2017-2018学年湖北省宜昌市葛洲坝中学高二上学期期中数学试题（文科）（解析版）

2017-2018学年湖北省宜昌市葛洲坝中学高二上学期期中数学试题（文科）（解析版）

‎2017-2018学年湖北省宜昌市葛洲坝中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）若直线l过点A（﹣1，1），B（2，﹣1），则l的斜率为（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎2．（5分）若直线x+2y+1=0与直线ax+y﹣2=0互相垂直，那么a的值等于（　　）‎ A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．1‎ ‎3．（5分）圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的圆心和半径分别为（　　）‎ A．（4，﹣6），r=16 B．（2，﹣3），r=4 C．（﹣2，3），r=4 D．（2，﹣3），r=16‎ ‎4．（5分）已知椭圆G的中心在坐标原点，焦点在x轴上，短轴长为2，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为6，则椭圆G的方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）实轴长为2，离心率为的双曲线的标准方程是（　　）‎ A． B．或 C．x2﹣y2=1 D．x2﹣y2=1或y2﹣x2=1‎ ‎6．（5分）双曲线=1的渐近线方程为（　　）‎ A．y=± B．y=±x C．y=± D．y=±x ‎7．（5分）若圆C的半径为1，圆心在第二象限，且与直线4x+3y=0和y轴都相切，则圆C的标准方程是（　　）‎ A．（x﹣1）2+（y+3）2=1 B．（x+1）2+（y﹣3）2=1 C．（x+1）2+（y+3）2=1 D．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1‎ ‎8．（5分）直线2x﹣y﹣1=0被圆（x﹣2）2+（y+2）2=9截得的弦长为（　　）‎ A．2 B．4 C．3 D．2‎ ‎9．（5分）已知焦点在 x 轴上的椭圆+=1的离心率为，则 m=（　　）‎ A．6 B． C．4 D．2‎ ‎10．（5分）动圆M与圆C1：（x+1）2+y2=1外切，与圆C2：（x﹣1）2+y2=25内切，则动圆圆心M的轨迹方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）已知两点A（a，0），B（﹣a，0）（a＞0），若曲线上存在点P，使得∠APB=90°，则正实数a的取值范围为（　　）‎ A．（0，3] B．[1，3] C．[2，3] D．[1，2]‎ ‎12．（5分）已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且，记线段PF1与Y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1：2，则该椭圆的离心率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的离心率是　 　．‎ ‎14．（5分）直线x+2ay﹣1=0与直线（a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是　 　．‎ ‎15．（5分）方程=1表示焦点在y轴的椭圆，则实数m的取值范围是　 　．‎ ‎16．（5分）直线y=k（x﹣3）与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2‎ ‎=4相交于M、N两点，若|MN|，则k的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6题，共70分，请在答题卷上相应区域内写清楚过程）‎ ‎17．（10分）（1）焦点在x轴的椭圆，长轴长是短轴长的3倍，且一个顶点为点P（3，0），求椭圆的标准方程．‎ ‎（2）焦点在y轴的双曲线，实轴长是虚轴长的3倍，且经过点Q（），求双曲线的标准方程．‎ ‎18．（12分）已知三角形三个顶点是A（﹣5，0），B（4，﹣4），C（0，2），‎ ‎（1）求BC边上的中线所在直线方程；‎ ‎（2）求BC边上的高AE所在直线方程．‎ ‎19．（12分）已知，圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．‎ ‎（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；‎ ‎（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程．‎ ‎20．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且点P（2，1）为椭圆上一点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求△PAB的面积的最大值．‎ ‎21．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=±x，右顶点为（1，0）．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线y=x+m与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点为M（x0，y0）．当x0≠0时，求的值．‎ ‎22．（12分）在△ABC中，顶点A，B，C所对三边分别是a，b，c已知B（﹣1，0），C（1，0），且b，a，c成等差数列．