高中数学 2_3_2第1课时课时同步练习 新人教A版选修2-1

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高中数学 2_3_2第1课时课时同步练习 新人教A版选修2-1

第2章 ‎2.3.2‎ 第1课时 一、选择题(每小题5分,共20分)‎ ‎1.双曲线-=1的(  )‎ A.实轴长为2,虚轴长为4,渐近线方程为y=±x,离心率e= B.实轴长为2,虚轴长为4,渐近线方程为y=±x,离心率e= C.实轴长为2,虚轴长为4,渐近线方程为y=±2x,离心率e= D.实轴长为2,虚轴长为8,渐近线方程为y=±x,离心率e= 答案: A ‎2.已知双曲线-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,其一条渐近线方程为y=x,点P(,y0)在该双曲线上,则·=(  )‎ A.-12            B.-2‎ C.0 D.4‎ 解析: 因为渐近线方程为y=x,∴b=,‎ ‎∴双曲线方程为x2-y2=2,‎ 所以点P的坐标为(,±1),‎ 又易知F1(-2,0),F2(2,0),不妨取P(,1).‎ ‎∴·=(-2-,-1)·(2-,-1)=0.‎ 答案: C ‎3.双曲线的渐近线为y=±x,则双曲线的离心率是(  )‎ A. B.2‎ C.或 D.或 解析: 若双曲线焦点在x轴上,‎ ‎∴=,‎ ‎∴e====.‎ 若双曲线的焦点在y轴上,‎ ‎∴=,=.‎ ‎∴e====.‎ 答案: C ‎4.已知双曲线-=1的实轴的一个端点为A1,虚轴的一个端点为B1,且|A1B1|=5,则双曲线的方程是(  )‎ A.-=1 B.-=-1‎ C.-=1 D.-=-1‎ 解析: 由题意知a=4.又∵|A1B1|=5,‎ ‎∴c=5,∴b===3.‎ ‎∴双曲线方程为-=1.‎ 答案: C 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎5.双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共的焦点,它们的离心率互为倒数,则双曲线方程为________.‎ 解析: 椭圆4x2+y2=64,即+=1,‎ 焦点为(0,±4),离心率为,‎ 所以双曲线的焦点在y轴上,c=4,e=,‎ 所以a=6,b==2,‎ 所以双曲线方程为-=1.‎ 答案: -=1‎ ‎6.若双曲线-=1(b>0)的渐近线方程为y=±x,则b等于________.‎ 解析: 双曲线的渐近线方程为y=±x ‎∴b=1.‎ 答案: 1‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎7.求适合下列条件的双曲线的标准方程:‎ ‎(1)虚轴长为12,离心率为;‎ ‎(2)顶点间距离为6,渐近线方程为y=±x;‎ ‎(3)过点M(2,-2)与-y2=1有公共渐近线.‎ 解析: (1)设双曲线的标准方程为-=1或-=1(a>0,b>0).‎ 由题意知2b=12,=且c2=a2+b2,‎ ‎∴b=6,c=10,a=8,‎ ‎∴标准方程为-=1或-=1.‎ ‎(2)当焦点在x轴上时,由=且a=3,∴b=.‎ ‎∴所求双曲线方程为-=1.‎ 当焦点在y轴上时,由=且a=3,∴b=2.‎ 所求双曲线方程为-=1.‎ 综上,双曲线方程为-=1或-=1.‎ ‎(3)设与双曲线-y2=1有公共渐近线的双曲线的方程为-y2=λ,‎ 将点(2,-2)代入得λ=-(-2)2=-2,‎ ‎∴双曲线的标准方程为-=1.‎ ‎8.双曲线-=1(a>1,b>0)的焦距为‎2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥c,求双曲线离心率e的取值范围.‎ 解析: 由题意知直线l的方程为+=1,‎ 即bx+ay-ab=0.则+≥c,‎ 整理得5ab≥‎2c2.‎ 又∵c2=a2+b2,∴5ab≥‎2a2+2b2.‎ ‎∴≤≤2.‎ e== ‎∴≤e≤.‎ 尖子生题库☆☆☆‎ ‎9.(10分)过双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F(2,0)作双曲线的一条渐近线的垂线,与该渐近线交于点P,且O·F=-6,求双曲线的方程.‎ 解析: 方法一:设双曲线的一条渐近线方程为y=x,‎ 则过F且与其垂直的直线方程为y=-(x-2).‎ 由可得点P的坐标为.‎ ‎∴=,‎ ·=(2,0)·=-6.‎ 解得a2=2,∴b2=c2-a2=(2)2-2=6,‎ ‎∴双曲线方程为-=1.‎ 方法二:设双曲线的一条渐近线方程为y=x,‎ ‎∵点P在双曲线的渐近线上,故设其坐标为 ‎∴F=,O=(2,0).‎ 由O·F=-6得2(x-2)=-6,即x=.‎ 又由O·F=0,得x(x-2)+2=0,‎ 代入x=,得2=3.‎ 而a2+b2=(2)2=8,‎ ‎∴a2=2,b2=6.‎ ‎∴双曲线方程为-=1.‎
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