数据处理后作出了如图所示的样本频率分布直方图．那么，根据频率分布直方图，样本中重量超过克的产品数量应为 件．‎ 考查统计的基础知识，考查数据处理能力（从统计图表中提取数据信息的能力）。‎ ‎14．在棱长为的正方体 内等可能地任取一点，则该点到顶点的距离小于的概率是 ．‎ 考查几何概型、几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力，考查必然与或然思想、转化与化归思想。‎ ‎15．定义一种运算，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“”的含义.那么，按照运算“”的含义，计算__ _．‎ 考查算法与三角函数的恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、阅读理解能力，考查算法思想、分类与整合思想。‎ 创新点：算法与三角函数的交汇。‎ ‎16．定义域为的函数，若存在常数，使得对于任意，当时，总有，则称点为函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心的横坐标为，则可求得：‎ ‎ .‎ 考查数列求和方法，考查阅读理解能力（新定义的理解和试题要求的理解）、运算求解能力（代数式的恒等变形）、推理论证能力、抽象概括能力。‎ 创新点：函数与数列的自然交汇。形式上是函数题，本质上是数列求和的基本方法（倒序相加法）。该题展示了对数列问题的又一种考试处理方式。‎ 注意与理科的相关试题之间的区别与联系，体会要求层次上的区别。‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ 已知、两个盒子中分别装有标记为，，，的大小相同的四个小球，甲从盒中等可能地取出个球，乙从盒中等可能地取出个球．‎ ‎（Ⅰ）用有序数对表示事件“甲抽到标号为的小球，乙抽到标号为的小球”，试写出所有可能的事件；‎ ‎ （Ⅱ）甲、乙两人玩游戏，约定规则：若甲抽到的小球的标号比乙大，则甲胜；反之，则乙胜．你认为此规则是否公平？请说明理由．‎ 本题主要考查古典概型等基础知识，考查数据处理能力和应用意识，考查必然与或然思想、分类与整合的思想，考查应用意识.‎ 主要意图：提醒不要忽视类似罗列基本事件的一些基本问题，重视对知识形成过程的考查；强调概率统计知识的应用意识。‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 已知向量，向量，，.‎ ‎（Ⅰ）试用“五点作图法”作出函数的图象；‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ) 若,求的取值范围；‎ ‎（ⅱ）若方程的两根分别为，试求的值.‎ 解：（Ⅰ）.……………………3分 令，则，.列表：‎ ‎………………………………5分 描点画图，即得函数的图象，如图所示.‎ ‎ ‎ ‎………………………………7分 ‎（Ⅱ）（ⅰ)即，‎ ‎∵，∴，且 ‎ ‎∴的取值范围为. ……………9分 ‎（ⅱ）∵是方程的两根，‎ ‎∴，‎ ‎∵当时，函数的图象关于直线对称，……10分 ‎∴， ‎ ‎∴.………………………………12分 本小题主要考查平面向量、三角函数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想.‎ 主要意图：1、提醒不要忽视类似“五点作图法”的一些基本方法，重视在知识形成过程中所积淀的数学方法（基本作图步骤）；2、通过参考答案，提醒在解答题中慎用“图解法”。‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 如图，在三棱柱中，面，，、分别在线段和上，，.‎ ‎(Ⅰ)求证：；‎ ‎(Ⅱ)若为线段的中点，求三棱锥的体积；‎ ‎(Ⅲ)试探究满足平面的点的位置，并给出证明.‎ ‎ (Ⅰ)证明： 面，面，. ………………………1分 又 ‎………………………………3分 又………………………………4分 ‎(Ⅱ)解：∵∥，由(Ⅰ)知 ‎∴，………………………………6分 ‎ ………………………………8分 ‎(Ⅲ)解法一：当时，平面.………………………………9分 理由如下：在平面内过作交于，连结.‎ ‎，，‎ 又且，‎ 且，‎ 四边形为平行四边形，，……………………………11分 又面，面，‎ 平面.………………………………12分 解法二：当时，平面.………………………………9分 理由如下： 在平面内过作交于，连结.‎ ‎，面，面，‎ 平面.‎ ‎，，‎ ‎，又面，面，‎ 平面.‎ 又面，面，，‎ 平面平面.………………………………11分 面，平面.………………………………12分 本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、棱锥的体积公式等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查化归与转化的思想.‎ 主要意图：1、通过体积计算，表达对点面距问题的处理思路。2、通过所提供的解答说明，哪些结论可直接使用，强调慎用课程要求以外的定理、性质及结论，防止出现“会而失分”的现象。‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，设、分别是圆和椭圆的弦，端点与、与的横坐标分别相等，纵坐标分别同号.‎ ‎（Ⅰ）若椭圆的短轴长为，离心率为，求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若弦过定点，试探究弦是否也必过某个定点.‎ ‎（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得：圆的方程为：………5分 设、、、， ‎ ‎∵点在圆上， ∴，………①‎ ‎∵点在椭圆上， ∴，………②‎ 联立方程①②解得：，同理解得： ‎ ‎∴、.…………………………8分 ‎∵弦过定点，‎ ‎∴且，即，‎ 化简得……………10分 ‎ 直线的方程为：，即，‎ ‎ 由得直线的方程为：， ‎ ‎∴弦必过定点.……………12分 解法二：由（Ⅰ）得：圆的方程为：………5分 设、，‎ ‎∵圆上的每一点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍可得到椭圆，‎ 又端点与、与的横坐标分别相等，纵坐标分别同号，‎ ‎∴、.…………………………8分 由弦过定点，猜想弦过定点. …………9分 ‎∵弦过定点，∴且，即……① …………10分 ‎,,‎ 由①得，‎ ‎∴弦必过定点.……………12分 本小题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.‎ 注意比较第（Ⅱ）题中所提供的两种解法。解法二当中，在探寻坐标关系时，将三角函数图象变换中学到的图象伸缩变换知识迁移到新情景中使用，减少运算量；在探究弦 是否也必过某个定点时，使用了“先猜后证”的处理方法，隐含对合情推理的考查，降低证明的难度。而解法一则对推理论证能力、运算求解能力等的要求都明显更高。‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知数列的首项，前项和为，数列是公比为的等比数列．‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）数列中是否存在不同的三项,使得为等差数列？若存在，请求出满足条件的一组的值；若不存在，请说明理由．‎ 本小题主要考查等差数列、等比数列、反证法等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合的思想、化归与转化思想及特殊与一般思想.‎ 主要意图：1、明确数列的考试要求，慎重处理递推数列问题。2、提醒注意比较简单的反证法问题。‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 已知函数的图象与轴相切于点.‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若函数的图象与过坐标原点的直线相切于点，且，‎ 证明：；（注：是自然对数的底）‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记直线的倾斜角为，试证明：.‎ 解：（Ⅰ）由，得. ……1分 ‎∵函数的图象与轴相切于点，‎ ‎∴，……① 且…….② ……2分 联立①②得，. ……3分 ‎∴. ……4分 ‎（Ⅱ）.‎ ‎∵函数的图象与直线相切于点，直线过坐标原点, ‎ ‎∴直线的方程为：，‎ 又∵在直线上，∴实数必为方程…….③的解. ……5分 令， 则，‎ 解得，得.‎ ‎∴函数在递减，在递增. ……7分 ‎∵,且函数在递减，‎ ‎∴是方程在区间内的唯一一个解,‎ 又∵,∴不合题意,即. ……8分 ‎∵，，函数在递增，‎ ‎∴ 必有. ……9分 ‎（Ⅲ）∵，∴，‎ 由③得， ……10分 ‎∵，且，∴.‎ ‎∵，∴， ……11分 ‎∵，，……13分 ‎∴，‎ ‎∵在单调递增，∴. ……14分 本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式、直线方程和三角函数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想、特殊与一般思想.‎ 题干可以更简练地表述为“已知直线是函数的一条切线”，但担心影响试题第（Ⅰ）题的得分. 第（Ⅱ）题，由切线过点得到关于实数的方程，将问题转化为函数的零点区间判定问题，排除零点在区间内是该题的一个难点（在（Ⅰ）的启发下，想到是区间内的唯一零点，但因而排除）。第（Ⅲ）题的难点有两个，一是的关于的表达式的化简，二是如何想到通过探讨的值来实现与取值范围的沟通。试题三问环环相扣，前问为后问提供服务。第（Ⅲ）题还可以用分析法表达解题的过程。‎ 创新点：1、函数、导数、直线（倾斜角、斜率、方程）、三角函数、不等式等基础知识的交汇。2、充分体现导数在研究函数性质中的工具性作用。‎ 争议点：对零点的考查要求可能会引发一些争议，对分析法的运用也可能会引发一些争议。但“有些了解性的知识或方法，可以甚至是必要在解答题中进行考查”正是命题者想要表达的一种观点。‎