2019高三数学理北师大版一轮单元评估检测2　第2章　函数、导数及其应用

2019高三数学理北师大版一轮单元评估检测2　第2章　函数、导数及其应用

单元评估检测(二)　第2章　函数、导数及其应用 ‎(120分钟　150分)‎ ‎(对应学生用书第232页)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．设函数f(x)＝＋，则函数的定义域为(　　)‎ A. B. C.∪(0，＋∞) D. ‎[答案]　A ‎2．已知函数f(x)＝则f(f(4))的值为(　　) ‎ ‎【导学号：79140406】‎ A．－ B．－9 ‎ C. D．9‎ ‎[答案]　C ‎3．设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则(　　)‎ A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b ‎[答案]　D ‎4．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是(　　)‎ A．y＝log2x B．y＝2x－1‎ C．y＝x2－2 D．y＝－x3‎ ‎[答案]　B ‎5．(2017·洛阳模拟)函数y＝(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则loga＋loga＝(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．3 D．4‎ ‎[答案]　C ‎6．(2017·珠海模拟)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则g(f(－7))＝(　　)‎ A．3 B．－3 ‎ C．2 D．－2‎ ‎[答案]　D ‎7．某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：‎ 销售单价(元)‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 日均销 售量(件)‎ ‎400‎ ‎360‎ ‎320‎ ‎280‎ ‎240‎ ‎200‎ ‎160‎ 请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，此商品的定价(单位：元/件)应为(　　)‎ A．4 B．5.5 ‎ C．8.5 D．10‎ ‎[答案]　C ‎8．函数y＝的部分图像大致为(　　)‎ ‎[答案]　D ‎9．过点(－1,0)作抛物线y＝x2＋x＋1的切线，则其中一条切线为(　　)‎ A．2x＋y＋2＝0 B．3x－y＋3＝0‎ C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0‎ ‎[答案]　D ‎10．(2018·郑州模拟)设函数f(x)对x≠0的实数满足f(x)－2f＝3x＋2，那么f(x)dx＝(　　)‎ A．－ B．＋2ln 2‎ C．－ D．－(4＋2ln 2)‎ ‎[答案]　A ‎11．若函数f(x)＝1＋＋sin x在区间[－k，k](k＞0)上的值域为[m，n]，则m＋n＝(　　)‎ ‎【导学号：79140407】‎ A．0 B．1 ‎ C．2 D．4‎ ‎[答案]　D ‎12．(2018·岳阳模拟)设函数y＝ax2与函数y＝的图像恰有3个不同的交点，则实数a的取值范围为(　　)‎ A. B.∪ C. D.∪ ‎[答案]　C 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)·xm＋1为奇函数，则不等式f(2x－3)＋f(x)＞0的解集为________．‎ ‎[答案]　(1，＋∞)‎ ‎14．已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a＝0恰有4个互异的实数根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________. ‎ ‎【导学号：79140408】‎ ‎[答案]　－6‎ ‎15．已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)在区间[－1,2]上的最大值为8，最小值为m ‎，若函数g(x)＝(3－10m)是单调增函数，则a＝________.‎ ‎[答案]　 ‎16．(2017·长治模拟)对于函数f(x)给出定义：‎ 设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．‎ 某同学经过探究发现：任何一个三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数f(x)＝x3－x2＋3x－，请你根据上面探究结果，计算f＋f＋f＋…＋f＝________.‎ ‎[答案]　2 016‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0恒成立．‎ ‎(1)求F(x)的表达式；‎ ‎(2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．‎ ‎[解]　(1)F(x)＝ ‎(2)(－∞，－2]∪[6，＋∞)‎ ‎18．(本小题满分12分)已知实数x满足32x－4－·3x－1＋9≤0且f(x)＝log2·log.‎ ‎(1)求实数x的取值范围；‎ ‎(2)求f(x)的最大值和最小值，并求此时x的值．‎ ‎[解]　(1)由32x－4－·3x－1＋9≤0，‎ 得32x－4－10·3x－2＋9≤0，‎ 即(3x－2－1)(3x－2－9)≤0，‎ 所以1≤3x－2≤9,2≤x≤4.‎ ‎(2)因为f(x)＝log2·log＝(log2x－1)(log2x－2)＝(log2x)2－3log2x＋2＝－，‎ 当log2x＝，即x＝2时，f(x)min＝－.‎ 当log2x＝1或log2x＝2，‎ 即x＝2或x＝4时，f(x)max＝0.‎ ‎19．(本小题满分12分)(2018·咸宁模拟)设函数f(x)＝(ax＋b)ex，g(x)＝－x2＋cx＋d，若函数f(x)和g(x)的图像都过点P(0,1)，且在点P处有相同的切线y＝2x＋1.