【数学】2019届一轮复习北师大版第1章集合与常用逻辑用语第2节学案
第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件
最新考纲 1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.
知 识 梳 理
1.命题
可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题，其中判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题.
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
pq且qp
[常用结论与微点提醒]
1.否命题与命题的否定 否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.
2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同.
3.A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件.
4.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.
(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.
(3)若A＝B，则p是q的充要条件.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“x2＋2x－3<0”是命题.( )
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.( )
(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( )
(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.( )
解析 (1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.
(2)错误.否命题既否定条件，又否定结论.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(教材练习引申)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )
A.若α≠，则tan α≠1 B.若α＝，则tan α≠1
C.若tan α≠1，则α≠ D.若tan α≠1，则α＝
解析 命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，显然綈q tan α≠1，綈p α≠，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”.
答案 C
3.(2017·天津卷)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.
当x≤2时不一定有x≥0，而当0≤x≤2时一定有x≤2，
∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件.
答案 B
4.(2017·北京卷)能够说明“设a，b，c是任意实数.若a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________.
解析 a>b>c，取a＝－2，b＝－4，c＝－5，
则a＋b＝－6
0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；
②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；
③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；
④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价.
解析 ①不正确.由log2a>0，得a>1，∴f(x)＝logax在其定义域内是增函数.
②正确.由命题的否命题定义知，该说法正确.
③不正确，原命题的逆命题为 “若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4为偶数，但1和3均为奇数.④正确.两者互为逆否命题，因此两命题等价.
答案 ②④
规律方法 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意
(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.
2.(1)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.
(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断.
【训练1】 (1)原命题为“若 1， 2互为共轭复数，则| 1|＝| 2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A.真、假、真 B.假、假、真
C.真、真、假 D.假、假、假
(2)(2018·广东广雅中学联考)给出下列命题
①“存在x0∈R，x－x0＋1≤0”的否定；
②“若x2＋x－6≥0，则x>2”的否命题；
③命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题.
其中真命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 (1)由共轭复数的性质，| 1|＝| 2|，∴原命题为真，因此其逆否命题为真；取 1＝1， 2＝i，满足| 1|＝| 2|，但是 1， 2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假.
(2)①的否定是“任意x∈R，x2－x＋1>0”是真命题，①正确；②的否命题是“若x2＋x－6<0，则x≤2”，由x2＋x－6<0，得－30，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 (1)存在负数λ，使得m＝λn，则m·n＝λn·n＝λ|n|2<0，因而是充分条件，反之m·n<0，不能推出m，n方向相反，则不是必要条件.
(2)x>y >|y|(如x＝1，y＝－2).
但x>|y|时，能有x>|y|≥y.
∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.
答案 (1)A (2)C
规律方法 充要条件的三种判断方法
(1)定义法 根据p⇒q，q⇒p进行判断.
(2)集合法 根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法 根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.
【训练2】 (1)(2018·江西九江十校联考)已知函数f(x)＝则“x＝0”是“f(x)＝1”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
(2)(2017·浙江卷)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 (1)若x＝0，则f(0)＝e0＝1；若f(x)＝1，则ex＝1或ln(－x)＝1，解得x＝0或x＝－e.故“x＝0”是“f(x)＝1”的充分不必要条件.
(2)由S4＋S6－2S5＝S6－S5－(S5－S4)＝a6－a5＝d，
当d＞0时，则S4＋S6－2S5＞0，即S4＋S6＞2S5；
反之，S4＋S6＞2S5，可得d＞0.所以“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件.
答案 (1)B (2)C
考点三 充分条件、必要条件的应用(典例迁移)
【例3】 (经典母题)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围.
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}.
∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.
∴解得m≤3.
又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0.
综上，可知当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件.
【迁移探究1】 本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由.
解 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.
若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴∴
这样的m不存在.
【迁移探究2】 本例条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.
∵綈P是綈S的必要不充分条件，
∴P是S的充分不必要条件，
∴P⇒S且SP.
