河北省衡水中学2017届高三下学期六调数学（文）试题

河北省衡水中学2017届高三下学期六调数学（文）试题

衡水中学2016—2017 学年度下学期六调考试 高三年级(文科)数学试卷 第Ⅰ卷（选择题部分，共 60 分）‎ 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．集合A={1 , 0, 1 , 2 , 3}，B = 则 A B 等于（ ）‎ A． {1 , 0 , 1 , 2} B．{0 , 1 , 2 } C．{1 , 0 , 1 , 2 , 3} D．{0 , 1 , 2 , 3}‎ ‎2．设 i 为虚数单位，则复数的虚部为（ ）‎ A. B. - C. D. - ‎3．在直三棱柱 ABC-A1BlC1 中，平面 α 与棱 AB，AC，A1C1，A1B1 分别交于点 E，F，G， H，且直线 AA1∥平面 α．有下列三个命题：①四边形 EFGH 是平行四边形；②平面 α∥平面 BCC1B1③平面 α⊥平面 BCFE．其中正确的命题有 A ①② B ②③ C ①③ D ①②③‎ ‎4．甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示.则甲、乙、丙三人训练成绩方差， ，的大小关系是. ( )‎ A. < < B. < < C<< D. <<‎ ‎5．已知双曲线的离心率为，且双曲线与抛物线 的准线交于 A, B ， ，则双曲线的实轴长（ ） A． B． C． 2 D． 4 ‎ ‎6．已知 A,B 是圆 O:x2+y2=4 上的两个动点，,若 M 是线段 AB 的中点, 则 的值为 A．3 B ． C． 2 D． -3 ‎ ‎7． 执行如图所示的程序框图，若输入 a, b, i 的值分别为 8,6,1 则 输出a和i的值分别为( )‎ A. 2， 4 B.2，5 C3，4 D.3，5‎ ‎8．已知函数的周期为，‎ 若，则（ ） ‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎9．已知定点 (2, 0) ，N 是圆 O : 上任意一点，点关于点 N 的对称点为 M，线段M 的中垂线与直线M 相交于点 P，则点 P 的轨迹是 （ ）‎ A．直线 B．圆 C．椭圆 D． 双曲线 ‎10．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1 ），‎ 则这个几何体的体积是（ ） ‎ A. B. C. 16 D. 32‎ ‎11．设函数图像与的图像关于直线对称且，则实数 a（ ） ‎ A. B.1 C. D. 4‎ ‎12．已知函数，其中, e 为自然对数底数.,若， 是的导函数，函数在 (0,1) 内有两个零点，则 a 的取值范围是（ ）‎ A. B C. D 第Ⅱ卷（非选择题部分，共 90 分）‎ 本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分.‎ ‎13．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将 1,2,3,……,9 填入 3×3 的方格内，使 3行、3 列、两条对角线的三个数之和都等于 15.如图所示。‎ 一般地，将连续的正整数 1,2,3,……, 填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做 n 阶幻方。记 n 阶幻方的对角线上数的和为 N,如图三阶幻方记为，那么 的值为_______‎ ‎14． 已知，则 ．‎ ‎15.．已知实数满足，在这两个实数之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为_________．‎ ‎16.四边形 ABCD 中，AB=2,BC=CD=DA=1，则四边形 ABCD 的面积的最大值为________‎ 三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.‎ ‎17．(本小题满分 12 分) 已知等差数列的前项和为，且,.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和 ‎18．(本小题满分 12 分)‎ 某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过 200 度的部分按 0.5 元/度收费，超过 200 度但不超过 400 度的部分按 0.8 元/度收费，超过400度的部分按 1.0 元/度收费.‎ ‎（1）求某户居民用电费用（单位：元）关于月用电量（单位：度）的函数解析式；‎ ‎（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年 1 月份 100 户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这 100 户居民中，今年 1 月份用电费用不超过 260 元的占80%，求的值；‎ ‎（3）在满足（2）的条件下，估计 1 月份该市居民用户平均用电费用（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．‎ ‎19．(本小题满分 12 分)如图四棱柱 ABCD－ A1B1C1D1 中，A1A⊥底面 ABCD，四边形 ABCD 为梯形，AD∥BC，且 AD＝2BC.过 A1，C，D 三点的平面记为 α，BB1 与 α 的交点为 Q.‎ ‎ (1)证明：Q 为 BB1 的中点；‎ ‎ (2)求此四棱柱被平面 α 所分成上下两部分的体积之比 ‎20.（本小题满分 12 分）‎ ‎21．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) =（2 x- 4) e x + a( x +2) 2.