2018-2019学年四川省遂宁二中高二下学期期末考试模拟数学(理)试题 解析版

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2018-2019学年四川省遂宁二中高二下学期期末考试模拟数学(理)试题 解析版

四川省遂宁二中 2018-2019 学年高二下学期期末考试模拟数 学(理)试题 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分。在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求。) 1.已知是虚数单位,则 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.已知命题 ,则 为 A. B. C. D. 3.设抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 A. B. C. D. 4.某家具厂的原材料费支出 与销售量 (单位:万元)之间有如下数据,根据表中提供的 全部数据,用最小二乘法得出 与 的线性回归方程为 ,则 为 x 2 4 5 6 8 y 25 35 60 55 75 A. 5 B. 10 C. 12 D. 20 5.“ ”是“函数 在 内存在零点”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.观察图中的“品”字形中个数之间的规律,根据观察到的规律得出 a 的值为 A. 75 B. 89 C. 103 D. 139 7 甲、乙、丙三个学生中有一人申请了去新疆支教,当他们被问到谁申请了去新疆支教时,乙 说:甲没有申请;丙说:乙申请了;甲说:乙说对了.如果这三人中有两人说的是真话,一人 说了假话,那么申请去新疆支教的学生是 A.甲 B.乙 C.丙 D.不确定 8.根据党中央关于“精准”脱贫的要求,我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个 贫困地区进行调研,每个地区至少派遣一位专家,其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地 区,则不同的派遣方案种数为 A. 18 B. 24 C. 28 D. 36 9.已知函数 在 上可导且满足 ,则下列一定成立的为 A. B. C. D. 10.若函数 在 上有最大值无最小值,则实数 的取值 范围为( ) A. B. C. D. 11.已知抛物线 上一动点到其准线与到点 M(0,4)的距离之和的 最小值为 ,F 是抛物线的焦点, 是坐标原点,则 的内切圆半径为 A. B. C. D. 12.已知函数 在 处取得极值, 对 任 意 恒 成 立 , 则 A. B. C. D. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13 抛物线 的焦点坐标为 . 14.二项式 的展开式中含 项的系数为____ 15.已知等比数列 是函数 的两个极值点,则 ____ 16.已知椭圆 与双曲线 具有相同的焦点 , , 且在第一象限交于点 ,设椭圆和双曲线的离心率分别为 , ,若 ,则 的最小值为__________. 三、解答题:本大题 6 小题,共 70 分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. 17.设命题 函数 在 单调递增; 命题 方程 表示焦点在 轴上的椭圆. 21 6y x= − 命题“ ”为真命题,“ ”为假命题,求实数 的取值范围. 18.已知二项式 ,其展开式中各项系数和 为 .若抛物线方程为 ,过点 且倾斜角为 的直线与抛物线交于 两点. (1)求展开式中最大的二项式系数(用数字作答). (2)求线段 的长度. (2)若函数 在区间(1,3)上单调递增,求 c 的取值范围. 19.(12 分)已知函数 . (1)若函数 在 x=﹣3 处有极大值,求 c 的值; (2)若函数 在区间(1,3)上单调递增,求 c 的取值范围. 20.大型综艺节目《最强大脑》中,有一个游戏叫做盲拧魔方,就是玩家先观察魔方状态并进 行记忆,记住后蒙住眼睛快速还原魔方,盲拧在外人看来很神奇,其实原理是十分简单的, 要学会盲拧也是很容易的.根据调查显示,是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论, 某兴趣小组随机抽取了 50 名魔方爱好者进行调查,得到的情况如下表所示(表 1): 并邀请这 30 名男生参加盲拧三阶魔方比赛,其完成情况如下表(表 2)所示: 成 功 完 成 时 间(分钟) [0,10) [10,20) [20,30) [30,40] 人数 10 10 5 5 表 2 表 1 (1)将表 1 补充完整,并判断能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为是否喜欢盲拧 与性别有关? (2)根据表 2 中的数据,求这 30 名男生成功完成盲拧的平 均时间(同一组中的数据用该组区间的中点值代替); (3)现从表 2 中成功完成时间在[0,10)内的 10 名男生中任 意抽取 3 人对他们的盲拧情况进行视频记录,记成功完成时 间在[0,10)内的甲、乙、丙 3 人中被抽到的人数为 , 求 的分布列及数学期望 . 