2020届高三数学（文）“大题精练”9

2020届高三数学（文）“大题精练”9

‎2020届高三数学（文）“大题精练”9‎ ‎17．（12分）已知首项为的等比数列的前项和为，且，，成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）对于数列，若存在一个区间，均有，则称为数列的“容值区间”.设，试求数列的“容值区间”长度的最小值.‎ ‎18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，点在线段上，且三棱锥的体积为，求．‎ ‎19．（12分）生男生女都一样，女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.‎ ‎（1）完成下列列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；‎ 生二孩 不生二孩 合计 头胎为女孩 ‎60‎ 头胎为男孩 合计 ‎200‎ ‎（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在头胎生女孩家庭中抽取了5户，进一步了解情况，在抽取的5户中再随机抽取3户，求这3户中恰好有2户生二孩的概率.‎ 附：‎ ‎0.15‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎（其中）.‎ ‎20．（12分）如图，设抛物线与的公共点的横坐标为，过且与相切的直线交于另一点，过且与相切的直线交于另一点，记为的面积.‎ ‎（Ⅰ）求的值（用表示）；‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围.‎ 注：若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行也不重合，则称该直线与抛物线相切.‎ ‎21．（12分）已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若存在极值，求所有极值之和的取值范围.‎ ‎(二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点在曲线上，直线交曲线于点，求的最小值.‎ ‎23. （10分）已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若函数最小值为，且，求的最小值 ‎2020届高三数学（文）“大题精练”9（答案解析）‎ ‎17．（12分）已知首项为的等比数列的前项和为，且，，成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）对于数列，若存在一个区间，均有，则称为数列的“容值区间”.设，试求数列的“容值区间”长度的最小值.‎ ‎【解析】（1）由题意可知：，即，‎ ‎∴，即公比，又，∴.‎ ‎（2）由（1）可知.当为偶数时，易知随增大而增大，‎ ‎∴，根据勾型函数性质，此时.当为奇数时，易知随增大而减小，∴，根据勾型函数性质，此时.又，‎ ‎∴.故数列的“容值区间”长度的最小值为.‎ ‎18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，点在线段上，且三棱锥的体积为，求．‎ ‎【解析】（1）由题知：，，满足 ‎，又，，平面，平面 ‎∴平面 ‎（2）如图，取线段中点，连接．在中，由余弦定理可得：‎ ‎，∴，，且，‎ 又平面平面，平面，由（1）知平面，又平面，∴平面平面，故有平面，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴．‎ ‎19．（12分）生男生女都一样，女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.‎ ‎（1）完成下列列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；‎ 生二孩 不生二孩 合计 头胎为女孩 ‎60‎ 头胎为男孩 合计 ‎200‎ ‎（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在头胎生女孩家庭中抽取了5户，进一步了解情况，在抽取的5户中再随机抽取3户，求这3户中恰好有2户生二孩的概率.‎ 附：‎ ‎0.15‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎（其中）.‎ ‎【解析】（1）因为头胎为女孩的频率为0.5，所以头胎为女孩的总户数为.‎ 因为生二孩的概率为0.525，所以生二孩的总户数为.‎ 列联表如下：‎ 生二孩 不生二孩 合计 头胎为女孩 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 头胎为男孩 ‎45‎ ‎55‎ ‎10‎ 合计 ‎105‎ ‎95‎ ‎200‎ ‎，‎ 故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.‎ ‎（2）在抽取的200户家庭的样本中，‎ 按照分层抽样的方法在头胎生女孩的家庭中抽取了5户，则这5户家庭中，生二胎的户数为3，分别记为，不生二孩的户数为2，分别记为.从这5户家庭中随机抽取3户有，，‎ ‎，，，，，，，，共10种情况，‎ 其中恰好有2户生二孩的有，故6种情况，故所求概率为.‎ ‎20．（12分）如图，设抛物线与的公共点的横坐标为，过且与相切的直线交于另一点，过且与相切的直线交于另一点，记为的面积.‎ ‎（Ⅰ）求的值（用表示）；‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围.‎ 注：若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行也不重合，则称该直线与抛物线相切.‎ ‎【解析】（Ⅰ）因点在抛物线:上,故，又点在抛物线：上,故,则 ‎（Ⅱ）设点,直线的方程为，联立方程组消去,得，则，因此，即直线的方程为 则直线的斜率，从而,即，同理,直线的方程为,点，因此，点到直线：的距离，故的面积，即，因为，即，解得.‎ ‎21．（12分）已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若存在极值，求所有极值之和的取值范围.‎ ‎【解析】（Ⅰ）定义域：，.‎ ‎①当时，，在单调递增；‎ ‎②当时，令，，则在，单调递增，在单调递减.‎ ‎（Ⅱ）由（I）知，当是，没有极值点.当时，有两个极值点，分别记为，则，.‎ ‎，又，，所以，且，设，，∴在单调递减.，.所以所有极值之和的取值范围为.‎ ‎ (二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点在曲线上，直线交曲线于点，求的最小值.‎ ‎【解析】（1）将代入得，，所以曲线的极坐标方程为.‎ 曲线的方程可化为，‎ 即，得，所以的直角坐标方程为；‎ ‎（2）由（1）及题设条件知，，，其中，‎ 所以，令，因为，所以，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立.所以的最小值为.‎ ‎23. （10分）已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若函数最小值为，且，求的最小值.‎ ‎【解析】（1）当时，，即，无解；当时，，即，得；当时，，即，得.故所求不等式的解集为.‎ ‎（2）因为，所以，则，‎ 当且仅当即时取等号.故的最小值为