‎ ‎（I）求顶点A的轨迹方程；‎ ‎（II） 设顶点A的轨迹与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，如果存在过点P（0，﹣）的直线l，使得点M、N关于l对称，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年湖北省宜昌市葛洲坝中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）若直线l过点A（﹣1，1），B（2，﹣1），则l的斜率为（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎【分析】根据题意，由直线的斜率公式计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，直线l过点A（﹣1，1），B（2，﹣1），‎ 则其斜率kAB==﹣；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查直线的斜率计算，关键掌握直线的斜率公式．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）若直线x+2y+1=0与直线ax+y﹣2=0互相垂直，那么a的值等于（　　）‎ A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．1‎ ‎【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：由于直线x+2y+1=0的斜率存在，且直线x+2y+1=0与直线ax+y﹣2=0互相垂直，‎ 则×（﹣a）=﹣1，解得a=﹣2．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的圆心和半径分别为（　　）‎ A．（4，﹣6），r=16 B．（2，﹣3），r=4 C．（﹣2，3），r=4 D．（2，﹣3），r=16‎ ‎【分析】将圆的方程配方成标准形式，结合圆心和半径的公式，即可得到本题答案．‎ ‎【解答】解：将圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的方程化成标准形式，得（x+2）2+（y﹣3）2=16‎ ‎∴圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的圆心为C（﹣2，3），半径r=4‎ 故选：C ‎【点评】本题给出圆的一般式方程，求圆的圆心和半径，着重考查了圆的一般方程、标准方程及其互化等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知椭圆G的中心在坐标原点，焦点在x轴上，短轴长为2，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为6，则椭圆G的方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据题意，由椭圆的短轴长为2可得b的值，分析可得a的值，由椭圆焦点的位置即可得椭圆的标准方程，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，椭圆G的短轴长为2，即2b=2，则b=1；‎ 椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为6，即2a=6，则a=3，‎ 又由椭圆的焦点在x轴上，‎ 则椭圆的方程为：+y2=1；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的几何性质以及椭圆的定义，注意依据题意求出a、b的值．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）实轴长为2，离心率为的双曲线的标准方程是（　　）‎ A． B．或 C．x2﹣y2=1 D．x2﹣y2=1或y2﹣x2=1‎ ‎【分析】根据题意，由双曲线的离心率为可得c=a，进而分析可得b2=a2‎ ‎，由双曲线的实轴长可得a的值，即可得b的值，分类讨论双曲线焦点的位置，求出双曲线的方程，综合即可得答案．‎ ‎【解答】解：要求双曲线的离心率为，即e==，‎ 则有c=a，‎ b2=c2﹣a2=2a2﹣a2=a2，‎ 又由双曲线的实轴长为2，2a=2，即a=1，则有a=b=1，‎ 若双曲线的焦点在x轴上，则双曲线的方程为x2﹣y2=1，‎ 若双曲线的焦点在y轴上，则双曲线的方程为y2﹣x2=1，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是双曲线的离心率分析可得a、b的关系．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）双曲线=1的渐近线方程为（　　）‎ A．y=± B．y=±x C．y=± D．y=±x ‎【分析】直接根据双曲线的方程，令方程的右边等于0求出渐近线的方程．‎ ‎【解答】解：已知双曲线=1，‎ 令：=0‎ 即得到渐近线方程为：y=±x 故选：B ‎【点评】本题考查的知识要点：双曲线的渐渐线方程的求法．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）若圆C的半径为1，圆心在第二象限，且与直线4x+3y=0和y轴都相切，则圆C的标准方程是（　　）‎ A．（x﹣1）2+（y+3）2=1 B．（x+1）2+（y﹣3）2=1 C．（x+1）2+（y+3）2‎ ‎=1 D．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1‎ ‎【分析】根据题意设圆心坐标为（1，b），利用点到直线的距离公式列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，确定出圆心坐标，根据半径为1写出圆的标准方程即可．‎ ‎【解答】解：根据圆C的半径为1，圆心在第二象限，且与直线4x+3y=0和y轴都相切，设圆心坐标为（﹣1，b），‎ ‎∵圆心到直线4x+3y=0的距离d=r，=1，‎ 解得：b=3或b=﹣（舍去），即圆心（﹣1，3），‎ 则该圆标准方程为（x+1）2+（y﹣3）2=1．