数学卷·2018届河北省保定市博野中学高二上学期期中数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届河北省保定市博野中学高二上学期期中数学试卷（理科）（解析版）

‎2016-2017学年河北省保定市博野中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12道小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（　　）‎ A．24 B．48 C．60 D．72‎ ‎2．下列命题正确的个数是（　　）‎ ‎①已知p：∃a∈R，方程ax2﹣2x+a=0有正实根，则￢P：∀a∈R，方程ax2﹣2x+a=0有负实根 ‎②若X：N（3，4），则P（X＜1﹣3a）=P（X＞a2+7）成立的一个必要不充分条件是a=2‎ ‎③若y与x的相关系数r=1，则y与x有线性相关关系，且正相关．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎3．如图是某居民小区年龄在20岁到45岁的居民上网情况的频率分布直方图，现已知年龄 在[30，35），[35，40），[40，45]的上网人数呈现递减的等差数列，则年龄在[35，40）的频（　　）‎ A．0.04 B．0.06 C．0.2 D．0.3‎ ‎4．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：‎ 年份 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ 年份代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入y ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ 若y关于t的线性回归方程为=0.5t+‎ a，则据此该地区2015年农村居民家庭人均纯收入约为（　　）‎ A．6.6千元 B．6.5千元 C．6.7千元 D．6.8千元 ‎5．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的n值为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎6．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知直线l：kx+y﹣2=0（k∈R）是圆C：x2+y2﹣6x+2y+9=0的对称轴，过点A（0，k）作圆C的一条切线，切点为B，则线段AB的长为（　　）‎ A．2 B．2 C．3 D．2‎ ‎9．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（　　）‎ A．1﹣ B． C． D．1﹣‎ ‎10．椭圆mx2+ny2=1与直线x+y﹣1=0相交于A，B两点，过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为，则的值为（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，且其右焦点为（5，0），则双曲线C的方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于　　．‎ ‎14．已知=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），=（1，﹣x，2），若（+）⊥，则实数x的值为　　．‎ ‎15．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形AF1F2的一边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是　　．‎ ‎16．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，过点F1的直线与椭圆C相交于A，B两点，若=，∠AF2B=90°，则椭圆C的离心率是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．‎ ‎（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；‎ ‎（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．‎ ‎18．已知椭圆C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|•|BM|为定值．‎ ‎19．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）求直方图中a的值；‎ ‎（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；‎ ‎（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．‎ ‎20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．‎ ‎（1）求证：AC⊥BC1；‎ ‎（2）求证：AC1∥平面CDB1；‎ ‎（3）求二面角B﹣DC﹣B1的余弦值．‎ ‎21．已知椭圆C： +=1过点A（2，0），B（0，1）两点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程及离心率；‎ ‎（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．‎ ‎22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．‎ ‎（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省保定市博野中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12道小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（　　）‎ A．24 B．48 C．60 D．72‎ ‎【考点】排列、组合的实际应用．‎ ‎【分析】用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填5个空，要求个位是奇数，其它位置无条件限制，因此先从3个奇数中任选1个填入，其它4个数在4个位置上全排列即可．‎ ‎【解答】解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1，3，5中的一个数，共有3种排法，‎ 然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有=24种排法．‎ 由分步乘法计数原理得，由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有3×24=72个．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．下列命题正确的个数是（　　）‎ ‎①已知p：∃a∈R，方程ax2﹣2x+a=0有正实根，则￢P：∀a∈R，方程ax2﹣2x+a=0有负实根 ‎②若X：N（3，4），则P（X＜1﹣3a）=P（X＞a2+7）成立的一个必要不充分条件是a=2‎ ‎③若y与x的相关系数r=1，则y与x有线性相关关系，且正相关．