数学（理）卷·2019届北京师大附中高二上学期期中考试（2017-11）

数学（理）卷·2019届北京师大附中高二上学期期中考试（2017-11）

北京师大附中2017-2018学年上学期高二年级期中考试数学试卷（理科）‎ 一、选择题（每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）‎ ‎ 1. 已知命题，，则是 ‎ A. ， B. ，‎ ‎ C. ， D. ，‎ ‎ 2. 设直线的倾斜角为，且，则a,b满足 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎ 3. 已知p,q是简单命题，那么“是真命题”是“是真命题”的 ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎ 4. 直线与圆交于E，F两点，则（O是原点）的面积为 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎ 5. 关于两条不同的直线m,n与两个不同的平面、，下列命题正确的是 ‎ A. ，且，则 ‎ B. ，且，则 ‎ C. ，且，则 ‎ D. ，且，则m//n ‎ 6. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率是 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎ 7. 已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的标准方程为 ‎ A. ‎ ‎ B. ‎ ‎ C. ‎ ‎ D. ‎ ‎ 8. 已知点A（2，1），抛物线的焦点是F，若抛物上存在一点P，使得最小，则P点的坐标为 ‎ A. （2，1）‎ ‎ B. （1，1）‎ ‎ C. （，1）‎ ‎ D. ‎ ‎ 9. 某校举行了以“重温时代经典，唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛，该校高一年级有1，2，3，4，四个班参加了比赛，其中有两个班获奖，比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在2班、3班、4班中”，乙同学说：“2班没有获奖，3班获奖了”，丙同学说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”，丁同学说：“乙说得对”，已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则这两人是 ‎ A. 乙，丁 ‎ B. 甲，丙 ‎ C. 甲，丁 ‎ D. 乙，丙 ‎ 10. 如图，正方体中，P为底面ABCD上的动点，于E，且PA=PE，则点P的轨迹是 ‎ A. 线段 B. 圆弧 ‎ C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分 二、填空题（每小题5分，共30分）‎ ‎ 11. 已知直线与直线垂直，则实数a的值是________。‎ ‎ 12. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围_______。‎ ‎ 13. 已知双曲线的方程为，则此双曲线的离心率为___________，其焦点到渐近线的距离为_____________。‎ ‎ 14. 已知直线与抛物线相交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是____________。‎ ‎ 15. 若直线与曲线有公共点，则k的取值范围是_____________。‎ ‎ 16. 在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C定义为曲线C的“伴随曲线”，现有下列命题：‎ ‎ ①若点A的“伴随点”是点A’，则点A’的“伴随点”是点A；‎ ‎②单位圆的“伴随曲线”是它自身；‎ ‎③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C’关于y轴对称；‎ ‎④一条直线的“伴随曲线”是一条直线 其中的真命题是____________（写出所有真命题的序列）‎ 三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎ 17. 已知点A(-2,m)(m>0)，圆 ‎ （I）写出圆C的标准方程；‎ ‎（II）若过点A的圆的切线只有一条，求m的值及切线方程；‎ ‎（III）若过点A且在两坐标轴上截距（截距不为零）相等的直线被圆截得的弦长为，求m的值。‎ ‎ 18. 已知椭圆W：，直线l过点（0，-2）与椭圆W交于两点A，B，O为坐标原点。‎ ‎ （I）求椭圆的离心率和短轴长；‎ ‎（II）若直线l的斜率是2，求线段AB的长。‎ ‎ 20. 如图，已知直三棱柱中，AB=BC，E为AC中点。‎ ‎ （I）求证：平面；‎ ‎（II）求证：平面平面。‎ ‎ 20. 已知抛物线的焦点F在直线x-y-1=0上。‎ ‎ （I）求抛物线C的方程；‎ ‎（II）设直线l经过点A（-2，-1），且与抛物线C有且只有一个公共点，求直线l的方程。‎ ‎ 21. 已知：椭圆C两焦点坐标分别为，，且经过点N。‎ ‎ （1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（II）若过M（0，-4）的直线l交椭圆C于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得为等边三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎ 22. 已知集合，其中，将（）中所有不同值的个数记为L（A）。‎ ‎ （I）设集合，，求L（P），L（Q）；‎ ‎（II）设集合，求L（B）的值（用含n的式子表示）；‎ ‎ （III）求L（A）的最小值（用含n的式子表示）‎ ‎【试题答案】‎ 一、选择题（每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）‎ ‎ 1. C 2. D 3. D 4. C 5. B ‎6. A 7. A 8. C 9. B 10. A 二、填空题（每小题5分，共30分）‎ ‎ 11. 12. (1，5) 13. ，1‎ ‎14. （4，2） 15. [0，1] 16. ②③‎ 三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎ 17. 解：（1）‎ ‎ （2）由于过点A的圆的切线只有一条，则点A在圆上，故，切线方程为；‎ ‎（3）‎ ‎ 18. （1）；；（II）‎ ‎19. （I）证明：连结，与交于点F，连结EF，因为三棱柱是直三棱柱，所以四边形是矩形，点F是中点，又E为AC中点，所以EF//。因为平面，平面，‎ 所以平面 ‎（II）证明：因为AB=BC，E为AC中点 所以 又因为三棱柱是直三棱柱，‎ 所以底面ABC，从而。‎ 所以平面。‎ 因为平面，‎ 所以平面平面 ‎20. （I）；‎ ‎（II）当直线l的方程为，或 ‎ 21. （I）‎ ‎（II）‎ ‎ 22. 解：（I）由，，，，，得 由，，，，，，得 ‎（II）因为共有项，所以。‎ 又集合，‎ 任取，，‎ ‎①当时，不妨设，则，‎ 即。‎ ‎②当，时，，‎ 因此，当且仅当，时，。‎ 即所有的值两两不同，所以。‎ ‎（III）不妨设，可得 ‎，‎ 故（）中至少有个不同的数，即。‎ 事实上，设成等差数列，‎ 考虑，根据等差数列的性质，‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 因此每个或等于中的一个，或等于 中的一个。‎ 故对这样的A，，所以的最小值为。‎