数学卷·2018届四川省内江市威远中学高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届四川省内江市威远中学高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

2016-2017 学年四川省内江市威远中学高二（上）期中数学试卷 （理科） 　 一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分）在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的 位置. 1．直线的方程为 ，则直线的倾斜角为（　　） A．30° B．60° C．120°D．150° 2．长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，异面直线 AB，A1D1 所成的角等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．下列说法中错误的是（　　） A．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直 B．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 C．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直 D．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这 两个平面相互平行 4．过点（﹣1，3）且垂直于直线 x﹣2y+3=0 的直线方程为（　　） A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0 5．对于平面 α 和共面的直线 m、n，下列命题中正确的是（　　） A．若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α B．若 m∥α，n∥α，则 m∥n C．若 m⊂α，n∥α，则 m∥n D．若 m、n 与 α 所成的角相等，则 m∥n 6．如图所示，正方形 O′A′B′C′的边长为 1，它是水平放置的一个平面图形的直观 图，则原图形的周长是（　　） A．6 B．8 C．2+3 D．2+2 7．已知过点 A（﹣2，m）和 B（m，4）的直线与直线 2x+y﹣1=0 平行，则 m 的 值为（　　） A．0 B．﹣8 C．2 D．10 8．如图所示，是一个正方体的表面展开图，A、B、C 均为棱的中点，D 是顶点， 则在正方体中，异面直线 AB 和 CD 的夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 9．三棱锥 SABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱 SB 的长为（　　） A．4 B． C． D． 10．如图，边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G，已知△ A′DE（A′∉平面 ABC）是△ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形，有下列说法，不正 确的是（　　） A．平面 A′FG⊥平面 ABC B．BC∥平面 A′DE C．三棱锥 A′﹣DEF 的体积最大值为 D．直线 DF 与直线 A′E 有可能异面 11．已知点 A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2）直线 l 过点 P（1，1），且与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是（　　） A． B． C ． D． 12．如图，在长方形 ABCD 中，AB=2，BC=1，E 为 DC 的中点，F 为线段 EC（端 点除外）上一动点，现将△AFD 沿 AF 折起，使平面 ABD⊥平面 ABCF．在平面 ABD 内过点 D 作 DK⊥AB，K 为垂足，设 AK=t，则 t 的取值范围是（　　） A．（ ，2） B．（ ，1） C．（ ，2） D．（ ，1） 　 二、填空题：（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）各题答案必须填写 在答题卡相应的位置上. 13．若三点 A（3，3），B（a，0），C（0，b）（其中 a•b≠0）共线，则 + =　　． 14．