高考数学专题复习:推理与证明(A)

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高考数学专题复习:推理与证明(A)

第二章 推理与证明(A)‎ 一、选择题 ‎1、已知△ABC中,cos A+cos B>0,则必有(  )‎ A.02),q=2-a2+‎4a-2 (a>2),则(  )‎ A.p>q B.p1,a=-,b=-,则正确的结论是(  )‎ A.a>b B.af(cos β) B.f(cos α)f(sin β) D.f(sin α)>f(sin β)‎ ‎12、平面内原有k条直线,它们的交点个数记为f(k),则增加了一条直线后,它们的交点个数最多为(  )‎ A.f(k)+k B.f(k)+1‎ C.f(k)+k+1 D.k·f(k)‎ 二、填空题 ‎13、观察:+<2;+<2;+<2;….对于任意正实数a,b,试写出使+≤2成立的一个条件可以是__________.‎ ‎14、若不等式(-1)na<2+对任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围是________.‎ ‎15、由“等腰三角形的两底角相等,两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是__________________________________________________.‎ ‎16、将“函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]上至少存在一个实数c,使f(c)>‎‎0”‎ 反设,所得命题为“________________________”.‎ 三、解答题 ‎17、等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+,S3=9+3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn;‎ ‎(2)设bn= (n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.‎ ‎18、已知a、b、c是不等正数,且abc=1,‎ 求证:++<++.‎ ‎19、把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间,并判断类比的结论是否成立.‎ ‎(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交,则必和另一条相交;‎ ‎(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线,则这两条直线互相平行.‎ ‎20、已知函数f(x)(x∈R),对于任意x1、x2∈R,等式f(x1)+f(x2)=‎2f()·f()恒成立,但f(x)不恒为0,求证:f(x)是偶函数.‎ ‎21、已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2+(++)2≥6,并确定a,b,c为何值时,等号成立.‎ ‎22、先解答(1),再通过类比解答(2)‎ ‎(1)求证:tan=;‎ ‎(2)设x∈R且f(x+1)=,试问f(x)是周期函数吗?证明你的结论.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、A [由cos A+cos B>0得cos A>-cos B,‎ ‎∴cos A>cos(π-B),∵02),∴p>q.]‎ ‎7、B [前三组数分别求和得1,8,27,即13,23,33,所以猜想第n组数的和为n3.]‎ ‎8、B [∵a=-=,‎ b=-=,又∵c>1,‎ ‎∴+>+>0,‎ ‎∴<.即a0,且a=1,即a3=1.‎ ‎∵S3=7,∴a1+a2+a3=++1=7,‎ 即6q2-q-1=0.‎ 故q=或q=-(舍去),∴a1==4.‎ ‎∴S5==8(1-)=.故选B.]‎ ‎10、A [由图知:三白二黑周而复始相继排列,因36÷5=7余1,所以第36颗应与第1颗珠子的颜色相同,即为白色.]‎ ‎11、C [因为α、β是锐角三角形的两个内角,‎ 所以α+β>,所以>α>-β>0,‎ 所以cos αf(sin β).]‎ ‎12、A [增加一条直线后,最多和原来的k条直线都相交,有k个交点,所以交点个数最多为f(k)+k.]‎ 二、填空题 ‎13、a+b=22‎ 解析 ∵7+15=22,5.5+16.5=22,3-+19+=22,∴猜测a+b=22.‎ ‎14、-2≤a< 解析 当n为偶数时,a<2-,‎ 而2-≥2-=,∴a<.‎ 当n为奇数时,a>-2-,‎ 而-2-<-2,∴a≥-2.‎ 综上可得-2≤a<.‎ ‎15、正棱锥各侧面与底面所成二面角相等,各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等 解析 等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比.‎ ‎16、函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]上恒小于等于0‎ 三、解答题 ‎17、(1)解 由已知得 ‎∴d=2,故an=2n-1+,Sn=n(n+).‎ ‎(2)证明 由(1)得bn==n+.‎ 假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br (p、q、r∈N*且互不相等)成等比数列,则b=bpbr,‎ 即(q+)2=(p+)(r+),‎ ‎∴(q2-pr)+(2q-p-r)=0.‎ ‎∵p、q、r∈N*,∴ ‎∴2=pr,(p-r)2=0,‎ ‎∴p=r,这与p≠r矛盾.‎ ‎∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.‎ ‎18、证明 ∵a、b、c是不等正数,且abc=1,‎ ‎∴++=++ ‎<++ ‎=++.‎ 故++<++.‎ ‎19、解 (1)类比为:如果一个平面和两个平行平面中的一个相交,则必和另一个相交.‎ 结论是正确的:证明如下:‎ 设α∥β,且γ∩α=a,‎ 则必有γ∩β=b,若γ与β不相交,则必有γ∥β,‎ 又α∥β,∴α∥γ,与γ∩α=a矛盾,‎ ‎∴必有γ∩β=b.‎ ‎(2)类比为:如果两个平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面互相平行,结论是错误的,这两个平面也可能相交.‎ ‎20、证明 方法一 (分析法)要证f(x)是偶函数,只需证对于任意x∈R,都有f(-x)=f(x).‎ 由f(x1)+f(x2)=‎2f()·f()‎ 得f(-x)+f(x)=‎2f(0)·f(-x),‎ 欲证f(-x)=f(x),‎ 需先证f(0)=1.‎ 由f(x)不恒为0,即存在一个x0使f(x0)≠0,‎ 从而f(x0)+f(x0)=‎2f(x0)·f(0),‎ 由‎2f(x0)=‎2f(x0)·f(0).‎ 因为f(x0)≠0,所以f(0)=1,命题得证.‎ 方法二 (综合法)设x0∈R,f(x0)≠0,‎ 则f(x0)+f(x0)=‎2f(x0)·f(0),‎ 即‎2f(x0)=‎2f(x0)·f(0).‎ 因为f(x0)≠0,所以f(0)=1.‎ 对于任意x∈R,有f(x)+f(-x)=‎2f(0)·f(x),‎ 所以f(x)+f(-x)=‎2f(x),所以f(-x)=f(x).‎ 因此,函数f(x)为偶函数.‎ ‎21、证明 因为a,b,c均为正数,由基本不等式得 a2+b2≥2ab,‎ b2+c2≥2bc,‎ c2+a2≥‎2ac.‎ 所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac. ①‎ 同理++≥++, ②‎ 故a2+b2+c2+(++)2‎ ‎≥ab+bc+ac+++≥6. ③‎ 所以原不等式成立.‎ 当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时,③式等号成立.‎ 故当且仅当a=b=c=3时,原不等式等号成立.‎ ‎22、(1)证明 tan= ‎=;‎ ‎(2)解 f(x)是以4为一个周期的周期函数.‎ 证明如下:‎ ‎∵f(x+2)=f((x+1)+1)= ‎==-,‎ ‎∴f(x+4)=f((x+2)+2)‎ ‎=-=f(x),‎ ‎∴f(x)是周期函数.‎
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