∴[－2，10][1－m，1＋m].
∴或
∴m≥9，则m的取值范围是[9，＋∞).
规律方法 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，
然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
【训练3】 (2018·西安月考)若x>2m2－3是－12m2－3”是“－1b，则a＋c>b＋c”的否命题是( )
A.若a≤b，则a＋c≤b＋c B.若a＋c≤b＋c，则a≤b
C.若a＋c>b＋c，则a>b D.若a>b，则a＋c≤b＋c
解析 将条件、结论都否定.命题的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”.
答案 A
2.函数f(x)在x＝x0处导数存在.若p f′(x0)＝0；q ＝x0是f(x)的极值点，则( )
A.p是q的充分必要条件
B.p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C.p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D.p既不是q的充分要件，也不是q的必要条件
解析 由极值的定义，q⇒p，但p q.例如f(x)＝x3，在x＝0处f′(0)＝0，f(x)＝x3是增函数，x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点.
因此p是q的必要不充分条件.
答案 C
3.(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α ，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面.
因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.
答案 A
4.下列结论错误的是( )
A.命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”
B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件
C.命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题
D.命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”
解析 C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”.若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，
即m≥－，不能推出m>0.所以不是真命题.
答案 C
5.(2018·东北三省四校模拟)原命题 设a，b，c∈R，若“a>b”，则“ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.4个
解析 原命题 若c＝0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题为设a，b，c∈R，若“ac2>bc2”，则“a>b”.由ac2>bc2知c2>0，∴由不等式的基本性质得a>b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴真命题共有2个.
答案 C
6.(2018·广东省际名校联考)王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 “不破楼兰终不还”的逆否命题为 “若返回家乡，则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.
答案 B
7.已知命题p 2＋2x－3＞0；命题q ＞a，且綈q的一个充分不必要条件是
綈p，则a的取值范围是( )
A.[1，＋∞) B.(－∞，1]
C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3]
解析 由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.
答案 A
8.(2018·南昌模拟)已知a，b都是实数，那么“>”是“ln a>ln b”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由ln a>ln b⇒a>b>0⇒>，故必要性成立.
当a＝1，b＝0时，满足>，但ln b无意义，所以ln a>ln b不成立，故充分性不成立.
答案 B
二、填空题
9.“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件.
解析 cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cos α＝±sin α.
由cos α＝sin α得到cos 2α＝0；反之不成立.
∴“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件.
答案 充分不必要
10.有下列几个命题
①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”
的逆命题；③“若x2<4，则－21且y>1，q 实数x，y满足x＋y>2，则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若x>1且y>1，则x＋y>2.所以p⇒q；反之x＋y>2 >1且y＝1，例如x＝3，y＝0，所以p.
因此p是q的充分不必要条件.
答案 A
14.(2018·昆明诊断)下列选项中，说法正确的是( )
A.若a>b>0，则ln a(n＋2)·2n－1”的否定是“任意n∈N+，3n≥(n＋2)·2n－1”
D.已知函数f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，则命题“若f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题
解析 ∵函数y＝ln (x>0)是增函数，∴若a>b>0，则ln a>ln b，故A错误；若a⊥b，则m＋m(2m－1)＝0，解得m＝0，故B错误；命题“任意n∈N+，3n>(n＋2)·2n－1”的否定是“存在n∈N+，3n≤(n＋2)·2n－1”，故C错误；命题“若f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题“若f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，则f(a)·f(b)<0”是假命题，如函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2，4]上的图像连续不断，且在区间(－2，4)内有两个零点，但f(－2)·f(4)>0，D正确.
答案 D
15.直线x－y－ ＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.
解析 直线x－y－ ＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于<，解之得－1< <3.
答案 (－1，3)
16.(2018·山西五校联考)已知p (x－m)2>3(x－m)是q 2＋3x－4<0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________.
解析 p对应的集合A＝{x|xm＋3}，q对应的集合B＝{x|－4
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