已知正三棱锥 P﹣ABC，点 P，A，B，C 都在半径为 的球面上，若 PA， PB，PC 两两相互垂直，则球心到截面 ABC 的距离为　　． 15．过点 P（2，1）作直线 l，与 x 轴，y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，则使 |PA|•|PB|取得最小值时的直线 l 的方程是　　． 16．正四面体 ABCD 的棱长为 1，棱 AB∥平面 α，则正四面体上的所有点在平面 α 内的射影构成的图形面积的取值范围是　　． 　 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤） 17．（10 分）已知直线 l：x+y﹣1=0， （1）若直线 l1 过点（3，2）且 l1∥l，求直线 l1 的方程； （2）若直线 l2 过 l 与直线 2x﹣y+7=0 的交点，且 l2⊥l，求直线 l2 的方程． 18．（12 分）如图（1）所示，在直角梯形 ABCP 中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥ AP，AD=DC=PD=2，E、F、G 分别为线段 PC、PD、BC 的中点，现将△PDC 折起， 使平面 PDC⊥平面 ABCD（图（2））． （1）求证：AP∥平面 EFG； （2）若点 Q 是线段 PB 的中点，求证：PC⊥平面 ADQ． 19．（12 分）一个四棱椎的三视图如图所示： （I）求证：PA⊥BD； （II）在线段 PD 上是否存在一点 Q，使二面角 Q﹣AC﹣D 的平面角为 30°？若存 在，求 的值；若不存在，说明理由． 20．（12 分）已知△ABC 的顶点 A（3，2），∠C 的平分线 CD 所在直线方程为 y﹣1=0，AC 边上的高 BH 所在直线方程为 4x+2y﹣9=0． （1）求顶点 C 的坐标； （2）求△ABC 的面积． 21．（12 分）如图所示，在四棱锥 P﹣ABCD 中，AB⊥平面 PAD，AB∥CD， PD=AD，E 是 PB 的中点，F 是 CD 上的点且 ，PH 为△PAD 中 AD 边上的 高． （1）证明：PH⊥平面 ABCD； （2）若 PH=1， ，FC=1，求三棱锥 E﹣BCF 的体积； （3）证明：EF⊥平面 PAB． 22．（12 分）在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC， ，∠ABC=90°（如 图 1）．把△ABD 沿 BD 翻折，使得二面角 A﹣BD﹣C 的平面角为 θ（如图 2） （1）若 ，求证：CD⊥AB； （2）是否存在适当 θ 的值，使得 AC⊥BD，若存在，求出 θ 的值，若不存在说明 理由； （3）若 ，取 BD 中点 M，BC 中点 N，P、Q 分别为线段 AB 与 DN 上一点， 使得 ．令 PQ 与 BD 和 AN 所成的角分别为 θ1 和 θ2 ．求 sinθ1+sinθ2 的最大值． 　 2016-2017 学年四川省内江市威远中学高二（上）期中数 学试卷（理科） 参考答案与试题解析 　 一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分）在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的 位置. 1．直线的方程为 ，则直线的倾斜角为（　　） A．30° B．60° C．120°D．150° 【考点】确定直线位置的几何要素． 【分析】设直线 的倾斜角为α，则 tanα= ， α∈[0°，180°），即可得出． 【解答】解：设直线 的倾斜角为 α， 则 tanα= ，α∈[0°，180°）， ∴α=30°． 故选 A． 【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题． 　 2．长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，异面直线 AB，A1D1 所成的角等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【考点】异面直线及其所成的角． 【分析】由长方体的特点可得AB 与 AD 所成的角即为异面直线 AB，A1D1 所成的 角，由矩形的性质可求． 【解答】解：∵长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，DA∥A1D1， ∴AB 与 AD 所成的角即为异面直线 AB，A1D1 所成的角， 在矩形 ABCD 中易得 AB 与 AD 所成的角为 90°， 故异面直线 AB，A1D1 所成的角等于 90° 故选：D 【点评】本题考查异面直线所成的角，属基础题． 　 