2014漳州5月份质检理数试卷
2014 年 5 月漳州市高中毕业班质量检查
理科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分．考试时间 120
分钟.
注意事项：
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必需将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.
2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.
参考公式：
样本数据 x1，x2，… ，xn 的标准差 锥体体积公式
s= V= Sh
其中 为样本平均数 其中 S 为底面面积，h 为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
V=Sh ，
其中 S 为底面面积，h 为高 其中 R 为球的半径
第 I 卷 （选择题 共 50 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．将正确答案填写在答题卷相应位置．
1. i 为虚数单位，则 等于
A． B. C. 2 D．
2. 不等式(x－2y＋1)·(x＋y－3)≤0 在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是
3. 执行如图所示的程序框图．若输出 ， 则框图中① 处
可以填入
A． ？ B． ？ C． ？ D． ？
4．若函数 y＝
x3
3 －x2＋1(0
8n > 16n > 16n <
2 2 2
1 2
1 ( ) ( ) ( )nx x x x x xn
− + − + + − …
3
1
x
24S R= π 34
3V R= π
1 i
i
+
1 i− 1 i+ 2
2
0 0 0, 1 3x R x x∃ ∈ + > 2, 1 3x R x x∀ ∈ + ≤
2 2( ) cos sinf x ax ax= − π 1a =
2 2x x ax+ ≥ [ ]1,2x∈ ⇔ maxmin
2 )()2( axxx ≥+ [ ]1,2x∈
④“平面向量 与 的夹角是钝角”的充分必要条件是“ ”.
A．1 B．2 C．3 D．4
6.已知 外接圆 的半径为 ，且 ， ，从圆 内随机取一个点
，若点 取自 内的概率恰为 ，则 的形状为
A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
7. 用一根长为 12 m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗和边框粗细)，则
框架的最大面积为
A．4 B．6 C．2.5 D．4.5
8.若两非零向量 与 的夹角为 ，定义向量运算 ，已知向量 满足
， ， ，则
A．2 B． C． D．3
9. 已知双 曲线 ,两个焦点分别为 ,若在第一象限内双曲线
上存在一点 P,使得在 中, ， ,则此双曲线的渐近
线方程为
A． B．
C． D．
10. 设函数 的定义域为 ，若对于任意 、 ，当 时，恒有
，则称点 为函数 图像的对称中心．研究函数
的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到
的值为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共 100 分）
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分. 把答案填在答题卡的相应位置.
11 ． 若 等 差 数 列 {an} 的 前 5 项 和 S5 ＝ 25 ， 且 a2 ＝ 3 ， 则 a4 ＝
________．
12．某几何体的三视图及部分数据如图所示，则此几何体的表面积
是 ．
13．已知 的展开式中 的系数是 10，则实数 的值
是 ．
14.若直线 与抛物线 相交于 两点，且
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
)(xfy = D 1x Dx ∈2 axx 221 =+
bxfxf 2)()( 21 =+ ),( ba )(xfy =
3sin)( −+= xxxf π
+
++
+
2014
4027
2014
4026
2014
2
2014
1 ffff
8054− 4027− 4027 8054
5( 1)ax + 3x a
a b 0a b⋅ <
ABC∆ O 1 1
2OA OB⋅ = −
3C
π∠ = O
M M ABC∆ 3 3
4π ABC∆
2m 2m 2m 2m
a b θ sina b a b θ⊗ = ⋅ ⋅ ,m n
3m = 4n = 6m n⋅ = − m n⊗ =
2 3− 2 3
1 2F F、
1 2PF F∆ 1 2 =30PF F∠
2 1=90PF F∠
2= 2y x± = 2y x± = 3y x± = 2y x±
= ( 1)( 0)y k x k+ > 2 =4y x ,A B
两点在抛物线的准线上的射影分别是 ，若 ，则 的值
是 ．
15.在棱长为 的正方体 中，点 是正方体棱上一点（不包括棱的端点），
若满足 的点 的个数为 ，则 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写在答题卷相应位置，要写出文字说明、
证明过程或演算步骤．）
16. （本小题满分 13 分）
已知函数 （ ）的最小正周期为 ．
（Ⅰ）求函数 的单调增区间；
（Ⅱ）将函数 的图象向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数
的图象；若 在 上至少含有 10 个零点，求 b 的最小值．
17. （本小题满分 13 分）
如图, 已知四边形 ABCD 和 BCEG 均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且 ，
平面 ABCD⊥平面 BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2.
（Ⅰ）求证：AG 平面 BDE;
（Ⅱ）求：二面角 G DE B 的余弦值.
18.（本小题满分 13 分）
某品牌电视专卖店，在五一期间设计一项有奖促销活动：每购买一台电视，即可通过电
脑
产生一组 3 个数的 随机数组，根据下表兑奖.
奖次 一等奖 二等奖 三等奖
随机数组的特征 3 个 1 或 3 个 0 只有 2 个 1 或 2 个 0 只有 1 个 1 或 1 个 0
奖金（单位：元）
商家为了了解计划的可行性，估计奖金数，进行了随机模拟试验，产生 20 组随机数组，
每组 3 个数，试验结果如下所示：
235，145，124，754， 353，296，065，379，118，247，
520，356，218，954 ，245，368，035，111，357，265.