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查了圆的标准方程，根据题意求出圆心坐标是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）直线2x﹣y﹣1=0被圆（x﹣2）2+（y+2）2=9截得的弦长为（　　）‎ A．2 B．4 C．3 D．2‎ ‎【分析】利用垂径定理求出弦长．‎ ‎【解答】解：圆心（2，﹣2）到直线2x﹣y﹣1=0的距离d==，‎ 圆的半径r=3，‎ ‎∴弦长为2=4．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知焦点在 x 轴上的椭圆+=1的离心率为，则 m=（　　）‎ A．6 B． C．4 D．2‎ ‎【分析】通过椭圆方程，利用椭圆的离心率列出方程求解m即可．‎ ‎【解答】解：焦点在 x 轴上的椭圆+=1，可得a=，c=，‎ 椭圆的离心率为，可得：=，解得m=4．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）动圆M与圆C1：（x+1）2+y2=1外切，与圆C2：（x﹣1）2+y2=25内切，则动圆圆心M的轨迹方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】首先根据圆与圆的位置关系确定出该动圆是椭圆，然后根据相关的两求出椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：设动圆的圆心为：M（x，y），半径为R，‎ 动圆与圆M1：（x+1）2+y2=1外切，与圆M2：（x﹣1）2+y2=25内切，‎ ‎∴|MM1|+|MM2|=1+R+5﹣R=6，‎ ‎∵|MM1|+|MM2|＞|M1M2|，‎ 因此该动圆是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆，2a=6，c=1‎ 解得a=3，‎ 根据a、b、c的关系求得b2=8，‎ ‎∴椭圆的方程为：．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的知识点：椭圆的定义，椭圆的方程及圆与圆的位置关系，相关的运算问题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知两点A（a，0），B（﹣a，0）（a＞0），若曲线上存在点P，使得∠APB=90°，则正实数a的取值范围为（　　）‎ A．（0，3] B．[1，3] C．[2，3] D．[1，2]‎ ‎【分析】由题意可知以AB为直径的圆与曲线 有公共点，根据圆与圆的位置关系列不等式组求出a的范围．‎ ‎【解答】解：以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2，‎ ‎∵曲线上存在点P，使得∠APB=90°，‎ ‎∴圆x2+y2=a2与（x﹣）2+（y﹣1）2=1有公共点．‎ ‎∴|a﹣1|≤≤a+1，‎ 解得：1≤a≤3．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且，记线段PF1与Y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1：2，则该椭圆的离心率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先利用PF1与轴的交点为Q，△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1：2，点F1（﹣c，0），求得点P的坐标，代入椭圆标准方程即可得关于a、b、c的等式，从而求得椭圆离心率 ‎【解答】解：设Q（0，m），P（x，y）‎ ‎∵△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1：2，‎ ‎∴△F1OQ与三角形PF1F2的面积之比为1：3‎ ‎∴×c×m=××2c×y，∴m=y 又∵‎ ‎∴x=，‎ ‎∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴y2=‎ 将x=和y2=代入椭圆方程得：‎ 即e2+=4，解得e=﹣1‎ 故选 D ‎【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质，特别是椭圆离心率的求法，利用已知几何条件建立关于a、b、c的等式，是解决本题的关键 ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的离心率是　　．‎ ‎【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a2、b2的值，由双曲线的几何性质可得c的值，进而由双曲线的离心率公式计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，双曲线的方程为﹣=1，‎ 则a2=4，b2=3，‎ 则c==，‎ 则其离心率e==；‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键要熟悉双曲线标准方程的形式．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）直线x+2ay﹣1=0与直线（a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是　0或　．‎ ‎【分析】根据直线平行的等价条件进行求解即可．‎ ‎【解答】解：若a=0，则两直线方程为x﹣1=0，﹣x﹣1=0，‎ 满足两直线平行，‎ 当a≠0时，若两直线平行，‎ 则，‎ 得a=，‎ 故答案为：0或．‎ ‎【点评】本题主要考查直线平行的求解和应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）方程=1表示焦点在y轴的椭圆，则实数m的取值范围是　（7，9）　．