四川省内江铁路中学2018-2019学年高三上学期入学考试数学试卷

四川省内江铁路中学2018-2019学年高三上学期入学考试数学试卷

内江铁路中学高三上入学考试数学试题 ‎ ‎ 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分) ‎ ‎1．计算（i为虚数单位）等于（ ）‎ ‎ A．1﹣i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D． 1+i ‎2．若平面向量=（1，2），=（﹣2，y）且，则，则||=（ ）‎ ‎ A． B． C． 2 D． 5‎ ‎3．设a，b为实数，命题甲：a＜b＜0，命题乙： ab＞b2，则命题甲是命题乙的（ ）‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图 如图所示，该四棱锥侧面积等于（ ）‎ ‎ A． 20 B．5 C． 4（+1） D． 4‎ ‎5．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎ ‎ ‎6．阅读程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中填入的语句为（ ）‎ A． S=2*i+4 B． S=2*i﹣1 ‎ C． S=2*i﹣2 D． S=2*i ‎7．（x2+2）（﹣1）5的展开式的常数项是（ ）‎ ‎ A． 2 B． 3 C．﹣2 D．﹣3‎ ‎8．某班5名学生负责校内3个不同地段的卫生工作，‎ 每个地段至少有1名学生的分配方案共有（ ）‎ ‎ A． 60种 B． 90种 C． 150种 D． 240种 ‎9．把函数y=cos（﹣2x）的图象向右平移，得到函数 f（x）的图象，则函数f（x）为（ ）‎ ‎ A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数 ‎ C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数 ‎10．设点P在曲线y=x2上，点Q在直线y=2x﹣2上，‎ 则PQ的最小值为（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为线段PF的中点，则双曲线的离心率等于（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎12．若存在x0∈N+，n∈N+，使f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63成立，则称 ‎（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”．已知函数f（x）=2x+1，x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g（x）=ax2+bx+c，则使函数y=g（x）与x轴无交点的a的取值范围是（ ）‎ ‎ A． 0＜α＜ B． ＜α＜‎ ‎ C．α＜ D． 0＜α＜或α＞‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分 ‎13．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）=_____________．‎ ‎14．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为a海里和2a海里，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A和B的距离为_____________海里．‎ ‎15．设O为坐标原点，点，若M（x，y）满足不等式组，则的最小值是_____________．‎ ‎16．已知数列{an}满足a1=a，an+1=1+，若对任意的自然数n≥4，恒有＜an＜2，则a的取值范围为_____________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）已知集合A={x|x2﹣5x+4≤0}，集合B={x|2x2﹣9x+k≤0}．‎ ‎（Ⅰ）求集合A； （Ⅱ）若B⊆A，求实数k的取值范围．‎ ‎18．（12分）函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象如图所示．‎ ‎（Ⅰ）写出φ及图中x0的值；‎ ‎（Ⅱ）设g（x）=f（x）+f（x+），求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2，E是PB上任意一点．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥DE；‎ ‎（Ⅱ）已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．‎ ‎20．（12分）已知定义x∈[﹣1，1]在偶函数f（x）满足：当x∈[0，1]时，f（x）=x+2 ，函数g（x）=ax+5﹣2a（a＞0），‎ ‎（1）求函数f（x）在x∈[﹣1，1]上的解析式：‎ ‎（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有g（x2）＞f（x1）成立，求实数a的取值范围．‎ ‎21.（12分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：‎ ‎（1）投资股市：‎ 投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20%‎ 概 率 ‎ ‎（2）购买基金：‎ 投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10%‎ 概 率 p q ‎（Ⅰ）当时，求q的值；‎ ‎（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知，，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．