附参考公式及数据: ,其中 . 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 喜 欢 盲拧 不喜欢 盲拧 总计 男 22 ▲ 30 女 ▲ 12 ▲ 总计 ▲ ▲ 50 ( )f x ( ) 3 2 21 33f x x cx c x= − − ( )f x ( )f x 21. 已知直线 与抛物线 交于 A,B 两点,O 是坐标原点,F 是抛 物线焦点. 若 ,求 m 与 p 的等量关系; 若 ,且 的面积为 ,求实数 m 的值. 22.已知函数 , . (1)若 在 处的切线与 在 处的切线平行,求实数 的值; (2)若 ,讨论 的单调性; (3)在(2)的条件下,若 ,求证:函数 只有一个零点 ,且 . 遂宁二中高二(下)期末考试数学模拟试题(2)(理科)参考 答案: 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求。) 1.已知是虚数单位,则 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 分子分母同时乘以 ,化简整理,得出,再判断象限。 【详解】 ,在复平面内对应的点为( ),所以位于第一象限。故选 A。 2.已知命题 ,则 为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析:把全称改为特称,大于改为小于等于。 详解: ,故选 C 命题“ ,则 成立”的否定: ,则 成立 命题“ ,则 成立”的否定: ,则 成立 3.设抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析:椭圆的右焦点为 ,抛物线 的焦点坐标为 ,求解 ,再得出准线方程。 详解:椭圆的右焦点为 ,抛物线 的焦点坐标为 ,解得 ,得出准线方程 点睛:抛物线 的焦点坐标为 ,准线方程 4.某家具厂的原材料费支出 与销售量 (单位:万元)之间有如下数据,根据表中提供的全部数据, 用最小二乘法得出 与 的线性回归方程为 ,则 为 x 2 4 5 6 8 y 25 35 60 55 75 A. 5B. 10 C. 12 D. 20 【答案】B 【解析】分析:先求样本中心 ,代入方程求解即可。 详解: , ,代入方程 ,解 得 ,故选 B 点睛:回归直线方程必过样本中心 。 5.“ ”是“函数 在 内存在零点”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 分析:先求函数 在 内存在零点 的解集, ,再用集合的关系判断 充分条件、还是必要条件。 详解:函数 在 内存在零点,则 ,所以 的解集 那么 是 的子集,故充分非必要条件,选 A 6.观察图中的“品”字形中个数之间的规律,根据观察到的规律得出 a 的值为 A. 75 B. 89 C. 103 D. 139 【答案】A 【解析】 观察可得,上边的数为连续的奇数 1,3,5,7,9,11,左边的数为 2 1,22,23,…,所以 b=26=64,又因上边的数与左边的数的和正好等于右边的数,所以 a=11+64=75,故选 B. 7.C 8.根据党中央关于“精准”脱贫的要求,我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区 进行调研,每个地区至少派遣一位专家,其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区,则不同的派遣 方案种数为 A. 18 B. 24 C. 28 D. 36 【答案】D 【解析】 分析:按甲乙两人所派地区的人数分类,再对其他人派遣。 详解:类型 1:设甲、乙两位专家需要派遣的地区有甲乙两人则有 ,另外 3 人派往 2 个地区 , 共有 18 种。 类型 2:设甲、乙两位专家需要派遣的地区有甲乙丙三人则有 ,另外 2 人派往 2 个地区 ,共 有 18 种。 综上一共有 36 种,故选 D 9.已知函数 在 上可导且满足 ,则下列一定成立的为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 易知 在 上恒成立, 在 上单调递减,又 . 本题选择 C 选项. 10.若函数 在 上有最大值无最小值,则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析:函数 在 上有最大值无最小值,则极大值在 之间,一阶导函 数有根在 ,且左侧函数值小于 0,右侧函数值大于 0,列不等式求解 详解:函数 在 上有最大值无最小值,则极大值在 之间,设 的根为 ,极大值点在 处取得则 解得 ,故选 C。 