吉林省延边朝鲜族自治州延吉市第二中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

吉林省延边朝鲜族自治州延吉市第二中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

延边第二中学2019—2020学年度第一学期 期中考试高二年级数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确）‎ ‎1.命题“”的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用全称命题的否定方法求解，改变量词，否定结论.‎ ‎【详解】因为的否定为，‎ 所以选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，一般处理策略是：先改变量词，然后否定结论.‎ ‎2.下列有关命题的说法正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的否命题为：“若则”‎ B. 为假命题，则均为假命题 C. 命题“若成等比数列，则”的逆命题为真命题 D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据命题之间的关系逐个判断即可.‎ ‎【详解】对A, 命题“若,则”的否命题为：“若则”,故A错误 对B, 为假命题,则至少有一个假命题,故B错误.‎ 对C,命题“若成等比数列,则”的逆命题为“若,则成等比数列”,若均为0则不成等比数列,故C错误.‎ 对D, 命题“若,则”为真命题,所以它的逆否命题也为真,故D正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查四个命题之间的关系与真假命题的判断,属于基础题型.‎ ‎3.等差数列中，若，，则等于（ ）‎ A. 45 B. 75 C. 50 D. 60‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：‎ 详解：根据等差数列中等差中项的性质 因为 ‎ 所以 所以选C 点睛：本题考查了等差数列中等差中项性质的应用，是简单题。在数列中，应用等差中项或等比中项能使化简、求值更加简便、快捷。‎ ‎4.若x，y满足 则x + 2y的最大值为 A. 1 B. 3‎ C. 5 D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：如图，画出可行域，‎ 表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求．常见的目标函数类型有：（1）截距型：形如.求这类目标函数的最值时常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如；（3）斜率型：形如，而本题属于截距形式.‎ ‎5.两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质前项和的性质进行求解即可.‎ ‎【详解】因为等差数列和,所以,又,,‎ 故令有,即,所以 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的等和性质：‎ 若是等差数列,且,则 与等差数列前项和的性质 ‎6.对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是(　　)‎ A. (1,3) B. (－∞，1)∪(3，＋∞)‎ C. (1,2) D. (－∞，1)∪(2，＋∞)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设函数F（a）＝（x﹣2）a+x2﹣4x+4，由题意列出不等式组，解不等式组可得结果．‎ ‎【详解】设函数F（a）＝x2+（a﹣4）x+4﹣2a ‎＝（x﹣2）a+x2﹣4x+4，可看作关于a的一次函数，‎ ‎∵对任意a∈[﹣1，1]，上式值恒大于零，‎ ‎∴只需，‎ 解得x＜1或x＞3‎ 故答案为：B ‎【点睛】本题考查函数不等式的恒成立问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力，变换主元是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎7.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为　(　　)‎ A. 3 B. 2 C. 12 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三元的均值不等式即可求得最小值．‎ ‎【详解】，‎ 当且仅当时等号成立，故选C．‎ ‎【点睛】一般地，如果是正数，那么（当且仅当时等号成立），进一步地，‎ ‎（1）如果（定值），那么有最小值，当且仅当时取最小值；‎ ‎（1）如果（定值），那么有最大值，当且仅当时取最大值．‎ ‎8.若关于x的不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为(　　)‎ A. B. ‎ C. (1，＋∞) D. (－∞，－1)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由x2＋ax－2>0在x∈[1,5]上有解，可得在x∈[1,5]上有解．‎ 又f(x)＝在x∈[1,5]上是减函数，∴()min＝－，只需a>－.‎ 故选A.‎ 点睛：不等式的存在问题即为不等式的有解问题，常用的方法分离变量法，将变量和参数移到不等式的两边，找参数范围即可；‎ ‎9.