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】①，命题“∃a∈R，方程ax2﹣2x+a=0有正实根”的否定是“∀a∈R，方程方程ax2﹣2x+a=0无正实根”； ‎ ‎②由P（X＜1﹣3a）=P（X＞a2+7），得1﹣3a+a2+7=6成解得a=1或2，故a=2是P（X＜1﹣3a）=P（X＞a2+7）成立的一个充分不必要条件；‎ 对于③，若y与x的相关系数r=1，则y与x是函数关系．‎ ‎【解答】解：对于①，命题“∃a∈R，方程ax2﹣2x+a=0有正实根”的否定是“∀a∈R，方程方程ax2﹣2x+a=0无正实根”，故错； ‎ 对于②由P（X＜1﹣3a）=P（X＞a2+7），得1﹣3a+a2+7=6成解得a=1或2，故a=2是P（X＜1﹣3a）=P（X＞a2+7）成立的一个充分不必要条件，故错；‎ 对于③，若y与x的相关系数r=1，则y与x是函数关系，故错．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．如图是某居民小区年龄在20岁到45岁的居民上网情况的频率分布直方图，现已知年龄 在[30，35），[35，40），[40，45]的上网人数呈现递减的等差数列，则年龄在[35，40）的频（　　）‎ A．0.04 B．0.06 C．0.2 D．0.3‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】根据题意，结合频率、频数与样本容量的关系，利用等差数列的性质，即可求出答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，得；‎ 年龄在[30，45]的上网人数的频率为 ‎1﹣（0.01+0.07）×5=0.6，‎ ‎∵年龄在[30，35），[35，40），[40，45]的上网人数呈现递减的等差数列，‎ ‎∴他们对应的频率也呈递减的等差数列，‎ ‎∴年龄在[35，40）的频率为 ‎×0.6=0.2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：‎ 年份 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ 年份代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入y ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ 若y关于t的线性回归方程为=0.5t+a，则据此该地区2015年农村居民家庭人均纯收入约为（　　）‎ A．6.6千元 B．6.5千元 C．6.7千元 D．6.8千元 ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】先求出年份代号t和人均纯收入y的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程，求得2015年的年份代号t=9代入回归方程，得y的值．‎ ‎【解答】解：由所给数据计算得=4， =4.4，‎ 代入=0.5t+a，可得a=2.3，‎ ‎∴=0.5t+2.3，‎ ‎∴t=9时， =0.5t+2.3=6.8千元，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的n值为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据输入A的值，然后根据S进行判定是否满足条件S＞2，若不满足条件执行循环体，依此类推，一旦满足条件S＞2，退出循环体，输出n的值为5．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得 A=2，S=0，n=1‎ 不满足条件S＞2，执行循环体，S=1，n=2‎ 不满足条件S＞2，执行循环体，S=，n=3‎ 不满足条件S＞2，执行循环体，S=，n=4‎ 不满足条件S＞2，执行循环体，S=，n=5‎ 满足条件S＞2，退出循环，输出n的值为5．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．‎ ‎【分析】根据题意，设此射手的命中率是x，则不能命中的概率为1﹣x，又由题意，可得4次射击全部没有命中目标的概率为，即（1﹣x）4=，解可得答案．‎ ‎【解答】解：设此射手的命中率是x，则不能命中的概率为1﹣x，‎ 根据题意，该射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，‎ 即4次射击全部没有命中目标的概率为1﹣=，‎ 有（1﹣x）4=，‎ 解可得，x=，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】棱柱的结构特征．‎ ‎【分析】用空间向量解答．‎ ‎【解答】解：∵=+﹣；‎ ‎∴2=（+﹣）2；‎ 即2=•+•﹣•+•+•﹣•﹣（•+•﹣•）‎ ‎=1+0﹣3×1×cos60°+0+1﹣3×1×cos60°﹣（3×1×cos60°+3×1×cos60°﹣9）；‎ ‎=1﹣+1﹣﹣+9=5，‎ ‎∴A1C=．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎8．已知直线l：kx+y﹣2=0（k∈R）是圆C：x2+y2﹣6x+2y+9=0的对称轴，过点A（0，k）作圆C的一条切线，切点为B，则线段AB的长为（　　）‎ A．2 B．2 C．3 D．2‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】利用配方法求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：kx+y﹣2=0经过圆C的圆心（3，﹣1），求得k的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得AB的值．‎ ‎【解答】解：由圆C：x2+y2﹣6x+2y+9=0得，（x﹣3）2+（y+1）2=1，‎ 表示以C（3，﹣1）为圆心、半径等于1的圆．‎ 由题意可得，直线l：kx+y﹣2=0经过圆C的圆心（3，﹣1），‎ 故有3k﹣1﹣2=0，得k=1，则点A（0，1），‎ 即|AC|=．‎ 则线段AB=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（　　）‎ A．1﹣ B． C． D．1﹣‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】由题意，直接看顶部形状，及正方形内切一个圆，正方形面积为4，圆为π，即可求出“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率．‎ ‎【解答】解：由题意，正方形的体积为23=8．倒立的圆锥的体积为：π•2，‎ 所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1﹣=1﹣，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．椭圆mx2+ny2=1与直线x+y﹣1=0相交于A，B两点，过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为，则的值为（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】（法一）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）由①，②及M，N在椭圆上，可得利用点差法进行求解 ‎（法二）A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），联立方程．