3．下列说法中错误的是（　　） A．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直 B．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 C．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直 D．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这 两个平面相互平行 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】在 A 中，垂直于同一条直线的两条直线相交、平行或异面；在 B 中， 由平行公理得这条直线与这两个平面的交线平行；在 C 中，由面面垂直的判定定 理得这两个平面相互垂直；在 D 中，由面面平行的判定定理得这两个平面相互 平行． 【解答】解：在 A 中，垂直于同一条直线的两条直线相交、平行或异面，故 A 错误； 在 B 中，一条直线平行于两个相交平面，则由平行公理得这条直线与这两个平面 的交线平行，故 B 正确； 在 C 中，若一个平面经过另一个平面的垂线，那么由面面垂直的判定定理得这两 个平面相互垂直，故 C 正确； 在 D 中，若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行， 那么由面面平行的判定定理得这两个平面相互平行，故 D 正确． 故选：A． 【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中 线线、线面、面面间的位置关系的合理运用． 　 4．过点（﹣1，3）且垂直于直线 x﹣2y+3=0 的直线方程为（　　） A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0 【考点】直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系． 【分析】根据题意，易得直线x﹣2y+3=0 的斜率为 ，由直线垂直的斜率关系， 可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程． 【解答】解：根据题意，易得直线 x﹣2y+3=0 的斜率为 ， 由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2， 又知其过点（﹣1，3）， 由点斜式得所求直线方程为 2x+y﹣1=0． 【点评】本题考查直线垂直与斜率的相互关系，注意斜率不存在的特殊情况． 　 5．对于平面 α 和共面的直线 m、n，下列命题中正确的是（　　） A．若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α B．若 m∥α，n∥α，则 m∥n C．若 m⊂α，n∥α，则 m∥n D．若 m、n 与 α 所成的角相等，则 m∥n 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】由线面的位置关系，即可判断A；由线面平行的定义和性质，即可判断 B； 由线面平行的定义和性质，再由 m，n 共面，即可判断 C；由线面角的定义和线 线的位置关系，即可判断 D． 【解答】解：由于直线 m、n 共面， 对于 A．若 m⊥α，m⊥n，则 n⊂α 或 n∥α，故 A 错； 对于 B．若 m∥α，n∥α，则 m，n 相交或平行，故 B 错； 对于 C．若 m⊂α，n∥α，由于 m、n 共面，则 m∥n，故 C 对； 对于 D．若 m、n 与 α 所成的角相等，则 m，n 相交或平行，故 D 错． 故选 C． 【点评】本题考查空间直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，考查空 间想象能力，属于基础题和易错题． 　 6．如图所示，正方形 O′A′B′C′的边长为 1，它是水平放置的一个平面图形的直观 图，则原图形的周长是（　　） A．6 B．8 C．2+3 D．2+2 【考点】平面图形的直观图． 【分析】根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相 应的边长，则问题可求． 【解答】解：作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段 C′B′∥x′轴，所以在 原图形中对应的线段平行于 x 轴且长度不变，点 C′ 和 B′在原图形中对应的点 C 和 B 的纵坐标是 O′B′的 2 倍，则 OB=2 ，所以 OC=3，则四边形 OABC 的长度为 8． 