点睛:极值转化为最值的性质: 1、若 上有唯一的极小值,且无极大值,那么极小值为 的最小值; 2、若 上有唯一的极大值,且无极小值,那么极大值为 的最大值; 11.已知抛物线 上一动点到其准线与到点 M(0,4)的距离之和的最小值为 ,F 是抛物线的焦点, 是坐标原点,则 的内切圆半径为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析:通过图像将到准线的距离转化为到焦点的距离,到其准线与到点 M(0,4)的距离之和的 最小值,也即为 最小,当 三点共线时取最小值。 详解:通过图像将到准线的距离转化为到焦点的距离,到其准线与到点 M(0,4)的距离之和的 最小值,也即为 最小,当 三点共线时取最小值。所以 ,解得 ,由内切圆的面积公式 ,解得 。故选 D。 12.已知函数 在 处取得极值,对任意 恒成立,则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析:根据函数 在 处取得极值解得 , 由于 ,对任意 恒成立,则 ,确定 的值。再由三次函数的二阶 导数的几何意义,确定 的对称中心,最后求解。 详解:已知函数 在 处取得极值,故 ,解得 。对任意 恒成立,则 ,对任意 恒 成 立 , 则 所 以 . 所 以 函 数 表 达 式 为 , , , 令 , 解 得 , 由 此 ,由三次函数的性质, 为三次函数的拐点,即为三次函数的对称中心,,所以 , .故选 C。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. ; 14.二项式 的展开式中含 项的系数为____ 【答案】 【解析】 分析:根据二项式定理的通项公式,写出 的系数。 3(0, )2 − 详解: 所以,当 时, 所以系数为 。 15.已知等比数列 是函数 的两个极值点,则 ____ 【答案】 或 【解析】 【分析】 求导后根据 是方程 的两根,由韦达定理,列出两根的关系式,再利用等比 数列的性质求 . 【详解】因为 ,又 是函数 f(x)的两个极值点, 则 是方程 的根, 所以 ,所以解得 或 . 故答案为-2 或 2. 16.已知椭圆 与双曲线 具有相同的焦点 , ,且在 第一象限交于点 ,设椭圆和双曲线的离心率分别为 , ,若 ,则 的最小值 为__________. 【答案】 . 【解析】 分析:通过椭圆与双曲线的定义,用 和 表示出 的长度,根据余弦定理建立 的关系式 ;根据离心率的定义 表示出两个离心率的平方和,利用基本不等式即 可求得最小值。 详解: ,所以解得 在△ 中,根据余弦定理可得 代入得 化简得 而 所以 的最小值为 三、解答题:本大题 6 小题,共 70 分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. 17.设命题 函数 在 单调递增; 命题 方程 表示焦点在 轴上的椭圆. 命题“ ”为真命题,“ ”为假命题,求实数 的取值范围. 【答案】 【解析】 分析:利用真值表判断 、 的真假性 、 为一真一假,分别解 、 为真时的解集,为假时取为真 时的补集。 详解:由于命题 函数 在 单调递增,所以 命题 方程 表示焦点在 轴上的椭圆.所以 命题“ ”为真命题,“ ”为假命题,则 命题一真一假 ① 真 假时: ② : 综上所述: 的取值范围为: 18.已知二项式 ,其展开式中各项系数和为 .若抛物线方程 为 ,过点 且倾斜角为 的 直线与抛物线交于 两点. (1)求展开式中最大的二项式系数(用数字作答). (2)求线段 的长度. 【答案】(1)35(2)4 【解析】 分析:(1)当 n 为奇数时,二项式系数在 时取最大,即在第 4、5 项取最大 (2)各项系数和为 ,求 ,解 ,利用弦长公式求解。 详解:(1)二项式系数分别为 其中 最大.最大为 35 (2)令 ,有 抛物线方程为 过抛物线的焦点 且倾斜角为 ,则直线方程为 , 令 联立: , , 点睛:二项式系数最大项满足以下结论: 当 n 为偶数时,二项式系数在 时取最大,即在第 项取最大。 当 n 为奇数时,二项式系数在 时取最大,即在第 或 项取最大。 联 立 直 线 与 椭 圆 方 程 根 据 韦 达 定 理 列 出 , 的 关 系 式 , 利 用 弦 长 公 式 。 19.已知函数 . (1)若函数 在 x=﹣3 处有极大值,求 c 的值; (2)若函数 在区间(1,3)上单调递增,求 c 的取值范围. 19.【分析】(1)求出函数的导数,根据函数的极值点,求出 c 的值,检验即可; (2)根据函数的单调性得到关于 c 的不等式组,解出即可. 