2017-2018学年陕西省咸阳市武功县普集高中高二下学期第三次月考数学(理)试题(解析版)

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2017-2018学年陕西省咸阳市武功县普集高中高二下学期第三次月考数学(理)试题(解析版)

‎2017-2018学年陕西省咸阳市武功县普集高中高二下学期第三次月考数学(理)试题 一、单选题 ‎1.设是虚数单位,表示复数的共轭复数.若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据,即可求得复数,从而通过复数的运算即可求得.‎ ‎【详解】‎ ‎∵‎ ‎∴.‎ ‎∴ .‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的运算及共轭复数的定义,首先对于复数的四则运算,要切实掌握其运输技巧和常规思路,如,其次要熟悉复数相关基本概念,如复数的实部为、虚部为、模为、对应点、共轭为.‎ ‎2.已知复数(为虚数单位),则= ( )‎ A. 3 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简复,利用复数模的公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵ ‎ ‎∴=‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的模的定义,两个复数代数形式的乘除法,虚数单位的幂运算性质,两个复数相除,分子和分母同时除以分母的共轭复数.‎ ‎3.用数学归纳法证明不等式 (,且)时,第一步应证明下述哪个不等式成立( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题干知n>1,故从2开始,第一步应该代入2,得到。‎ 故答案为:B。‎ ‎4.观察下列各式:,,,,,…,则( )‎ A. 18 B. 29 C. 47 D. 76‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析:根据给出的几个等式,不难发现,从第三项起,等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和,再写出三个等式即得.‎ 详解:∵‎ ‎,‎ ‎∴通过观察发现,从第三项起,等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和.‎ ‎∴,,.‎ 故选C.‎ 点睛:本题考查归纳推理的思想方法,常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类:(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列,等比数列等;(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ ‎5.函数的单调增区间为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的定义域,以及函数的导数,然后解不等式,即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得函数的定义域为,则函数的导数为.‎ 令,则,即函数的单调增区间为.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在研究函数的单调性的应用,属于中高档题型,也是常考题.利用导数研究函数的单调性的一般步骤为:①确定函数的定义域;②求函数的导数;③若求单调区间(或证明单调性),只需在函数的定义域内解(或证明)不等式或即可.‎ ‎6.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于”时,假设正确的是( )‎ A. 假设三内角都不大于 B. 假设三内角都大于 C. 假设三内角至多有一个大于 D. 假设三内角至多有两个大于 ‎【答案】B ‎【解析】分析:‎ 根据“至少有一个”的否定:“一个也没有”可得解.‎ 详解:‎ 根据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定,“至少有一个”的否定:“一个也没有”;即“三内角都大于60度”.‎ 故选B.‎ 点睛:一些正面词语的否定:“是”的否定:“不是”;“能”的否定:“不能”;“都是”的否定:“不都是”; “至多有一个”的否定:“至少有两个”;“至少有一个”的否定:“一个也没有”;“是至多有n个”的否定:“至少有n+1个”;“任意的”的否定:“某个”;“任意两个”的否定:“某两个”;“所有的”的否定:“某些”.‎ ‎7.已知函数在处取极值10,则( )‎ A. 4或 B. 4或 C. 4 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的极值点和极值得到关于的方程组,解方程组并进行验证可得所求.‎ ‎【详解】‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 由题意得,即,解得或.‎ 当时,,故函数单调递增,无极值.不符合题意.‎ ‎∴‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了极值的定义与应用问题,函数极值问题,往往转化为导函数零点问题,‎ 即转化为方程或不等式解的问题(有解,恒成立,无解等),解答本题题时求出,后须验证对应的函数是否有极值.‎ ‎8.利用数学归纳法证明不等式的过程中,由变到时,左边增加了( )‎ A. 1项 B. 项 C. 项 D. 项 ‎【答案】C ‎【解析】分析:先表示出、,通过对比观察由变到时,项数增加了多少项.‎ 详解:因为,‎ 所以当,‎ 当,‎ 所以由变到时增加的项数为.‎ 点睛:本题考查数学归纳法的操作步骤,解决本题的关键是首先观察出分母连续的整数,当,‎ ‎,由此可得变化过程中左边增加了多少项,意在考查学生的基本分析、计算能力.‎ ‎9.设函数在上可导,其导函数为,且函数的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )‎ A. 函数有极大值和极小值 B. 函数有极大值和极小值 C. 函数有极大值和极小值 D. 