专题11-2 热点题型一 古典概型-《奇招制胜》2017年高考数学（文）热点+题型全突破

专题11-2 热点题型一 古典概型-《奇招制胜》2017年高考数学（文）热点+题型全突破

古典概型是高考的必考点，常在选择题和解答题中部分问题中出现。题目难度中等，只要考生能通过阅读获取相应的信息，并掌握必要的计数方法如；列举法，树状图等，便可进行概率计算。常见问题归纳如下：‎ 类型一 古典概型 类型二 古典概型的交汇命题 ‎【基础知识整合】‎ 第一部分：概率的概念及其性质 ‎1.概率和频率 ‎(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为 事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．‎ ‎(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以 用频率fn(A)来估计概率P(A)．‎ ‎2.事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 若事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)‎ B⊇A ‎(或A⊆B)‎ 相等关系 若B⊇A，且A⊇B，那么称事件A与事件B相等 A＝B 并事件(和事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)‎ A∪B ‎(或A＋B)‎ 交事件 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生 A∩B(或AB)‎ ‎(积事件)‎ ‎，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)‎ 互斥事件 若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅‎ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅且 A∪B＝Ω ‎3.概率的几个基本性质：‎ ‎(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.‎ ‎(2)必然事件的概率P(E)＝1.‎ ‎ (3)不可能事件的概率P(F)＝0.‎ ‎4．互斥事件概率的加法公式 ‎(1)若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；‎ ‎(2)若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．‎ 名师点睛：(1)从集合的角度理解互斥事件和对立事件：‎ ‎①几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．‎ ‎②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合 的补集．‎ ‎(2)概率加法公式的推广：当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法 公式的推广，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．‎ 第二部分：古典概型 ‎1.基本事件的特点： (1)任何两个基本事件是互斥的．‎ ‎(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．‎ ‎2.古典概型;具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．‎ ‎(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. ‎ ‎(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．‎ ‎3.古典概型的概率公式：P(A)＝.‎ 名师点睛：从集合的角度看概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集．故P(A)＝＝.‎ 类型一 古典概型 ‎ ‎【典例1】【2016全国高考课标3（文）5】小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 考点：古典概型 ‎【思路点拨】对古典概型必须明确判断两点：①对于每个随机试验来说，所有可能出现的试验结果数必须是有限个；②出现的各个不同的试验结果数其可能性大小必须是相同的．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式得出的结果才是正确的．‎ ‎【典例2】【2014全国高考课标1（文）13】将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有：数1，数2，语; 数1，语，数2;数 ‎2，数1，语; 数2，语，数1;语，数2，数1; 语，数1，数2共有6种，其中2本数学书相邻的有4种，则其概率为：．‎ 考点：古典概率 ‎【思路点拨】本题主要考查古典概型的计算，本题列出基本事件的总数和满足题目要的基本事件数是解决本题的关键，本题还考查了考生的分类讨论的能力和计算能力.‎ ‎【典例3】【2014全国高考课标2（文）13】甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.‎ ‎【答案】 考点；古典概率.‎ ‎【思路点拨】本题考查了应用列举法解决古典概率，属于基础题目，根据条件列举出全部基本事件，然而从中准确地找出“他们选择相同颜色运动服”所包含的基本事件，然后应用古典概率公式即可.‎ ‎【变式练习】‎ ‎1.【2016高考上海文科】某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.‎ ‎【答案】 ‎【解析】将4种水果每两种分为一组，有种方法，则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相同的概率为.‎ 考点：.古典概型 ‎2.【2016高考北京文数】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】：所求概率为，故选B. ‎ 考点：古典概型 ‎3.