【解答】解: , ∵ 在 处有极大值,∴ , 解得:c=3 或﹣1, ①当 c=3 时, , 或 时, , 递增, 时, , 递减∴ 在 处有极大值,符合题意; ②当 时, , 或 时, , 递增, 时, , 递减,∴ 在 处有极大值,符合题意, 综上,c=3 或 c=﹣1; ( ) 3 2 21 33f x x cx c x= − − ( )f x ( )f x ( ) ( )( )' 3f x x c x c= − + ( )f x 3x = − ( )' 3 0f − = ( ) ( )( )' 9 3f x x x= − + 9x > 3x < − ( )' 0f x > ( )f x 3 9x− < < ( )' 0f x < ( )f x ( )f x 3x = − 1c = − ( ) ( )( )' 3 1f x x x= + − 1x > 3x < − ( )' 0f x > ( )f x 3 1x− < < ( )' 0f x < ( )f x ( )f x 3x = − (2)∵ 在(1,3)递增,∴c=0 或 或 或 或 , 解得: ,∴c 的范围是 . 20.大型综艺节目《最强大脑》中,有一个游戏叫做盲拧魔方,就是玩家先观察魔方状态并进行记 忆,记住后蒙住眼睛快速还原魔方,盲拧在外人看来很神奇,其实原理是十分简单的,要学会盲拧 也是很容易的.根据调查显示,是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论,某兴趣小组随机 抽取了 50 名魔方爱好者进行调查,得到的情况如下表所示: 喜欢盲拧 不喜欢盲拧 总计 男 22 ▲ 30 女 ▲ 12 ▲ 总计 ▲ ▲ 50 表 1 并邀请这 30 名男生参加盲拧三阶魔方比赛,其完成情况如下表所示: 成功完成时间(分 钟) [0,10) [10,20) [20,30) [30,40] 人数 10 10 5 5 表 2 (1)将表 1 补充完整,并判断能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为是否喜欢盲拧与性 别有关? (2)根据表 2 中的数据,求这 30 名男生成功完成盲拧的平均时间(同一组中的数据用该组区间的 中点值代替); (3)现从表 2 中成功完成时间在[0,10)内的 10 名男生中任意抽取 3 人对他们的盲拧情况进行视 频记录,记成功完成时间在[0,10)内的甲、乙、丙 3 人中被抽到的人数为 ,求 的分 布列及数学期望 . 附参考公式及数据: ,其中 . 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 分析:根据题意完善表格,由卡方公式得出结论。 (2)根据题意,平均时间为 计算即可 ( )f x 0 3 3 c c <  ≥ 1c− < 0 3 c c > − ≥ 3 1c < 11 3c− ≤ ≤ 11, 3  −   (3)由题意,满足超几何分布,由超几何分布计算概率,数学期望 详解:(1)依题意,补充完整的表 1 如下: 喜欢盲拧 不喜欢盲拧 总计 男 22 8 30 女 8 12 20 总计 30 20 50 由表中数据计算得 的观测值为 所以能在犯错误的概率不超过 的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关。 (2)依题意,所求平均时间为 (分钟) (3)依题意,X 的可能取值为 0,1,2,3,故 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 故 21. 已知直线 与抛物线 交于 A,B 两点,O 是坐标原点,F 是抛物线焦 点. 若 ,求 m 与 p 的等量关系; 若 ,且 的面积为 ,求实数 m 的值. 【答案】解: 设 , , 联立 , 消去 x 得: , 所以 , 且 , , 所以 , 又 ,所以 , 解得 ,或 舍去, 则 m 与 p 的等量关系为: ; 分 把 代入 及 ,解得 , 记直线与 x 轴交点为 ,而 , 所以 的面积为 把 代入得 , 所以 ,解得 或 舍, 所以,实数 m 的值为 分 22.已知函数 , . (1)若 在 处的切线与 在 处的切线平行,求实数 的值; (2)若 ,讨论 的单调性; (3)在(2)的条件下,若 ,求证:函数 只有一个零点 ,且 . 分析:(1)先求一阶导函数 , ,用点斜式写出切线方程 (2)先求一阶导函数 的根,求解 或 的解集,判断单调性。 (3)根据(2)的结论,求出极值画出函数的示意图,分析函数 只有一个零点 的等价条件是 极小值大于零,函数 在 是减函数,故必然有一个零点。 详解:(1)因为 ,所以 ;又 。 由题意得 ,解得 (2) ,其定义域为 , 又 ,令 或 。 ①当 即 时,函数 与 随 的变化情况如下: 当 时, ,当 时, 。 所以函数 在 单调递增,在 和 单调递减 ②当 即 时, , 所以,函数 在 上单调递减 ③当 即 时,函数 与 随 的变化情况如下: 当 时, ,当 时, 。 所以函数 在 单调递增在 和 上单调递减 (3)证明:当 时, 由①知, 的极小值为 ,极大值为 . 因为 且又由函数 在 是减函数,可得 至多有一个零点 又因为 , 所以 函数 只有一个零点 , 且 .
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