数学（理）卷·2018届湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）高二下学期期中联考（2017-04）

数学（理）卷·2018届湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）高二下学期期中联考（2017-04）

‎ 2016—2017学年下学期高二期中考试 数学理科试题 时间：120分钟 主命题教师：宜城一中 ‎ ‎ 分值：150分 副命题教师：襄州一中 ‎ ‎★祝考试顺利★‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1、命题“”的否定是（ ）‎ A、 B、‎ C、 D、‎ ‎2、若两个不同平面、的法向量分别为，则（ ）[]‎ A、、相交但不垂直 B、⊥ ‎ C、∥ D、以上均不正确 ‎3、双曲线的右焦点坐标为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎4、已知向量分别是直线和平面的方向向量和法向量，若与夹角的余弦等于，则与所成的角为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎5、下列命题中正确的是（ ）‎ A、“”是“”的必要不充分条件 B、“P且Q”为假，则P假且 Q假 C、命题“恒成立”是真命题，则实数的取值范围是 D、命题“若，则”的否命题为“若，则”‎ ‎6、已知椭圆以及椭圆内一点，则以P为中点的弦所在直线斜率为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎7、已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是OA、CB的中点，点G在线段MN上，且使MG=3GN，用向量表示向量，则（ ）‎ A、 B、‎ C、 D、‎ ‎8、过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线交椭圆于两点，为椭圆的左焦点，‎ ‎ 若为正三角形，则椭圆的离心率为（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、 ‎ 9、 分别是双曲线 的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右 ‎ ‎ 两支分别交于A,B两点，若是等边三角形， 则该双曲线的虚轴长为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎10、在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，。若分别是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A、 B、 ‎ C、 D、‎ ‎11、已知抛物线的焦点是F，过点F的直线与抛物线C相交于P、Q两点，且点Q在第一象限，若，则直线PQ的斜率是（ ）‎ A、 B、1 C、 D、‎ ‎12、已知椭圆的左、右焦点分别为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于直线于点，线段的垂直平分线与的交点的轨迹为曲线 ‎，若点是上任意的一点，定点，，则的最小值为（ ）‎ A、 6 B、 C、 4 D、 5‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸上）‎ ‎13、抛物线的焦点坐标为 。‎ ‎14、已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 。‎ ‎15、在平行六面体中，，，，‎ ‎ 60°，则的长为 。‎ ‎16、已知直线与抛物线交于两点，为坐标原点，且,于点，点的坐标为，则 。‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）‎ ‎17、（本小题满分10分）‎ 命题：方程表示焦点在轴上的双曲线。‎ 命题：直线与抛物线有公共点。‎ 若“”为真，求实数的取值范围。‎ ‎18、（本小题满分12分）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的一个顶点坐标为，其离心率为 ‎ 求椭圆的标准方程；[]‎ ‎ 椭圆上一点P满足,其中为椭圆的左右焦点，‎ ‎ 求的面积。‎ ‎19、（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体中 ， 分别是 棱上的动点。‎ ‎ （1）当时，求证⊥；‎ ‎ （2）若分别为的中点，求直线与 ‎ 平面所成角的正弦值。‎ ‎20、（本小题满分12分）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当 为圆与轴交点时，与重合，动点满足；‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）抛物线的顶点在坐标原点，并以曲线在轴正半轴上的顶点为焦点，直线与抛物线交于、两点，求线段的长。‎ ‎21、（本小题满分12分）在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，∥，，是的中点。‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎ （2）若，求二面角的余弦值。‎ ‎ ‎ ‎22、（本小题满分12分）动点P满足 ‎（1）求动点P的轨迹的方程；‎ ‎（2）设直线与曲线交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面 积的最大值。‎ ‎ ‎ 曾都一中 枣阳一中 宜城一中 襄州一中 ‎ ‎ 2016—2017学年下学期高二期中考试 数学参考答案 一、选择题 1-6 CBABCB 7-12 DBABDD 二、填.1空题 13、 14、 15、 16、‎ 三、解答题 ‎17、解：真，则，，得 ………………………2分 ‎ 真，则方程组有解，消去得 ，即 ‎ 得 ………………………………4分 ‎ “”为真，则真或真，所以 ………………………………6分 ‎ 或 ………………………………8分[学科]‎ ‎ 即 ………………………………10分 18、 ‎（1）设椭圆的标准方程为，‎ ‎ 椭圆的一个顶点为（0,1）则=1， ……………2分[]‎ ‎ 解得 ……………4分 ‎ 椭圆的标准方程为 …………………6分 ‎ ‎（2）设 ‎ ‎ = ……………8分 ‎ 得， ………………10分 ‎ ………………12分 ‎19、（1）证明：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示 设 ∵ ∴ …………2分 ‎ 又 ‎ ‎∴ …………………………3分 ‎ ∵ …………………………4分 ‎ ∴ ∴ …………………………5分 ‎ （2） ，‎ z ‎ …………………………6分 设平面的法向量为，则 ‎ 取，则，， …………………………8分 又 …………………………9分 设与平面所成的角为，则 ‎ ‎ ………………………11分 即直线与平面所成角的正弦值为 ………………………12分 ‎20、解（1）设，由轴于点，可设 …………1分 由得 ‎ 即 ……………………………………3分 动点在圆上 ‎ ……………………………………4分 ‎ ，即 ……………………………………5分 动点的轨迹的方程为 ………………………………6分 ‎（2）曲线在轴正半轴上的顶点为，由已知可设抛物线方程为 ‎ 焦点坐标为， 即 抛物线的方程为 ………………………………………8分 直线与抛物线交于两点，‎ 方程联立：…………9分 直线经过抛物线焦点 ‎ ……………………12分 ‎21、解：（1） …………1分 作与点，则 ‎ ‎ ‎ ………………2分 ‎ ‎ ‎ ‎ …………………3分 平面 …………4分 且平面，平面 平面 …………………………5分 平面 平面平面 ………………6分 ‎ （2）由（1）可以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图 ‎ ‎ 是中点 ‎ 设平面的法向量为则 ‎ 取，则 …………8分 由（1）知平面的法向量为 …………………………9分 ‎ ………………………………11分 二面角的余弦值为 ………………………………12分 另解：可证为二面角的平面角，求出便可 22、 解：（1）由已知得，点P到点与的距离之和等于 ‎ 且，所以动点P的轨迹是以为焦点的椭圆 ……………2分 ‎ ‎ 设椭圆的标准方程为 ‎ 则 ‎ 即 ‎ ‎ 动点P的轨迹C的方程为 …………………4分 ‎（2）设直线的方程为，原点到直线的距离为，即 化简得，即 …………………………5分 将直线与椭圆C方程联立得 ‎ 化简得 ‎ ‎ ‎ ………………………… 6分 ‎………………………… 8分 将代入得 ‎ ………………………… 9分 ‎ 令 ‎ ‎ ……… 10分 ‎ 当，即时，最大 ， 的最大值为 ……………………12分