‎ ‎【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得，解可得m的取值范围，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，若方程=1表示焦点在y轴的椭圆，‎ 则有，‎ 解可得7＜m＜9，‎ 即实数m的取值范围是（7，9）；‎ 故答案为：（7，9）．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，关键是掌握椭圆标准方程的形式．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）直线y=k（x﹣3）与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M、N两点，若|MN|，则k的取值范围是　[﹣，0）∪（0，]　．‎ ‎【分析】根据弦长范围得出弦心距的范围，从而列出不等式得出k的范围．‎ ‎【解答】解：圆的半径r=2，‎ 设圆心（3，2）到直线y=k（x﹣3）的距离为d，‎ ‎∵|MN|，‎ ‎∴d=≥=1，‎ ‎∴1≤＜2，‎ 解得：﹣≤k，且k≠0．‎ ‎∴k的取值范围是[﹣，0）∪（0，]．‎ ‎【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6题，共70分，请在答题卷上相应区域内写清楚过程）‎ ‎17．（10分）（1）焦点在x轴的椭圆，长轴长是短轴长的3倍，且一个顶点为点P（3，0），求椭圆的标准方程．‎ ‎（2）焦点在y轴的双曲线，实轴长是虚轴长的3倍，且经过点Q（），求双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】（1）根据题意，分析可得要求椭圆中a=3，又由长轴长是短轴长的3倍可得b=1，结合椭圆的焦点在x轴上，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；‎ ‎（2）根据题意，由双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，分析可得a=3b，设双曲线的方程为﹣‎ ‎=1，将点Q的坐标代入双曲线的方程解可得b的值，即可得a的值，将a、b的值代入双曲线的方程即可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，要求椭圆的焦点在x轴上，且一个顶点为点P（3，0），‎ 则a=3，‎ 又由长轴长是短轴长的3倍，即2a=3×（2b），‎ 则b==1，‎ 则双曲线的标准方程为：+y2=1，‎ ‎（2）根据题意，焦点在y轴的双曲线，实轴长是虚轴长的3倍，‎ 即2a=3×（2b），则a=3b，‎ 设双曲线的方程为﹣=1，‎ 又由双曲线经过点Q（），‎ 则有﹣=1，‎ 解可得b2=1，则a2=9b2=9，‎ 则双曲线的标准方程为：﹣x2=1．‎ ‎【点评】本题考查椭圆、双曲线的标准方程，要先确定椭圆、双曲线焦点的位置，不能确定要分情况讨论．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知三角形三个顶点是A（﹣5，0），B（4，﹣4），C（0，2），‎ ‎（1）求BC边上的中线所在直线方程；‎ ‎（2）求BC边上的高AE所在直线方程．‎ ‎【分析】（1）求得线段BC的中点坐标为D（2，﹣1），利用直线的斜率公式算出AD的斜率为﹣，利用点斜式方程列式，化简即得BC边上的中线所在直线方程；‎ ‎（2）求得直线BC的斜率，利用垂直直线斜率的关系算出BC边上的高AE的斜率为，再利用点斜式方程列式，化简即得BC边上的高AE所在直线方程．‎ ‎【解答】解：（1）∵B（4，﹣4），C（0，2），‎ ‎∴BC的中点坐标为D（2，﹣1），‎ 可得直线AD的斜率为kAD==﹣，‎ 因此直线AD方程为y=﹣（x+5），‎ 化简得x+7y+5=0，即为BC边上的中线所在直线方程； ‎ ‎（2）∵直线BC的斜率为kBC==﹣，‎ ‎∴BC边上的高AE的斜率为k==，‎ 由此可得直线AE的方程为y=（x+5），化简得2x﹣3y+10=0‎ 即BC边上的高AE所在直线方程2x﹣3y+10=0．‎ ‎【点评】本题给出三角形三个顶点的坐标，求中线和高线所在直线的方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知，圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．‎ ‎（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；‎ ‎（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程．‎ ‎【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径r，‎ ‎（1）当直线l与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；‎ ‎（2）联立圆C和直线l的方程，消去y后，得到关于x的一元二次方程，然后利用韦达定理表示出AB的长度，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．‎ ‎【解答】解：将圆C的方程x2+y2﹣8y+12=0配方得标准方程为x2+（y﹣4）2=4，‎ 则此圆的圆心为（0，4），半径为2．‎ ‎（1）若直线l与圆C相切，则有．解得．‎ ‎（2）联立方程并消去y，‎ 得（a2+1）x2+4（a2+2a）x+4（a2+4a+3）=0．‎ 设此方程的两根分别为x1、x2，‎ 所以x1+x2=﹣，x1x2=‎ 则AB===2‎ 两边平方并代入解得：a=﹣7或a=﹣1，‎ ‎∴直线l的方程是7x﹣y+14=0和x﹣y+2=0．‎ 另解：圆心到直线的距离为d=，‎ AB=2=2，可得d=，‎ 解方程可得a=﹣7或a=﹣1，‎ ‎∴直线l的方程是7x﹣y+14=0和x﹣y+2=0．‎ ‎【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，灵活运用韦达定理及两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且点P（2，1）为椭圆上一点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求△PAB的面积的最大值．