，利用方程的根与系数的关系可求x1+x2，进而可求y1+y2=2﹣（x1+x2），由中点坐标公式可得，，，由题意可知，从而可求 ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），‎ ‎∴①，‎ kAB=②，‎ 由AB的中点为M可得x1+x2=2x0，y1+y2=2y0‎ 由A，B在椭圆上，可得，‎ 两式相减可得m（x1﹣x2）（x1+x2）+n（y1﹣y2）（y1+y2）=0③，‎ 把①②代入③可得m（x1﹣x2）•2x0﹣n（x1﹣x2）•2y0=0③，‎ 整理可得 故选A ‎（法二）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）‎ 联立方程可得（m+n）x2﹣2nx++n﹣1=0‎ ‎∴x1+x2=，y1+y2=2﹣（x1+x2）=‎ 由中点坐标公式可得， =， =‎ ‎∵M与坐标原点的直线的斜率为 ‎∴=‎ 故选A ‎　‎ ‎11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，且其右焦点为（5，0），则双曲线C的方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用已知条件列出方程，求解即可．‎ ‎【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，‎ 可得=；其右焦点为（5，0），可得c=5，又c2=a2+b2，‎ 解得a=4，b=3，‎ 则双曲线C的方程为：．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎【考点】直线的倾斜角；抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设出A、B坐标，利用焦半径公式求出|AB|，结合，求出A、B的坐标，然后求其比值．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎，，‎ 又，可得，‎ 则，‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于　112　．‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2n=256，求得 n=8．在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．‎ ‎【解答】解：∵在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，‎ ‎∴2n=256，解得n=8，‎ ‎∴（﹣）8中，Tr+1==，‎ ‎∴当=0，即r=2时，常数项为T3=（﹣2）2=112．‎ 故答案为：112．‎ ‎　‎ ‎14．已知=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），=（1，﹣x，2），若（+）⊥，则实数x的值为　﹣4　．‎ ‎【考点】空间向量的数量积运算．‎ ‎【分析】求出+，再根据（+）⊥，得到关于x的方程，解出即可．‎ ‎【解答】解：∵=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），‎ ‎∴（+）=（﹣2，1，x+3），‎ 若（+）⊥，则﹣2﹣x+2（x+3）=0，‎ 解得：x=﹣4，‎ 故答案为：﹣4．‎ ‎　‎ ‎15．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形AF1F2的一边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出F1（﹣c，0），A（0， c），设B（x，y），根据=4，可得x=﹣c，y=c，代入双曲线方程，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），A（0， c），‎ 设B（x，y），则 ‎∵=4，‎ ‎∴（﹣c，﹣c）=4（﹣c﹣x，﹣y），‎ ‎∴x=﹣c，y=c，‎ 代入双曲线方程，化简可得，9e4﹣28e2+16=0，‎ ‎∴e=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，过点F1的直线与椭圆C相交于A，B两点，若=，∠AF2B=90°，则椭圆C的离心率是　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由条件可设|BF1|=2t，|AF1|=3t，由椭圆的定义，可得|AF2|=2a﹣3t，|BF2|=2a﹣2t，运用勾股定理，可得t=a，求出cosB，△F1BF2中，运用余弦定理和离心率公式计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：由=，可设|BF1|=2t，|AF1|=3t，‎ 由椭圆的定义，可得|AF2|=2a﹣3t，|BF2|=2a﹣2t，‎ 由∠AF2B=90°可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2，‎ 即有（5t）2=（2a﹣3t）2+（2a﹣2t）2，‎ 解得t=a，|AB|=a，|BF2|=a，‎ 在△ABF2中，cosB==，‎ 在△F1BF2中，cosB==，‎ 化简可得•=，‎ 即e2=，即为e=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．‎ ‎（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；‎ ‎（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；‎ ‎（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，‎ 则由古典概型的概率公式有P（A）==．‎ ‎（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，‎ 则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P EX=0×+1×+2×=．‎ ‎　‎ ‎18．已知椭圆C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|•|BM|为定值．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）方法一、设椭圆上点P（x0，y0），可得x02+4y02=4，求出直线PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直线PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，化简整理，即可得到|AN|•|BM|为定值4．‎ 方法二、设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），求出直线PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直线PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，运用同角的平方关系，化简整理，即可得到|AN|•|BM|为定值4．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，‎ 又△OAB的面积为1，可得ab=1，‎ 且a2﹣b2=c2，‎ 解得a=2，b=1，c=，‎ 可得椭圆C的方程为+y2=1；‎ ‎（Ⅱ）证法一：设椭圆上点P（x0，y0），‎ 可得x02+4y02=4，‎ 直线PA：y=（x﹣2），令x=0，可得y=﹣，‎ 则|BM|=|1+|；‎ 直线PB：y=x+1，令y=0，可得x=﹣，‎ 则|AN|=|2+|．‎ 可得|AN|•|BM|=|2+|•|1+|‎ ‎=||=||‎ ‎=||=4，‎ 即有|AN|•|BM|为定值4．