（， e 为自然对数的底）‎ ‎（1）当时，求曲线 y =f ( x) 在点 P (0, f (0)) 处的切线方程；‎ ‎（2）当 x0 时，不等式 f ( x ) 4a -4 恒成立，求实数 a 的取值范围．‎ 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．‎ ‎22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中，曲线C1过点，其参数方程为，（ t 为参数，）．以 O 为极点， x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知曲线 C1 与曲线 C2 交于 A 、 B 两点，且，求实数 a 的值．‎ ‎23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）若不等式有解,求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，函数的最小值为,求实数的值．‎ 一、 选择题： ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B ‎ D C A A ‎ A D B D A C A ‎5、‎ ‎7、D【解析】由，进入循环，得 ‎，‎ 当退出循环，输出，故答案选D．‎ ‎8、B【解析】因为函数的周期，有，则 所以，故答案选B．‎ ‎9、D ‎10、A【解析】回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角 形的三棱锥，即如图中的几何体，其体积是正方体体积的，‎ 等于，故答案选A．‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．‎ ‎13、870 14、1 15、【解析】设构成等差数列的五个数分别为，因为等差数列的公差，则 ‎（另解：因为由等差数列的性质有，所以.）‎ 则等差数列后三项和为.‎ 所以设，作出约束条件所表示的可行域如图所示：‎ 可知当经过点时，目标函数有最大值，此时有最大值.‎ ‎16.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. ‎ ‎17、【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，‎ 由可得：，即，------- 2分 所以，解得.------- 4分 .------- 6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：. ‎ ‎. ------ 12分 ‎18、（1）当时，；‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 所以与之间的函数解析式为：；‎ ‎（2）由（1）可知：当时，，则，‎ 结合频率分布直方图可知：，‎ ‎∴；‎ ‎（3）由题意可知可取50，150，250，350，450，550．‎ 当时，，∴，‎ 当时，，∴，‎ 当时，，∴，‎ 当时，，∴，‎ 当时，，∴，‎ 当时，，∴，‎ 所以电费的平均值为 ‎．‎ ‎19、(1)证明：因为BQ∥AA1，BC∥AD，‎ BC∩BQ＝B，AD∩AA1＝A，所以平面QBC∥平面A1AD，‎ 从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行，即QC∥A1D.‎ 故△QBC与△A1AD的对应边相互平行，于是△QBC∽△A1AD，‎ 所以＝＝＝，即Q为BB1的中点．‎ ‎(2)如图1所示，连接QA，QD.设AA1＝h，梯形ABCD 的高为d，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V上和V下，BC＝a，则AD＝‎2a.‎ V三棱锥Q A1AD＝×·‎2a·h·d＝ahd，V四棱锥Q ABCD＝··d·＝ahd，‎ 所以V下＝V三棱锥Q A1AD＋V四棱锥Q ABCD＝ahd.‎ 又V四棱柱A1B‎1C1D1 ABCD＝ahd，‎ 所以V上＝V四棱柱A1B‎1C1D1 ABCD－V下＝ahd－ahd＝ahd，故＝.‎ ‎20、‎ ‎21、【解析】（Ⅰ）当时，有，‎ 则．------- 3分 又因为，------- 4分 ‎∴曲线在点处的切线方程为，即．------- 6分 ‎（Ⅱ）因为，令 有（）且函数在上单调递增 ------- 8分 当时，有，此时函数在上单调递增，则 ‎（ⅰ）若即时，有函数在上单调递增，‎ 则恒成立；------- 9分 ‎（ⅱ）若即时，则在存在，‎ 此时函数在 上单调递减，上单调递增且，‎ 所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；------- 10分 当时，有，则在存在，此时上单调递减，上单调递增所以函数在上先减后增．‎ 又，则函数在上先减后增且．‎ 所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；------- 11分 综上所述，实数的取值范围为． ------- 12分 ‎22、【解析】（Ⅰ）曲线参数方程为,∴其普通方程，------- 2分 由曲线的极坐标方程为,∴‎ ‎∴,即曲线的直角坐标方程.------- 5分 ‎（Ⅱ）设、两点所对应参数分别为，联解得 要有两个不同的交点，则,即，由韦达定理有 根据参数方程的几何意义可知，‎ 又由可得，即或 ------- 7分 ‎∴当时，有，符合题意．------- 8分 当时，有，符合题意．------- 9分 综上所述，实数的值为或．------- 10分 ‎23、【解析】（Ⅰ）由题，即为．‎ 而由绝对值的几何意义知，------- 2分 由不等式有解，∴，即．‎ 实数的取值范围．------- 5分 ‎（Ⅱ）函数的零点为和，当时知 ‎ ------- 7分 如图可知在单调递减，在单调递增，‎ ‎，得（合题意），即．------- 10分