函数有极大值和极小值 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析:由题图可知,当时,;当时,;当时,;当时,;当时,;当时,.由此可以得到函数在处取得极大值,在处取得极小值.故选D.‎ ‎【考点】1、利用导数判断函数的单调性;2、利用导数求函数的极值.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值,属于中档题.求函数极值的步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求导数;(3)解方程求出函数定义域内的所有根;(4)列表检查在的根左右两侧的符号,如果左正右负,那么在处取极大值,如果左负右正,那么在处取极小值.‎ ‎10.若,则( )‎ A. 1 B. 2 C. 4 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析:由导函数定义,,即可求出结果.‎ 详解:∵f′(x0)=2,‎ 则 ‎=  ‎ ‎=‎ ‎=2f′(x0)=4.‎ 故选:C .‎ 点睛:本题考查了导函数的概念,考查了转化的思想方法,考查了计算能力,属于中档题.‎ ‎11.函数 在内有极小值,则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数进行求导,然后令导函数等于0,由题意知在内必有根,从而得到的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎,函数在内有极小值,等价于方程在区间上有较大根,即,解得.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关函数极值的问题,该题等价于导数等于零对应的二次方程在相应区间上有较大的根,之后转化为一元二次方程根的分布问题来解决即可.‎ ‎12.已知定义在上的函数满足,其中是函数的导函数.若,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,构造函数,,利用导数研究其单调性,可得 在上单调递减,将,,转化为,即,从而可得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 令,,则.‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴函数在上单调递减 ‎∵,‎ ‎∴,即.‎ ‎∴且,解得.‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究不等式问题.利用导数研究不等式恒成立问题或不等式的解集问题,往往要根据已知和所求合理构造函数,再求导进行求解,如本题中的关键是利用“”和“”的联系构造函数.‎ 二、填空题 ‎13.设随机变量ξ只能取5,6,7,…,14这10个值,且取每一个值的概率均相等,则P(ξ≥10)=______;P(6<ξ≤14)=________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由题意P(ξ=k)= (k=5,6,…,14),P(ξ≥10)=4×=.P(6<ξ≤14)=8×=.‎ 故填,.‎ ‎14.如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D四块区域分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则涂色方法共有___________种.‎ ‎【答案】480‎ ‎【解析】(1)从A开始涂色,A有6种涂色方法,B有5种涂色方法,C有4种涂色方法;若D与A同色,则D只有1种涂色方法;若D与A不同色,则D有3种涂色方法.故共有种涂色方法.‎ ‎15.=____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定积分的几何意义,所求表示如图所示的阴影部分的面积,分割法求之.‎ ‎【详解】‎ 根据积分的几何意义,所求表示如图所示的阴影部分的面积,即直角三角形的面积和扇形的面积之和.‎ ‎∴.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 定积分的计算:‎ ‎(1)用微积分基本定理求定积分,关键是求出被积函数的原函数,此外,如果被积函数是绝对值函数或分段函数,那么可以利用定积分对积分区间的可加性,将积分区间分解,代入相应的解析式,分别求出积分值相加.‎ ‎(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分.‎ ‎(3)若为奇函数,则.‎ ‎16.个男生和个女生排成一列,若男生甲与另外两个男同学都不相邻,则不同的排法共有__________种(用数字作答).‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析:根据题意,需要分清一共有多少种情况,对于男生甲可以和乙相邻,可以和丙相邻,这里边对于甲与乙和丙同时相邻的就算了两次,所以该题用间接法来求,在进行减法运算时,注意将多减的需要再加上即可.‎ 详解:将6名同学排成一列,不同的排法种数由有种,不妨称另外两名男同学为乙和丙,若男同学甲与男同学乙相邻,不同的排法种数是种,同理可知男同学甲与男同学丙相邻,不同的排法种数是种,若男同学甲与乙和丙都相邻,不同的排法种数是种,所以满足条件的不同的排法种数是种,故答案是288.‎ 点睛:该题属于排列的综合问题,关于相邻问题捆绑法,不邻问题插空法,该题也可以从不相邻入手用加法运算做,即方法是不唯一的,但是都需要将情况讨论全.‎ 三、解答题 ‎17.二项式的展开式中,求:‎ ‎(1)二项式系数之和;‎ ‎(2)各项系数之和;‎ ‎(3)各项系数的绝对值之和.‎ ‎【答案】(1) (2) (3).‎ ‎【解析】‎ 设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.‎ ‎(1)二项式系数之和为+++…+=29.‎ ‎(2)各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9,‎ 令x=1,y=1,得a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.