‎ ‎【分析】（1）由椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且点P（2，1）为椭圆上一点，列出方程组，求出a=2，c=，b=，由此能求出椭圆的方程．‎ ‎（2）设l的方程为y=，点A（x1，y1），B（x2，y2），由，得x2+2mx+2m2﹣4=0．由此利用椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积公式、基本不等式，结合已知条件，能求出△PAB面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且点P（2，1）为椭圆上一点，‎ ‎∴由条件得：，解得a=2，c=，b=，‎ 所以椭圆的方程为=1．…（3分）‎ ‎（2）设l的方程为y=，点A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由，消去y，得x2+2mx+2m2﹣4=0．‎ 令△=4m2﹣8m2+16＞0，解得|m|＜2，…（5分）‎ 由韦达定理得x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4． …（6分）‎ 则由弦长公式得|AB==． …（8分）‎ 又点P到直线l的距离d==，…（9分）‎ ‎∴△PAB的面积==≤=2，…（10分）‎ 当且仅当m2=2，即m=时取得最大值．‎ ‎∴△PAB面积的最大值为2． …（12分）‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程、三角形面积的最大值的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=±x，右顶点为（1，0）．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线y=x+m与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点为M（x0，y0）．当x0≠0时，求的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由双曲线的渐近线方程为：y=±x，得到=，又a=1，即可得到双曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，再由判别式大于0，运用韦达定理，以及中点坐标公式，得到中点的横坐标，再由直线方程得到纵坐标，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=±x，‎ 则由题意得，=，a=1，解得b=，‎ 则双曲线的方程为：x2﹣=1；‎ ‎（Ⅱ）联立直线方程和双曲线方程，得到，‎ ‎，消去y，得2x2﹣2mx﹣m2﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则判别式△=4m2+8（m2+3）＞0，x1+x2=m，‎ 中点M的x0=，y0=x0+m=m，‎ 则有=3．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程和性质及运用，考查联立直线方程和双曲线方程，消去未知数，运用韦达定理及中点坐标公式解题，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）在△ABC中，顶点A，B，C所对三边分别是a，b，c已知B（﹣1，0），C（1，0），且b，a，c成等差数列．‎ ‎（I）求顶点A的轨迹方程；‎ ‎（II） 设顶点A的轨迹与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，如果存在过点P（0，﹣）的直线l，使得点M、N关于l对称，求实数m的取值范围．‎ ‎【分析】（I）由B（﹣1，0），C（1，0），且b，a，c成等差数列，可得|AC|+|AB|=4（定值），利用椭圆定义，可得顶点A的轨迹方程；‎ ‎（II）由消去y整理，利用韦达定理表示出中点坐标，再分类讨论，利用点M、N关于l对称，即可求实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（I）由题知得b+c=4，即|AC|+|AB|=4（定值）．‎ 由椭圆定义知，顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（除去左右顶点），且其长半轴长为2，半焦距为1，于是短半轴长为．‎ ‎∴顶点A的轨迹方程为．…（4分）‎ ‎（II）由消去y整理得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0．‎ ‎∴△=（8km）2﹣4（3+4k2）×4（m2﹣3）＞0，‎ 整理得：4k2＞m2﹣3．①‎ 令M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣，‎ 设MN的中点P（x0，y0），则，，…（7分）‎ i）当k=0时，由题知，m∈（﹣，0）．…（8分）‎ ii）当k≠0时，直线l方程为，‎ 由P（x0，y0）在直线l上，得，∴2m=3+4k2．②‎ 把②式代入①中可得2m﹣3＞m2﹣3，解得0＜m＜2．‎ 又由②得2m﹣3=4k2＞0，解得m＞．‎ ‎∴．‎ 验证：当（﹣2，0）在y=kx+m上时，得m=2k代入②得4k2﹣4k+3=0，k无解，即y=kx+m不会过椭圆左顶点．‎ 同理可验证y=kx+m不过右顶点．‎ ‎∴m的取值范围为（，2）．…（11分）‎ 综上，当k=0时，m的取值范围为（﹣，0）；当k≠0时，m的取值范围为（，2）．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查椭圆的定义与标准方程，考查对称性，考查直线与椭圆的位置关系，正确表示中点坐标是关键．‎ ‎　‎