故选 B． 【点评】本题考查了平面图形的直观图，考查了数形结合思想，解答此题的关键 是掌握平面图形的直观图的画法，能正确的画出直观图的原图形． 　 7．已知过点 A（﹣2，m）和 B（m，4）的直线与直线 2x+y﹣1=0 平行，则 m 的 值为（　　） A．0 B．﹣8 C．2 D．10 【考点】斜率的计算公式． 【分析】因为过点 A（﹣2，m）和 B（m，4）的直线与直线 2x+y﹣1=0 平行， 所以，两直线的斜率相等． 【解答】解：∵直线 2x+y﹣1=0 的斜率等于﹣2， ∴过点 A（﹣2，m）和 B（m，4）的直线的斜率 K 也是﹣2， ∴ =﹣2，解得 ， 故选 B． 【点评】本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应 用． 　 8．如图所示，是一个正方体的表面展开图，A、B、C 均为棱的中点，D 是顶点， 则在正方体中，异面直线 AB 和 CD 的夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【考点】异面直线及其所成的角． 【分析】正方体的表面展开图还原成正方体，能求出异面直线 AB 和 CD 的夹角 的余弦值． 【解答】解：正方体的表面展开图还原成正方体，如图， 则异面直线 AB 和 CD 所成角为∠EFG， 设正方体棱长为 2， 在△EFG 中，EF=DC= ，EG= ，FG=2 ， ∴cos∠EFG= = = ． ∴异面直线 AB 和 CD 的夹角的余弦值为 ． 故选：C． 【点评】本题考查异面直线的夹角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审 题，注意正方体的结构特征的合理运用． 　 9．三棱锥 SABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱 SB 的长为（　　） A．4 B． C． D． 【考点】简单空间图形的三视图． 【分析】由已知中的三视图可得 SC⊥平面 ABC，底面△ABC 为等腰三角形， SC=4，△ABC 中 AC=4，AC 边上的高为 2 ，进而根据勾股定理得到答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得 SC⊥平面 ABC， 且底面△ABC 为等腰三角形， 在△ABC 中 AC=4，AC 边上的高为 2 ， 故 BC=4， 在 Rt△SBC 中，由 SC=4， 可得 SB=4 ， 故选 A． 【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分 析出几何体的形状及棱长是解答的关键． 　 10．如图，边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G，已知△ A′DE（A′∉平面 ABC）是△ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形，有下列说法，不正 确的是（　　） A．平面 A′FG⊥平面 ABC B．BC∥平面 A′DE C．三棱锥 A′﹣DEF 的体积最大值为 D．直线 DF 与直线 A′E 有可能异面 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】在 A 中，推导出 DE⊥GA′，DE⊥GF，从而面 A′FG⊥面 ABC；在 B 中， 由 BC∥DE，得 BC∥平面 A′DE；在 C 中，当面 A′DE⊥面 ABC 时，三棱锥 A′﹣DEF 的体积取最大值 a3；在 D 中，在旋转过程中 DF 与直线 A′E 始终异面． 【解答】解：在 A 中，由已知可得四边形 ABCD 是菱形， 则 DE⊥GA′，DE⊥GF， ∴DE⊥平面 A′FG，∴面 A′FG⊥面 ABC，在 A 正确； 在 B 中，∵BC∥DE，∴BC∥平面 A′DE，故 B 正确； 在 C 中，当面 A′DE⊥面 ABC 时，三棱锥 A′﹣DEF 的体积达到最大， 最大值为 × × a2× a= a3，故 C 正确； 在 D 中，在旋转过程中 DF 与直线 A′E 始终异面，故 D 不正确． 故选：D． 【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思 维能力的培养． 　 11．已知点 A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2）直线 l 过点 P（1，1），且与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是（　　） A ． B． C ． D． 