【2016高考天津文数】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎【答案】A ‎【解析】：甲不输概率为选A.‎ 考点：概率 ‎【思路点拨】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.运用概率加法的前提是事件互斥，不输包含赢与和，两种互斥，可用概率加法.对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.‎ ‎4.【2015高考湖北文】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）‎ A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 ‎【答案】.‎ 考点；本题考查简单的随机抽样，涉及近似计算.‎ ‎【思路点拨】本题以数学史为背景，重点考查简单的随机抽样及其特点，通过样本频率估算总体频率，虽然简单，但仍能体现方程的数学思想在解题中的应用，能较好考查学生基础知识的识记能力和估算能力、实际应用能力.‎ ‎5.【2015高考陕西文】随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：‎ 日期 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴 日期 ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 ‎(I)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；‎ ‎(II)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.‎ ‎【答案】(I) ； (II) .‎ 考点；概率与统计.‎ 类型二 古典概型的交汇命题 ‎【典例1】【2015高考新课标1（文）4】如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3‎ 个数构成一组勾股数的概率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎【答案】C ‎【解析】从中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为，故选C. ‎ 考点；古典概型 勾股定理 ‎【思路点拨】求解古典概型问题的关键是找出样本空间中的基本事件数及所求事件包含的基本事件数，求勾股数则需满足勾股定理。‎ ‎ 【典例2】【2014高考陕西（文）6】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ）‎ ‎【答案】 ‎【解析】：如图，从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，共有条线段，点与，，，四点中任意1点的连线段都小于该正方形边长，共有，‎ 所以这2个点的距离小于该正方形边长的概率，故选.‎ 考点：古典概型及其概率计算公式.‎ ‎【名师点晴】本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式.，属于中档题．解题时要准确理解题意由“5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长”．利用排列组合有关知识，正确得到基本事件数和所研究事件所包含事件数．从而得到所求事件的概率 ‎【典例3】【2016高考四川文科】从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b，则为整数的概率= .‎ ‎【答案】 考点：古典概型 对数运算 ‎【名师点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的总数，本题中所给数都可以作为对数的底面，因此所有对数的个数就相当于4个数中任取两个的全排列，个数为，而满足题意的只有2个，由概率公式可得概率．在求事件个数时，涉及到排列组合的应用，涉及到两个有理的应用，解题时要善于分析．‎ ‎【变式练习】‎ ‎1.【2016哈尔滨模拟】将a，b都是整数的点(a，b)称为整点，若在圆x2＋y2－6x＋5＝0内的整点中任取一点M，则点M到直线2x＋y－12＝0的距离大于的概率为______．‎ ‎【答案】 ‎【解析】 将圆x2＋y2－6x＋5＝0的方程化成标准形式为(x－3)2＋y2＝4，圆内的整点共有9个，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(2,0)，(3,0)，(4,0)，(2，－1)，(3，－1)，(4，－1)，从中任取一点M，有9种不同的结果，由于是任意选取的，所以每个结果出现的可能性是相等的，记“点M到直线2x＋y－12＝0的距离大于”为事件A，则事件A共包含(2,1)，(2,0)，(3,0)，(2，－1)，(3，－1)5个基本事件，由古典概型的概率计算公式得P(A)＝.‎ ‎2.【2016银川模拟】设a∈{1,2,3,4}，b∈{2,4,8,12}，则函数f(x)＝x3＋ax－b在区间1,2]上有零点的概率 为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】　由f(1)·f(2)≤0，得(a－b＋1)(2a－b＋8)≤0，基本事件总数为16，其中使(a－b＋1)(2a－b＋8)≤0的基本事件数为11，故所求概率为P＝.‎ ‎3.【2017兰州模拟】从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解题技巧与方法总结】‎ ‎1．求古典概型的基本步骤；(1) 算出所有基本事件的个数n. ‎ ‎(2) 求出事件A包含的所有基本事件数m. ‎ ‎ (3) 代入公式P(A)＝，求出P(A)．‎ ‎2．基本事件个数的确定方法；(1)列举法：此法适合于基本事件较少的古典概型．‎ ‎(2)计算法：利用排列、组合的有关知识计算．‎ ‎3. 对于比较复杂事件的概率计算，注意分清事件之间的关系，如互斥事件，对立事件可运用概率运算性质计算。‎ ‎4.概率计算与其它数学知识交汇的问题，需要对涉及的数学知识准确理解，再综合分析求解。‎