已知首项为1的等比数列{an}是摆动数列, Sn是{an}的前n项和, 且, 则数列{}的前5项和为（ 　）‎ A. 31 B. C. D. 11‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意知数列公比不为1，则，所以。因为数列为摆动数列则。所以数列是首项为1公比为的等比数列。所以数列前5项和为。‎ 考点：等比数列的前项和。‎ ‎10.如果一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）‎ A. 13项 B. 12项 C. 11项 D. 10项 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：设这个数列有n项，则，因此 即，则，故；‎ 考点：1．等差数列的性质，2．等差数列的前n项和公式；‎ ‎11.数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b7，则有（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. 与的大小不确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，B正确 考点：1．等差数列等比数列性质；2．不等式性质 ‎12.设为等差数列的前项和，.若，则（ ）‎ A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件推导出（n2﹣n）d＜2n2d，从而得到d＞0，所以a7＜0，a8＞0，由此求出数列{Sn}中最小值是S7．‎ ‎【详解】∵（n+1）Sn＜nSn+1，‎ ‎∴Sn＜nSn+1﹣nSn＝nan+1‎ 即na1na1+n2d，‎ 整理得（n2﹣n）d＜2n2d ‎∵n2﹣n﹣2n2＝﹣n2﹣n＜0‎ ‎∴d＞0‎ ‎∵1＜0‎ ‎∴a7＜0，a8＞0‎ 数列的前7项为负，‎ 故数列{Sn}中最小值是S7‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列中前n项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．‎ 二、填空题(每小题4分，共16分)‎ ‎13.若等差数列和等比数列满足，，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题中条件求出、的值，进而求出和的值，由此可得出的值.‎ ‎【详解】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则，‎ 求得，，那么，故答案为：.‎ ‎【考点】等差数列和等比数列 ‎【点睛】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.‎ ‎14.若，求的最小值_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察到,考虑用基本不等式即可.‎ ‎【详解】由题,‎ 又由基本不等式 ,故 即 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式,属于基础题型.‎ ‎15.在数列中，且，，则等于______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得为等差数列,求出通项公式计算即可.‎ ‎【详解】由可得,故为等差数列.‎ 又,设公差为则.‎ 故,所以,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查若数列的判定,本题说明为等差数列.属于中等题型.‎ ‎16.下列命题中 ‎（1）在等差数列中，是的充要条件；‎ ‎（2）已知等比数列为递增数列，且公比为，若，则当且仅当；‎ ‎（3）若数列为递增数列，则的取值范围是；‎ ‎（4）已知数列满足，则数列的通项公式为 ‎（5）若是等比数列的前项的和，且；（其中、是非零常数，），则A+B为零．‎ 其中正确命题是_________（只需写出序号）‎ ‎【答案】(2)(5)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)(4)中可举反例,(3)中用后项减去前项大于0判断.(2) (5)通过公式论证即可证明.‎ ‎【详解】对(1),若为常数列则对任意均有,故(1)错误 对(2),设等比数列通项公式,因为为递增数列,‎ 故恒成立,又,故,故(2)正确. 对(3),因数列为递增数列,所以恒成立,‎ 即,恒成立,当时取最大值-3,故,故(3)错误.‎ 对(4),当时, 不满足,故(4)错误.‎ 对(5), 是等比数列前项的和,设首项为公比为,因为,‎ 故.所以,所以,‎ 所以,故(5)正确.‎ 故答案为：(2)(5)‎ ‎【点睛】本题主要考查等差等比数列的基本性质,包括等和性质与等比数列前项的和的性质等.同时注意推理论证举反例,属于中等题型.‎ 三、解答题（共6题，17、18题每题10分，19-21题每题12分，附加题20分）‎ ‎17.