【考点】直线的斜率． 【分析】画出图形，由题意得所求直线 l 的斜率 k 满足 k≥kPB 或 k≤kPA，用直 线的斜率公式求出 kPB 和 kPA 的值，求出直线 l 的斜率 k 的取值范围． 【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线 l 的斜率 k 满足 k≥kPB 或 k≤kPA， 即 k≥ = ，或 k≤ =﹣4，∴k≥ ，或 k≤﹣4， 即直线的斜率的取值范围是 k≥ 或 k≤﹣4． 故选：A． 【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想，解题的 关键是利用了数形结合的思想，解题过程较为直观，本题类似的题目比较多．可 以移动一个点的坐标，变式出其他的题目． 　 12．如图，在长方形 ABCD 中，AB=2，BC=1，E 为 DC 的中点，F 为线段 EC（端 点除外）上一动点，现将△AFD 沿 AF 折起，使平面 ABD⊥平面 ABCF．在平面 ABD 内过点 D 作 DK⊥AB，K 为垂足，设 AK=t，则 t 的取值范围是（　　） A．（ ，2） B．（ ，1） C．（ ，2） D．（ ，1） 【考点】平面与平面垂直的性质． 【分析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于 F 位于 DC 的中点时，可得 t=1，随着 F 点到 C 点时，当 C 与 F 无限接近，不妨令二者重合，此时有 CD=2， 由此能求出 t 的取值的范围． 【解答】解：此题的破解可采用二个极端位置法，即对于 F 位于 DC 的中点时， 可得 t=1， 随着 F 点到 C 点时，当 C 与 F 无限接近，不妨令二者重合，此时有 CD=2 ∵CB⊥AB，CB⊥DK， ∴CB⊥平面 ADB，即有 CB⊥BD， 对于 CD=2，BC=1，在直角三角形 CBD 中，得 BD= ， 又 AD=1，AB=2，再由勾股定理可得∠BDA 是直角，∴AD⊥BD 再由 DK⊥AB，可得三角形 ADB 和三角形 AKD 相似，可得 t= ， ∴t 的取值的范围是（ ，1） 故选：B． 【点评】本题考查线段长的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注 意特殊值法的合理运用． 　 二、填空题：（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）各题答案必须填写 在答题卡相应的位置上. 13．若三点 A（3，3），B（a，0），C（0，b）（其中 a•b≠0）共线，则 + =　 　． 【考点】三点共线． 【分析】利用向量的坐标公式：终点坐标减去始点坐标，求出向量的坐标；据三 点共线则它们确定的向量共线，利用向量共线的充要条件列出方程得到 a，b 的 关系． 【解答】解：∵点 A（3，3）、B（a，0）、C（0，b）（ab≠0） ∴ =（a﹣3，﹣3）， =（﹣3，b﹣3）， ∵点 A（3，3）、B（a，0）、C（0，b）（ab≠0）共线 ∴ ∴（a﹣3）×（b﹣3）=﹣3×（﹣3） 所以 ab﹣3a﹣3b=0， ∴ + = ， 故答案为： ． 【点评】本题考查利用点的坐标求向量的坐标、向量共线的充要条件、向量共线 与三点共线的关系． 　 14．已知正三棱锥 P﹣ABC，点 P，A，B，C 都在半径为 的球面上，若 PA， PB，PC 两两相互垂直，则球心到截面 ABC 的距离为　 　． 【考点】球的体积和表面积． 【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体 问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法 可实现此计算． 【解答】解：∵正三棱锥 P﹣ABC，PA，PB，PC 两两垂直， ∴此正三棱锥的外接球即以 PA，PB，PC 为三边的正方体的外接球 O， ∵球 O 的半径为 ， ∴正方体的边长为 ，即 PA=PB=PC= ， 球心到截面 ABC 的距离即正方体中心到截面 ABC 的距离， 设 P 到截面 ABC 的距离为 h，则正三棱锥 P﹣ABC 的体积 V= S△ABC×h= ， △ABC 为边长为 的正三角形，S △ ABC= ×（ ） 2= ， ∴h= ， ∴球心（即正方体中心）O 到截面 ABC 的距离为 ． 故答案为 ． 【点评】本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱 的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中 档题． 　 