‎ ‎(1)求a，b，c，d的值；‎ ‎(2)当x∈[0，＋∞)时，判断函数h(x)＝f(x)－g(x)的单调性．‎ ‎[解]　(1)f′(x)＝(ax＋a＋b)ex，‎ 所以所以a＝b＝1，‎ g′(x)＝－2x＋c，所以所以c＝2，d＝1.‎ ‎(2)由(1)可知h(x)＝f(x)－g(x)＝(x＋1)ex－(－x2＋2x＋1)＝(x＋1)ex＋x2－2x－1，‎ 所以h′(x)＝(x＋2)ex＋2x－2＝(x＋2)ex＋2x＋4－6＝(x＋2)(ex＋2)－6≥2×3－6＝0，所以h(x)在[0，＋∞)上为增函数．‎ ‎20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a＞0且a≠1)是定义域为R的奇函数．‎ ‎(1)求k的值；‎ ‎(2)若f(1)＜0，试判断函数的单调性，并求使不等式f(x2＋tx)＋f(4－x)＜0恒成立的t的取值范围；‎ ‎(3)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－2mf(x)在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m的值. ‎ ‎【导学号：79140409】‎ ‎[解]　(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，所以k＝2.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)．‎ 因为f(1)＜0，所以a－＜0，‎ 又a＞0且a≠1，所以0＜a＜1，‎ 所以y＝ax在R上单调递减，y＝a－x在R上单调递增，‎ 故f(x)＝ax－a－x在R上单调递减．‎ 不等式f(x2＋tx)＋f(4－x)＜0可化为f(x2＋tx)＜f(x－4)，所以x2＋tx＞x－4，‎ 所以x2＋(t－1)x＋4＞0恒成立，‎ 所以Δ＝(t－1)2－16＜0，解得－3＜t＜5.‎ ‎(3)因为f(1)＝，所以a－＝，‎ 即2a2－3a－2＝0，‎ 所以a＝2或a＝－(舍去)．‎ 所以g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)‎ ‎＝(2x－2－x)2－2m(2x－2－x)＋2.‎ 令n＝f(x)＝2x－2－x，‎ 因为f(x)＝2x－2－x为增函数，x≥1，‎ 所以n≥k(1)＝.‎ 令h(n)＝n2－2mn＋2＝(n－m)2＋2－m2.‎ 若m≥时，则当n＝m时，h(n)min＝2－m2＝－2，所以m＝2.‎ 若m＜，则当n＝时，h(n)min＝－3m＝－2，所以m＝＞(舍去)．‎ 综上可知，m＝2.‎ ‎21．(本小题满分12分)(2017·大同模拟)已知函数f(x)＝x－(a＋1)·ln x－(a∈R)，g(x)＝x2＋ex－xex.‎ ‎(1)当x∈[1，e]时，求f(x)的最小值；‎ ‎(2)当a＜1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2,0]，f(x1)＜g(x2)恒成立，求a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，‎ f′(x)＝.‎ ‎①当a≤1时，x∈[1，e]时，f′(x)≥0，‎ f(x)为增函数，f(x)min＝f(1)＝1－a.‎ ‎②当1＜a＜e时，‎ x∈[1，a]时，f′(x)≤0，f(x)为减函数；‎ x∈(a，e]时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．‎ 所以x∈[1，e]时，f(x)min＝f(a)＝a－(a＋1)·ln a－1.‎ ‎③当a≥e时，x∈[1，e]时，f′(x)≤0，‎ f(x)在[1，e]上为减函数．‎ f(x)min＝f(e)＝e－(a＋1)－.‎ 综上，在x∈[1，e]上，当a≤1时，f(x)min＝1－a；‎ 当1＜a＜e时，f(x)min＝a－(a＋1)ln a－1；‎ 当a≥e时，f(x)min＝e－(a＋1)－.‎ ‎(2)由题意知，当a＜1时，f(x)(x∈[e，e2])的最小值小于g(x)(x∈[－2,0])的最小值．‎ 由(1)可知，当a＜1时，f(x)在[e，e2]上单调递增，‎ 则f(x)min＝f(e)＝e－(a＋1)－，‎ 又g′(x)＝(1－ex)x，‎ 当x∈[－2,0]时，g′(x)≤0，g(x)为减函数，g(x)min＝g(0)＝1，‎ 所以e－(a＋1)－＜1，即a＞，‎ 所以a的取值范围为.‎ ‎22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝eax(a∈R)．‎ ‎(1)当a＝－2时，求函数g(x)＝x2f(x)在区间(0，＋∞)内的最大值；‎ ‎(2)若函数h(x)＝－1在区间(0,16)内有两个零点，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)当a＝－2时，函数f(x)＝e－2x，所以函数g(x)＝x2e－2x，‎ 所以g′(x)＝2xe－2x＋x2e－2x·(－2)‎ ‎＝2x(1－x)e－2x，‎ 令g′(x)＝0，解得x＝0或x＝1.‎ 所以当x∈(0,1)时，g′(x)＞0，g(x)是增函数，‎ 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)是减函数，‎ 所以在区间(0，＋∞)内g(x)的最大值是g(1)＝e－2.‎ ‎(2)因为函数h(x)＝－1＝x2e－ax－1，‎ 所以h′(x)＝2xe－ax＋x2(－a)e－ax ‎＝e－ax(－ax2＋2x)，‎ 令h′(x)＝0，因为e－ax＞0，‎ 所以－ax2＋2x＝0，解得x＝0或x＝(a≠0)．‎ 又h(x)在(0,16)内有两个零点，‎ 所以h(x)在(0,16)内不是单调函数，‎ 所以∈(0,16)，解得a＞.①‎ 又x∈时，h′(x)＞0，h(x)是增函数，‎ x∈时，h′(x)＜0，h(x)是减函数，‎ 所以在(0,16)上h(x)max＝h ‎＝e－2－1.‎ 令e－2－1＞0，解得－＜a＜.②‎ 又即 解得a＞ln 2.③‎ 解①②③组成不等式组，解得ln 2＜a＜.‎ 所以实数a的取值范围是ln 2＜a＜.‎