设命题:实数满足；命题：实数满足 ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若,且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）P为真时，，q为真时，，求交集即得解；（2）先求出和，再列出不等式组，即得m的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）由得; ‎ 当时，，即P为真时，‎ 由得，即，即q为真时，‎ 因为为真，则p真q真，所以 ‎ ‎（2）由得；，又，‎ 所以m＜x＜3m,‎ 由得，即；‎ 设，‎ 若的充分不必要条件 则A是B 的真子集，所以即 ‎【点睛】本题主要考查不等式的解法和复合命题的真假的判断，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集包含集合，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1） ；（2）-1 ‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 所以不等式即为，‎ 等价于或或，‎ 即或或，‎ 解得或或，‎ ‎∴， ‎ ‎∴原不等式的解集为．‎ ‎（2）∵不等式的解集包含集合，‎ ‎∴当时，不等式恒成立，‎ 即对恒成立，‎ ‎∴对恒成立，‎ ‎∴对恒成立．‎ 又当时，‎ ‎∴．‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】解含有两个绝对值号的不等式时，常用的方法是利用零点分区间法去掉绝对值号，转化为不等式组求解．解答第二问的关键是将问题转化为不等式恒成立求解，然后通过分离参数再转化为求函数最值的问题处理．‎ ‎19.在中，内角所对的边分别为，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先利用正弦定理边化角，再利用即可得到答案；‎ ‎（2）利用余弦定理和面积公式即可得到答案.‎ ‎【详解】（1），所以，‎ 所以，即 因为，所以，所以，即.‎ ‎（2）因为，所以.‎ 由余弦定理可得，‎ 因为，所以，解得.‎ 故的面积为.‎ ‎【点睛】本题主要考查解三角形的综合应用，意在考查学生的基础知识，转化能力及计算能力，难度不大.‎ ‎20.（1）已知，求函数的最大值；‎ ‎（2）已知 (正实数集)，且，求的最小值；‎ ‎（3）已知，，且，求的最大值．‎ ‎【答案】(1)2；(2)16；(3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将再对进行基本不等式求最值即可. (2)利用,再展开用基本不等式即可. (3)利用在中拼凑出再利用基本不等式即可.‎ ‎【详解】解：(1),,故．‎ ‎．‎ ‎,‎ ‎,‎ 当且仅当,即或 (舍)时,等号成立,‎ 故当时,．‎ ‎(2),,,‎ ‎．‎ 当且仅当,且,即时等号成立,‎ ‎∴当,时,．‎ ‎(3),‎ 当且仅当即,时取最大值,‎ 所以有最大值．‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式的一般方法,注意“一正二定三相等”的基本用法选用合适的基本不等式即可.同时注意常见题型,包括(1)中负变正,(2)中“1的妙用”(3)中拼凑满足基本不等式的形式的方法等.‎ ‎21.已知等差数列的首项，公差，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项．‎ ‎(1) 求数列的通项公式；‎ ‎(2) 设，是否存在，使得对任意的均有总成立？若存在，求出最大的整数；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，且的最大值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意求出等差数列的公差，于是可得通项公式；（2）由（1）得到，然后根据裂项相消法求出，进而通过的单调性得到其最小值，解不等式可得的范围，从而可得所求最大值．‎ ‎【详解】（1）由题意得，‎ 整理得，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴ ‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴‎ ‎． ‎ 又 ‎∴数列单调递增．‎ ‎∴．‎ 假设存在整数满足总成立，‎ 则，解得.‎ 又，‎ ‎∴‎ ‎∴适合条件的的最大值为8．‎ ‎【点睛】（1）求数列的和时，要根据数列通项公式的特点选择相应的方法．用裂项相消法求数列的和时，要注意相消后的结果具有前后对称的特点，即相消后前面剩几项后面就剩几项，前面剩第几项后面就剩第几项．‎ ‎（2）对于数列中的恒成立问题，求解时仍需要转化为数列的最值的问题求解，在解题中往往需要根据数列的单调性求出数列的最值．‎ 附加题（满分20分）‎ ‎22.设数列 满足 ， ；数列的前 项和为 ，且 ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）若 ，求数列 的前 项和 ．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别利用累加法、数列的递推公式得到数列和数列 的通项公式。‎ ‎（2）利用数列求和的错位相减即可得到数列 的前 项和 。‎ ‎【详解】（1） ‎ ‎ ，……， ，‎ 以上 个式子相加得：‎ ‎ ‎ 当 时， ‎ ‎=‎ ‎ ‎ 当 时， ，符合上式，‎ ‎ ‎ ‎（2） ‎ ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎①-②得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】已知 求数列的通项公式时，可采用累加法得到通项公式，通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式（等差等比数列相乘）的前 项和采用错位相减法。‎ ‎ ‎ ‎ ‎