15．过点 P（2，1）作直线 l，与 x 轴，y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，则使 |PA|•|PB|取得最小值时的直线 l 的方程是　x+y﹣3=0　． 【考点】直线的一般式方程． 【分析】设直线l 的点斜式方程，求出 A，B 两点的坐标，代入|PA|•|PB|的解析 式，使用基本不等式，求出最小值，注意检验等号成立条件． 【解答】解：设直线 l：y﹣1=k（x﹣2），分别令 y=0，x=0， 得 A（2﹣ ，0），B（0，1﹣2k）． 则 |PA|•|PB|= = ， 当且仅当 k2=1，即 k=±1 时，|PA|•|PB|取最小值， 又∵k＜0， ∴k=﹣1， 这时 l 的方程为 x+y﹣3=0． 故答案为：x+y﹣3=0． 【点评】本题考查了直线的点斜式方程，以及基本不等式的应用． 　 16．正四面体 ABCD 的棱长为 1，棱 AB∥平面 α，则正四面体上的所有点在平面 α 内的射影构成的图形面积的取值范围是　 　． 【考点】平行投影及平行投影作图法． 【分析】首先想象一下，当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么 转动，投影的三角形的一个边始终是 AB 的投影，长度是 1，而发生变化的是投 影的高，体会高的变化，得到结果． 【解答】解：因为正四面体的对角线互相垂直，且棱 AB∥平面 α， 当 CD∥平面 α，这时的投影面是对角线为 1 的正方形， 此时面积最大，是 2× ×1× = 当 CD⊥平面 α 时，射影面的面积最小， 此时构成的三角形底边是 1，高是直线 CD 到 AB 的距离，为 ，射影面的面 积是 ， 故答案为：[ ] 【点评】本题考查平行投影及平行投影作图法，本题是一个计算投影面积的题目， 注意解题过程中的投影图的变化情况，本题是一个中档题． 　 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤） 17．（10 分）（2015 秋•郴州校级期末）已知直线 l：x+y﹣1=0， （1）若直线 l1 过点（3，2）且 l1∥l，求直线 l1 的方程； （2）若直线 l2 过 l 与直线 2x﹣y+7=0 的交点，且 l2⊥l，求直线 l2 的方程． 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行 关系． 【分析】（1）由题意和平行关系设直线 l1 的方程为 x+y+m=0，代点可得 m 的方 程，解得 m 值可得直线 l1 的方程； （2）解方程组 可得交点坐标，由垂直关系可得直线斜率， 可得直线方程． 【解答】解：（1）由题意和平行关系设直线 l1 的方程为 x+y+m=0， ∵直线 l1 过点（3，2），∴3+2+m=0， 解得 m=﹣5，直线 l1 的方程为 x+y﹣5=0； （2）解方程组 可得 ， ∴直线 l 与直线 2x﹣y+7=0 的交点为（﹣2，3） ∵l2⊥l，∴直线 l2 的斜率 k=1， ∴直线方程为 x﹣y+5=0 【点评】本题考查直线的一般式方程和平行垂直关系，属基础题． 　 18．（12 分）（2016 秋•威远县校级期中）如图（1）所示，在直角梯形 ABCP 中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E、F、G 分别为线段 PC、PD、BC 的中点，现将△PDC 折起，使平面 PDC⊥平面 ABCD（图（2））． （1）求证：AP∥平面 EFG； （2）若点 Q 是线段 PB 的中点，求证：PC⊥平面 ADQ． 【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）由条件可得 EF∥CD∥AB，利用直线和平面平行的判定定理证得 EF∥ 平面 PAB．同理可证，EG∥平面 PAB，可得平面 EFG∥平面 PAB．再利用两个平 面平行的性质可得 AP∥平面 EFG． （2）由条件可得 DA、DP、DC 互相垂直，故 AD⊥平面 PCD，AD⊥PC．再由 EQ 平行且等于 BC 可得 EQ 平行且等于 AD，故 ADEQ 为梯形．再根据 DE 为等 腰直角三角形 PCD 斜边上的中线，可得 DE⊥PC．再利用直线和平面垂直的判定 定理证得 PC⊥平面 ADQ． 【解答】解：（1）证明：E、F、G 分别为线段 PC、PD、BC 的中点， 可得 EF∥CD∥AB． 由于 AB⊂平面 PAB，EF 不在平面 PAB 内，故有 EF∥平面 PAB． 同理可证，EG∥平面 PAB． 由于 EF、EG 是平面 EFG 内的两条相交直线， 故有平面 EFG∥平面 PAB． 