‎ 证法二：设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），‎ 直线PA：y=（x﹣2），令x=0，可得y=﹣，‎ 则|BM|=||；‎ 直线PB：y=x+1，令y=0，可得x=﹣，‎ 则|AN|=||．‎ 即有|AN|•|BM|=||•||‎ ‎=2||‎ ‎=2||=4．‎ 则|AN|•|BM|为定值4．‎ ‎　‎ ‎19．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）求直方图中a的值；‎ ‎（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；‎ ‎（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．‎ ‎【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据各组的累积频率为1，构造方程，可得a值；‎ ‎（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于3吨的人数；‎ ‎（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率及月均用水量低于3吨的频率，进而可得x值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，‎ ‎∴a=0.3；‎ ‎（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率为：0.5×（0.12+0.08+0.04）=0.12，‎ 由30×0.12=3.6得：全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万；‎ ‎（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73＜85%；‎ 月均用水量低于3吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）=0.88＞85%；‎ 则x=2.5+0.5×=2.9吨 ‎　‎ ‎20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1‎ ‎=4，点D是AB的中点．‎ ‎（1）求证：AC⊥BC1；‎ ‎（2）求证：AC1∥平面CDB1；‎ ‎（3）求二面角B﹣DC﹣B1的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）直三棱柱的底面三边长分别为3、4、5，∴AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．只要证明，即可证明AC⊥BC1．‎ ‎（2）设CB1∩C1B=E，则E（0，2，2），可得，即DE∥AC1，即可证明AC1∥平面CDB1．‎ ‎（3）设平面CDB1的一个法向量为=（x，y，z），则，可求得平面CDB1的一个法向量为．取平面CDB的一个法向量为，利用=即可得出．‎ ‎【解答】（1）证明：∵直三棱柱的底面三边长分别为3、4、5，∴AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．‎ C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），C1（0，0，4），‎ D．‎ ‎∵，∴，即AC⊥BC1．‎ ‎（2）证明：设CB1∩C1B=E，则E（0，2，2），‎ ‎，‎ ‎∴，即DE∥AC1，∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，‎ ‎∴AC1∥平面CDB1．‎ ‎（3）解： =，设平面CDB1的一个法向量为=（x，y，z），则，则，‎ 可求得平面CDB1的一个法向量为=（4，﹣3，3）．‎ 取平面CDB的一个法向量为，‎ 则===．‎ 由图可知，二面角B﹣DC﹣B1的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎21．已知椭圆C： +=1过点A（2，0），B（0，1）两点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程及离心率；‎ ‎（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）由题意可得a=2，b=1，则 ‎，则椭圆C的方程可求，离心率为e=；‎ ‎（2）设P（x0，y0），求出PA、PB所在直线方程，得到M，N的坐标，求得|AN|，|BM|．由，结合P在椭圆上求得四边形ABNM的面积为定值2．‎ ‎【解答】（1）解：∵椭圆C： +=1过点A（2，0），B（0，1）两点，‎ ‎∴a=2，b=1，则，‎ ‎∴椭圆C的方程为，离心率为e=；‎ ‎（2）证明：如图，‎ 设P（x0，y0），则，PA所在直线方程为y=，‎ 取x=0，得；‎ ‎，PB所在直线方程为，‎ 取y=0，得．‎ ‎∴|AN|=，‎ ‎|BM|=1﹣．‎ ‎∴=‎ ‎=﹣==‎ ‎=．‎ ‎∴四边形ABNM的面积为定值2．‎ ‎　‎ ‎22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．‎ ‎（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知结合面面垂直的性质可得AB⊥平面PAD，进一步得到AB⊥PD，再由PD⊥PA，由线面垂直的判定得到PD⊥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）取AD中点为O，连接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），进一步求出向量的坐标，再求出平面PCD的法向量，设PB与平面PCD的夹角为θ，由 求得直线PB与平面PCD所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），由可得M（0，1﹣λ，λ），，由BM∥平面PCD，可得 ‎，由此列式求得当时，M点即为所求．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，‎ 且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，‎ ‎∴AB⊥平面PAD，‎ ‎∵PD⊂平面PAD，‎ ‎∴AB⊥PD，‎ 又PD⊥PA，且PA∩AB=A，‎ ‎∴PD⊥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）解：取AD中点为O，连接CO，PO，‎ ‎∵CD=AC=，‎ ‎∴CO⊥AD，‎ 又∵PA=PD，‎ ‎∴PO⊥AD．‎ 以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：‎ 则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），‎ 则，，‎ 设为平面PCD的法向量，‎ 则由，得，则．‎ 设PB与平面PCD的夹角为θ，则=‎ ‎；‎ ‎（Ⅲ）解：假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），‎ 由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，‎ 则有，可得M（0，1﹣λ，λ），‎ ‎∴，‎ ‎∵BM∥平面PCD，为平面PCD的法向量，‎ ‎∴，即，解得．‎ 综上，存在点M，即当时，M点即为所求．‎ ‎　‎ ‎2017年1月14日