‎ ‎22．（12分）已知函数f（x）=x+xlnx，h（x）=x﹣lnx﹣2‎ ‎（Ⅰ）试判断方程h（x）=0在区间（1，+∞）上根的情况 ‎（Ⅱ）若k∈Z，且f（x）＞kx﹣k对任意x＞1恒成立，求k的最大值 ‎（Ⅲ）记a1+a2+…+an=，若ai=2ln2+3ln3+…+klnk（k＞3，k∈N*），证明＜1（n＞k，n∈N*）‎ 内江铁路中学高三上入学考试数学参考答案 一、选择题：CBADA DBCAD CB 二、填空题：‎ ‎13． 14．a 15． 16．（0，+∞）‎ 三、解答题（本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．解：（1）∵x2﹣5x+4≤0，∴1≤x≤4，∴A=[1，4]；（3分）‎ ‎（2）当B=∅时，△=81﹣8k＜0，求得k＞．（6分）‎ ‎∴当B≠∅时，有2x2﹣9x+k=0的两根均在[1，4]内，‎ 设f（x）=2x2﹣9x+k，则 解得7≤k≤．（9分）‎ 综上，k的范围为[7，+∞）．（10分）‎ ‎18．解：（Ⅰ）∵=cos（0+φ）∴φ的值是．‎ ‎∵=cos（πx0+）∴2π﹣=πx0+，可得x0的值是．…（5分）‎ ‎（Ⅱ）由题得 ‎=‎ ‎==‎ 因为 ，所以 ．‎ 所以 当，即时，g（x）取得最大值；‎ 当，即时，g（x）取得最小值．…（12分）‎ ‎19．（I）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD ∴PD⊥AC 又∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，BD∩PD=D ‎∴AC⊥平面PBD，∵DE⊂平面PBD ‎∴AC⊥DE…（6分）‎ ‎（II）解：分别以OA，OB，OE方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=t，则 由（I）知：平面PBD的法向量为，‎ 令平面PAB的法向量为，则根据得∴‎ 因为二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，则，即，∴…（9分）∴‎ 设EC与平面PAB所成的角为θ，‎ ‎∵，‎ ‎∴…（12分）‎ ‎20．解：（1）设x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]，结合函数f（x）是[﹣1，1]上的偶函数，所以f（x）=f（﹣x）=﹣x+，所以．‎ ‎（2）对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，都有g（x2）＞f（x1）成立，则只需g（x）min≥f（x）max，又因为y=f（x），x∈[﹣1，1]是偶函数，所以f（x）的值域就是f（x）在[0，1]值域．‎ 而当x∈[0，1]时，f（x）=x+2，令t=，‎ 原函数化为y=﹣t2+2t+2=﹣（t﹣1）2+3，t∈[1，]，显然t=1时f（x）max=3，‎ 又因为g（x）min=﹣3a+5，则由题意得，解得0即为所求．‎ ‎21.（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p++q=1．又因为，所以q=． …（3分）‎ ‎（Ⅱ）解：记事件A为“甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事 件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则，且A，B独立．‎ 由上表可知，，P（B）=p．‎ 所以 ‎==．‎ 因为，所以．‎ 又因为，q≥0，所以．‎ 所以．…（8分）‎ ‎（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X的分布列为：‎ X 4 0 ﹣2‎ P ‎ 则．…10 分 假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额（单位：万元），‎ 所以随机变量Y的分布列为：‎ Y 2 0 ﹣1‎ P ‎ 则．‎ 因为EX＞EY，‎ 所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．…（12分）‎ ‎22．解：（1）由题意h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则h'（x）=1﹣‎ 所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增 因为h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，‎ 所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）；（4分）‎ ‎（2）因为f（x）=x+xlnx，‎ 可知k＜对任意x＞1恒成立，即k＜对任意x＞1恒成立 令g（x）=，求导g'（x）=‎ 由（1）知，h（x）=x﹣lnx﹣2，h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，‎ 且满足x0∈（3，4）‎ 当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0‎ 当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0‎ 所以函数g（x）=在（1，x0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．‎ 因之，min=g（x0）=，‎ 从而k＜min=x0∈（3，4），故整数的最大值为3；（8分）‎ ‎（3）证明：由（2）可知，xlnx＞2x﹣3（x＞1），取x=k（k≥2，k∈N*），则有：‎ ‎2ln2＞2×2﹣3，3ln3＞2×3﹣3，…，klnk＞2k﹣3，‎ 将上式各式子相加得：‎ ‎2ln2+3ln3+…+klnk＞2（2+3+4+…+k）﹣3（k﹣1）=k2﹣2k+1=（k﹣1）2，‎ 即，可得，，从而有：‎ ‎==．（12分）‎