而 PA⊂平面 PAB，∴AP∥平面 EFG． （2）由条件可得，CD⊥AD，CD⊥PD， 而 PD、AD 是两条相交直线，故 CD⊥平面 PAD， ∴∠PDA 为二面角 PCD﹣CD﹣ABCD 的平面角． 再由平面 PCD⊥平面 ABCD，可得 PD⊥AD，故 DA、DP、DC 互相垂直，故 AD⊥ 平面 PCD， 而 PC⊂平面 PCD，故有 AD⊥PC． ∵点 Q 是线段 PB 的中点，∴EQ 平行且等于 BC，∴EQ 平行且等于 AD，故 四边形 ADEQ 为梯形． 再由 AD=DC=PD=2，可得 DE 为等腰直角三角形 PCD 斜边上的中线，∴DE⊥ PC． 这样，PC 垂直于平面 ADQ 中的两条相交直线 AD、DE，∴PC⊥平面 ADQ． 【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定定理 的应用，属于中档题． 　 19．（12 分）（2012•湖北模拟）一个四棱椎的三视图如图所示： （I）求证：PA⊥BD； （II）在线段 PD 上是否存在一点 Q，使二面角 Q﹣AC﹣D 的平面角为 30°？若存 在，求 的值；若不存在，说明理由． 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合 题． 【分析】（I）由三视图，可知四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角 形，所以该四棱锥是一个正四棱锥．作出它的直观图，根据线面垂直的判定与性 质，可证出 PA⊥BD； （2）假设存在点 Q，使二面角 Q﹣AC﹣D 的平面角为 30°，由 AC⊥平面 PBD 可 得∠DOQ 为二面角 Q﹣AC﹣D 的平面角，可证出在 Rt△PDO 中，OQ⊥PD，且∠ PDO=60°，结合三角函数的计算可得 = ． 【解答】解：（I）由三视图，可知四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰 三角形 ∴ 四 棱 锥 P﹣ABCD 为 正 四 棱 锥 ， 底 面 ABCD 为 边 长 为 2 的 正 方 形 ， 且 PA=PB=PC=PD， 连接 AC、BD 交于点 O，连接 PO． … ∵PO⊥平面 ABCD，BD⊆平面 ABCD，∴BD⊥PO， 又∵BD⊥AC，PO、AC 是平面 PAC 内的相交直线 ∴BD⊥平面 PAC， 结合 PA⊆平面 PAC，得 BD⊥PA．… （II）假设存在点 Q，使二面角 Q﹣AC﹣D 的平面角为 30° ∵AC⊥BD，AC⊥PO，BD、PO 是平面 PBD 内的相交直线 ∴AC⊥平面 PBD ∴AC⊥OQ，可得∠DOQ 为二面角 Q﹣AC﹣D 的平面角，…（8 分） 由三视图可知，BC=2，PA= =2 ， 在 Rt△POD 中，PD=2 ，OD= ，则∠PDO=60°， 在△DQO 中，∠PDO=60°，且∠QOD=30°．所以 DP⊥OQ．…（10 分） 结合 OD= ，得 QD=ODcos60°= ．可得 = = ． 因此存在 PD 上点 Q，当 DQ= PD 时，二面角 Q﹣AC﹣D 的平面角为 30°…（12 分） 【点评】本题给出四棱锥的三视图，要求将其还原成直观图并探索二面角的大小， 着重考查了线面垂直的判定与性质和对三视图的理解等知识，属于中档题． 　 20．（12 分）（2013 秋•台州期末）已知△ABC 的顶点 A（3，2），∠C 的平分 线 CD 所在直线方程为 y﹣1=0，AC 边上的高 BH 所在直线方程为 4x+2y﹣9=0． （1）求顶点 C 的坐标； （2）求△ABC 的面积． 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行 关系． 【分析】（1）由高 BH 所在直线方程为 4x+2y﹣9=0，可得 kBH．由于直线 AC⊥ BH，可得 kAC•kBH=﹣1．即可得到 kAC，进而得到直线 AC 的方程，与 CD 方程联立 即可得出点 C 的坐标； （2）求出直线 BC 的方程，进而得到点 B 的坐标，利用点到直线的距离公式可 得点 B 到直线 AC 的距离，利用两点间的距离公式可得|AC|，利用三角形的面积 计算公式可得 ． 【解答】解：（1）由高 BH 所在直线方程为 4x+2y﹣9=0，∴ =﹣2． ∵直线 AC⊥BH，∴kAC•kBH=﹣1． ∴ ， 直线 AC 的方程为 ， 联立 ∴点 C 的坐标 C（1，1）． （2） ， ∴直线 BC 的方程为 ， 联立 ，即 ． 点 B 到直线 AC：x﹣2y+1=0 的距离为 ． 又 ， ∴ ． 