‎ ‎(3)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…-a9,‎ 令x=1,y=-1,得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…-a9=59,‎ 则各项系数的绝对值之和为59.‎ ‎18.已知函数,.‎ ‎(1)求函数图象经过点的切线的方程.‎ ‎(2)求函数的图象与直线所围成的封闭图形的面积.‎ ‎【答案】(1) 切线方程为或(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设切点为,切线斜率,即可求得曲线在点处的切线方程,把点代入解出即可;(2)联立函数与直线的方程,从而可得函数的图象与直线所围成的封闭图形的面积:,利用微积分基本定理即可得出.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设切点为,切线斜率,所以曲线在点处的切线方程为,把点代入,得或,所以切线方程为或.‎ ‎(2)由或 所以所求的面积为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数求切线方程以及微积分定理,属于中档题. 应用导数的几何意义,一般过某一点求切线方程的步骤为:①设切点,求导并且表示在切点处的斜率;②根据点斜式写出切线方程;③将所过的点代入切线方程,求出切点坐标;④将切点代入切线方程,得到具体的表达式.‎ ‎19.为了参加某运动会,从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队,队员来源人数如下表:‎ 队别 北京 上海 天津 八一 人数 ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎ (1)从这18名队员中随机选出两名,求两人来自同一队的概率;‎ ‎(2)若要求选出两名队员担任正副队长,设其中来自北京队的人数为,求随机变量的分布列.‎ ‎【答案】(1) (2)详见解析 ‎【解析】‎ 分析:(1)“从这18名队员中随机选出三名,三人来自同一队”记为事件 则总数为,求出两人来自同一支队的总数,即可求得概率;‎ ‎(2)的所有可能取值为0,1,2,求出相应的概率,可得随机变量的分布列,及数学期望.‎ 详解:‎ ‎(1)“从这18名队员中随机选出三名,三人来自同一队”记为事件 则 ‎∴三人来自同一队的概率为.‎ ‎(2)的所有可能取值为0,1,2‎ 则,‎ ‎∴的分布列为 点睛:本题考查古典概型,考查概率知识,考查随机变量的分布列,及数学期望,考查学生的计算能力,正确求概率是关键.‎ ‎20.有4个不同的球,四个不同的盒子,把球全部放入盒内.‎ ‎(1)求共有多少种放法;‎ ‎(2)求恰有一个盒子不放球,有多少种放法;‎ ‎(3)求恰有两个盒内不放球,有多少种放法;‎ ‎【答案】(1)256 (2)144 (3)84‎ ‎【解析】‎ ‎【试题分析】(1)依据分步计数原理可得;(2)先从4个小球中取出两个放在一起,分成三堆放入 3个盒子中,运用分步计数原理求解;(3)先分类:即分为一个盒子放1个;另一个盒子放3个和两个盒子中各放2个小球,然后运用分类计数原理进行求解:‎ 解 (1)44=256(种).‎ ‎(2)先从4个小球中取2个放在一起,有C24种不同的取法,再把取出的两个小球与另外2个小球看作三堆,并分别放入4个盒子中的3个盒子里,有A34种不同的放法.根据分步乘法计数原理,不同的放法共有C24A34‎ ‎=144(种).‎ ‎(3)恰有2个盒子不放球,也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中,有两类放法;第一类,1个盒子放3个小球,1个盒子放1个小球,先把小球分组,有C种,再放到2个盒中有A种放法,共有CA种放法;第二类,2个盒子中各放2个小球有CC种放法,故恰有2个盒子不放球的方法共有CA+CC=84(种).‎ ‎21.已知数列满足且.‎ ‎(1)计算、、的值,由此猜想数列的通项公式;‎ ‎(2)用数学归纳法对你的结论进行证明.‎ ‎【答案】(1),;(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析:(1)由,,将代入上式计算出、、的值,根据共同规律猜想即可;(2)对于,用数学归纳法证明即可.①当时,证明结论成立,②假设当时,结论成立,利用归纳假设,去证明当时,结论也成立即可.‎ 试题解析: ⑴,猜想:. ‎ ‎(2)①当时,,结论成立; ‎ ‎ ②假设当时,结论成立,即, ‎ 则当时,,‎ 即当时,结论也成立, ‎ 由①②得,数列的通项公式为.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若函数在上单调递减,求的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)当时,若关于的不等式有解,求的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)对函数求导,根据函数在上单调递减,可得,即在恒成立,即大于等于函数在上的最大值即可,从而可求得的取值范围;(Ⅱ)由,,分离变量可得,令,利用导数研究函数的单调性,求得,从而可求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ), ‎ ‎∵在上单调递减 ‎∴,即在恒成立,即大于等于函数在上的最大值即可. ‎ ‎∵在上单调递增,‎ ‎∴当,即时,函数在上单调递减,‎ ‎∴的取值范围为.‎ ‎(Ⅱ)由,,可得,令,则.‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴在上单调递增,‎ ‎∴,即, ‎ 要使时,关于的不等式有解,只需.‎ ‎∴‎ ‎【点睛】‎ 导数问题经常会遇见恒成立的问题:‎ ‎(1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题;‎ ‎(2)若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为,若恒成立,转化为;‎ ‎(3)若恒成立,可转化为.‎
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