2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3-3利用导数研究函数的极值最值练习苏教版
3.3 利用导数研究函数的极值、最值
考点一 用导数解决函数的极值问题
命
题
精
解
读
考什么:(1)考查求值、解方程、解不等式等问题.
(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养及数形结合、分类与整合等数学思想.
怎么考:与函数图象、方程、不等式、函数单调性等知识结合考查求函数极值、知函数极值求参数等问题.
新趋势:函数极值、导数的几何意义及函数图象等知识交汇考查为主
学
霸
好
方
法
1.求函数f(x)极值的一般解题步骤
(1)确定函数的定义域;
(2)求导数f ′(x);
(3)解方程f ′(x)=0,求出函数定义域内的所有根;
(4)列表检验f ′(x)在f ′(x)=0的根x0左右两侧值的符号.
2.已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2)验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
由图象判断函数的极值
【典例】(2020·咸阳模拟)已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则=________.
【解析】f′(x)=3ax2+2bx+c;
根据图象知,x=-1,2是f(x)的两个极值点;
所以x=-1,2是方程3ax2+2bx+c=0的两实数根;
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根据根与系数的关系得,
所以2b=-3a,c=-6a,
所以===1.
答案:1
由函数f(x)的图象确定极值点的主要依据是什么?
提示:局部最高(低)点的横坐标是极大(小)值点.
求已知函数的极值
【典例】已知函数f(x)=x-1+(a∈R,e为自然对数的底数).
(1)若曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x轴,求a的值.
(2)求函数f(x)的极值.
【解析】(1)由f(x)=x-1+,
得f ′(x)=1-.
又曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x轴,
所以f ′(1)=0,即1-=0,解得a=e.
(2)f ′(x)=1-,
当a≤0时,f ′(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数f(x)无极值.
当a>0时,令f ′(x)=0,得ex=a,即x=ln a,
- 12 -
当x∈(-∞,ln a)时, f ′(x)<0;
当x∈(ln a,+∞)时, f ′(x)>0,
所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,
在(ln a,+∞)上单调递增,故f(x)在x=ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)=
ln a,无极大值.
综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;
当a>0时,f(x)在ln a处得极小值ln a,无极大值.
若函数f(x)在区间[a,b]内有极值,则极值点有可能是a或b吗?f(x)在(a,b)内可以是单调函数吗?
提示:若函数y=f(x)在区间[a,b]内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值,且极值点一定不是a和b.
已知函数极值情况求参数值(范围)
【典例】设a∈R,若函数y=x+aln x在区间上有极值点,则a的取值范围为 ( )
A.
B.
C.∪(e,+∞)
D.(-∞,-e)∪
【解析】选B.因为函数y=f(x)=x+aln x在区间
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上有极值点,所以y′在区间上有零点.
f′(x)=1+=(x>0).
所以f′·f′(e)<0,
所以(ea+1)<0,
解得-e
3,此时f′(x)>0;当-22时,1-x<-1,此时f′(x)>0,由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.
2.设函数f(x)=ln x+ax2-x,若x=1是函数f(x)的极大值点,则函数f(x)的极小值为________.
【解析】函数f(x)=ln x+ax2-x,函数定义域为(0,+∞),f′(x)=+2ax-.
若x=1是函数f(x)的极大值点,则f′(1)=0,解得a=;所以f(x)=ln x+x2-x,
f′(x)=+x-==;
当f′(x)>0时,02;
函数在(0,1)和(2,+∞)上单调递增;
当f′(x)<0时,10,原函数单调递增,当2kπ+π1,求f(x)在区间上的最大值和最小值.
【解题导思】
序号
题目拆解
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(1)
利用导数的几何意义求参数
利用求导的方法求出函数在切点处的切线斜率,再利用切点坐标与切线的斜率之间的关系求出a的值
(2)
研究函数f(x)的单调性
利用对x分类讨论的方法,结合b的取值范围,用求导的方法判断函数的单调性
求函数f(x)的最值
从而求出函数的极值,进而求出函数的最值
【解析】(1)f(x)的导函数为
f′(x)=⇒f′(1)==1-a,
依题意,有=1-a,
即=1-a,解得a=1.
(2)由(1)得f′(x)=,
当00,-ln x>0,
所以f′(x)>0,故f(x)在(0,1)上单调递增;
当x>1时,1-x2<0,-ln x<0,
所以f′(x)<0,故f(x)在(1,+∞)上单调递减,
所以f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.
因为0<<11则h′=ln b>0,
故h(b)在区间(1,+∞)上单调递增.
当b→1时,h(b)→0⇒h(b)>0⇒f(b)>f.
故f(x)的最小值为f=-bln b-.
求函数f(x)在闭区间[a,b]内的最大值和最小值的思路
(1)若所给的闭区间[a,b]不含参数,则只需对函数f(x)求导,并求f ′(x)=0在区间[a,b]内的根,再计算使导数等于零的根的函数值,把该函数值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
(2)若所给的闭区间[a,b]含参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.
(2019·南昌模拟)设函数f(x)=ln x-2mx2-n(m,n∈R).
(1)讨论f(x)的单调性.
(2)若f(x)有最大值-ln 2,求m+n的最小值.
【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=-4mx=,
当m≤0时,f′(x)>0,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当m>0时,令f′(x)>0,得0,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)由(1)知,当m>0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.
所以f(x)max=f=ln-2m·-n
=-ln 2-ln m--n=-ln 2,
所以n=-ln m-,所以m+n=m-ln m-,
令h(x)=x-ln x-(x>0),则h′(x)=1-=,
所以h(x)在上单调递减,
在上单调递增,所以h(x)min=h=ln 2,
所以m+n的最小值为ln 2.
考点三 用导数解决生活中的优化问题
【典例】某食品厂进行蘑菇的深加工,每千克蘑菇的成本为20元,并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2≤t≤5).设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40),根据市场调查,日销售量q千克与ex成反比,当每千克蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100千克.
(1)求该工厂的每日利润y元与每千克蘑菇的出厂价x元的函数关系式.
(2)若t=5,当每千克蘑菇的出厂价x为多少时,该工厂的每日利润y最大?并求最大值.
【解题导思】
联想解题
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序号
(1)
待定系数法求函数关系
根据已知条件得出日销量函数表达式q=(k≠0),将x=30,q=100代入日销量函数表达式中求出k的值,进而得到利润y与出厂价x之间的函数关系式.
(2)
通过求函数最值,解答实际问题
将t=5代入函数中,根据导数求得函数的单调区间,进而得函数的最值.
【解析】(1)设日销量q=(k≠0),
则=100,所以k=100e30,所以日销量q=,
所以y=(25≤x≤40).
(2)当t=5时,y=,
y′=.
由y′≥0得x≤26,由y′≤0,得x≥26,
所以y在区间[25,26]上单调递增,在区间[26,40]上单调递减,所以当x=26时,ymax=100e4,
即当每千克蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的每日利润最大,最大值为100e4元.
利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).
(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0.
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(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0处的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.
(4)回归实际问题作答.
某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-5)2,其中2
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