【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、角平分线的性质、点到直 线的距离公式、两点间的距离公式、三角形的面积计算公式，属于基础题． 　 21．（12 分）（2012•广东）如图所示，在四棱锥 P﹣ABCD 中，AB⊥平面 PAD， AB∥CD，PD=AD，E 是 PB 的中点，F 是 CD 上的点且 ，PH 为△PAD 中 AD 边上的高． （1）证明：PH⊥平面 ABCD； （2）若 PH=1， ，FC=1，求三棱锥 E﹣BCF 的体积； （3）证明：EF⊥平面 PAB． 【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】（1）因为 AB⊥平面 PAD，所以 PH⊥AB，因为 PH 为△PAD 中 AD 边上 的高，所以 PH⊥AD，由此能够证明 PH⊥平面 ABCD． （2）连接 BH，取 BH 中点 G，连接 EG，因为 E 是 PB 的中点，所以 EG∥PH，因 为 PH⊥平面 ABCD，所以 EG⊥平面 ABCD，由此能够求出三棱锥 E﹣BCF 的体 积． （3）取 PA 中点 M，连接 MD，ME，因为 E 是 PB 的中点，所以 ，因为 ME ，所以 ME DF，故四边形 MEDF 是平行四 边形．由此能够证明 EF⊥平面 PAB． 【解答】解：（1）证明：∵AB⊥平面 PAD， ∴PH⊥AB， ∵PH 为△PAD 中 AD 边上的高， ∴PH⊥AD， ∵AB∩AD=A， ∴PH⊥平面 ABCD． （2）如图，连接 BH，取 BH 中点 G，连接 EG， ∵E 是 PB 的中点， ∴EG∥PH， ∵PH⊥平面 ABCD， ∴EG⊥平面 ABCD， 则 ， ∴ = （3）证明：如图，取 PA 中点 M，连接 MD，ME， ∵E 是 PB 的中点， ∴ME ， ∵ ， ∴ME DF， ∴四边形 MEDF 是平行四边形， ∴EF∥MD， ∵PD=AD，∴MD⊥PA， ∵AB⊥平面 PAD，∴MD⊥AB， ∵PA∩AB=A，∴MD⊥平面 PAB， ∴EF⊥平面 PAB． 【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，求三棱锥的体积，解题时要认真审题， 注意合理地化立体几何问题为平面几何问题． 　 22．（12 分）（2016 秋•威远县校级期中）在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC， ，∠ABC=90°（如图 1）．把△ABD 沿 BD 翻折， 使得二面角 A﹣BD﹣C 的平面角为 θ（如图 2） （1）若 ，求证：CD⊥AB； （2）是否存在适当 θ 的值，使得 AC⊥BD，若存在，求出 θ 的值，若不存在说明 理由； （3）若 ，取 BD 中点 M，BC 中点 N，P、Q 分别为线段 AB 与 DN 上一点，使得 ．令 PQ 与 BD 和 AN 所成的 角分别为 θ1 和 θ2．求 sinθ1+sinθ2 的最大值． 【考点】与二面角有关的立体几何综合题． 【分析】（1）先证明 CD⊥BD，利用平面 ABD⊥平面 BCD，可得 CD⊥平面 ABD， 利用线面垂直的性质可得 CD⊥AB； （2）不存在．由 AC⊥BD，CD⊥BD，AC∩CD=C，可得 BD⊥平面 ACD，BD⊥AD， 与∠ABC=90°矛盾； （3）BN 线段取点 R 使得 ，从而 易得 PR∥AN 且 RQ∥BDA，θ1=∠PQR，θ2=∠QPR，确定 θ1+θ2，利用基本不等式， 即可求 sinθ1+sinθ2 的最大值． 【解答】（1）证明：由已知条件可得 BD=2，CD=2，CD⊥BD． ∵平面 ABD⊥平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD=BD， ∴CD⊥平面 ABD．… 又∵AB⊂平面 ABD，∴CD⊥AB．… （2）解：不存在． ∵AC⊥BD，CD⊥BD，AC∩CD=C， ∴BD⊥平面 ACD， ∵AD⊂平面 ACD， ∴BD⊥AD，与∠ABC=90°矛盾， 故不存在； （3）解：在 BN 线段取点 R 使得 从而易得 PR∥AN 且 RQ∥BDA，θ1=∠PQR，θ2=∠QPR 另一方面，AM⊥BD，MN⊥BD，从而 θ=∠AMN． ∵AM⊥BD，MN⊥BD，AM∩MN=M， ∴BD⊥AN， ∵PR∥AN，RQ∥BD， ∴∠PRQ= ， 从 而 有 ， ∴ 当且仅当 sinθ1=sinθ2，即 θ1=θ2 时取得最大值．…（14 分） 【点评】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识，考 查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．