（Ⅰ）在以上模拟的 20 组数中，随机抽取 3 组数，至少有 1 组获奖的概率；
（Ⅱ）根据上述模拟试验的结果，将频率视为概率.
（i）若活动期间某单位购买四台电视，求恰好有两台获奖的概率；
（ii）若本次活动平均每台电视的奖金不超过 260 元，求 的最大值.
19. （本小题满分 13 分）
,A B ,M N 2BN AM= k
1 1 1 1 1ABCD A B C D− P
1PA PC m+ = P 6 m
2( ) 2sin cos 2 3sin 3f x x x xω ω ω= + − 0ω > π
( )f x
( )f x 6
π
( )y g x=
( )y g x= [0, ]( 0)b b >
2BCD BCE
π∠ = ∠ =
//
− −
5m 2m m
m
20. （本小题满分 14 分）
设函数 f(x)=x2+ln(x+1).
（Ⅰ）求函数 f(x)图象在点 处的切线 方程；
（Ⅱ）（i）求证当 x∈(0，+∞)时 f(x)>x 恒成立；
（ii）利用（i）的结论证明： ；
（Ⅲ）求证： .
21. 本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题 7 分，请考生任选 2 题作答，满分 14 分，
如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应
的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
(1)（本小题满分 7 分）选修 4-2：矩阵与变换
已知直线 ，矩阵 ．
（Ⅰ）求直线 经过矩阵 变换之后得到的直线方程；
（Ⅱ）若将（Ⅰ）中所得直线再进行伸缩变换 之后得到直线 ，求伸缩变换的矩阵
(2)（本小题满分 7 分）选修 4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程是 （ 为参数）；以
为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆 的极坐标方程为 ．
（Ⅰ）写出直线 的普通方程与圆 的直角坐标方程；
（Ⅱ）由直线 上的点向圆 引切线，求切线长的最小值.
(0, (0))P f
2 2 2
1 2 2013 20152 3 2014 ln+ + + <
( )
1
1 1 1 2
n
i
i nsin n cos lnn i n=
− + < − + + ∑
1 2: 2, : 2l y x l y x= + = − 0 2
1 0M
=
1l M
N 2l N
xOy l
2
2
2 4 22
x t
y t
=
= +
，
t O
x C 2cos( )4
ρ θ π= +
l C
l C
(3)（本小题满分 7 分）选修 4－5：不等式选讲
已知函数 ，m∈R，且 的解集为 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 +，且 ，求 的最小值.
( ) | 2 |f x m x= − − ( 2) 0f x + ≥ [ 1,1]−
m
, ,a b c R∈ 1 1 1
2 3 ma b c
+ + = 2 3a b c+ +
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理科数学试卷参考答案
一、 选择题： 1-5 C, C , B , D, B , 6-10 A , D, C , B , A.
二、 填空题：11.7； 12. ； 13. 1； 14. ； 15. .
三、 解答题：
16. 解：（Ⅰ）由题意得：
, …………………………………………2 分
由周期为 ，得 ，得 ， ……………………………4 分
函数的单调增区间为： ，
整理得 ,
所以函数 的单调增区间是 .………………………6 分
（Ⅱ）将函数 的图象向左平移 个单位，再向上平移单位，得到 的
图象，
所以 ,…8 分
令 ，得 或 ,………………………………10 分
所以在 上恰好有两个零点，
若 在 上有 10 个零点，则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可，
即 b 的最小值为 . ……………………………………13 分
17. 解：由平面 ，平面 ,
平面 BCEG, ，
由平面 ，
知 ， . ……………………………………2 分
根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，可得
……3 分
（Ⅰ）设平面 BDE 的法向量为 ，则
3 4 3+ 2 23 ( 3, 5)
( )f x = 22sin cos 2 3sin 3x x xω ω ω+ −
sin 2 3 cos2 2sin(2 )3x x x
πω ω ω= − = −
π 1ω = ( ) 2sin(2 )3f x x
π= −
2 2 22 3 2k x k
π π ππ π− ≤ − ≤ +
5 ,12 12k x k k Z
π ππ π− ≤ ≤ + ∈
( )f x 5[ , ] , Z12 12k k k
π ππ π− + ∈
( )f x 6
π
2sin 2 1y x= +
( ) 2sin 2 1g x x= +
( ) 0g x = 7
12x k
ππ= + 11 ( Z)12x k k
ππ= + ∈
[ ]0,π
( )y g x= [0, ]b
11 594 12 12
π ππ + =
ABCD BCEG⊥ 平面 ABCD BCEG BC=平面
,CE BC CE⊥ ⊂ ∴ EC ABCD⊥ 平面
ABCD BCEG⊥ 平面
2BCD BCE
π∠ = ∠ =
EC CD⊥
(0,2,0 (2 0,0 (0 0 2 (2,1,0) (0,2,1)B D E A G）， ， ）， ，，），
( , , )m x y z= (0,2, 2), (2,0, 2)EB ED= − = −
即 ， ，
平面 BDE 的一个法向量为 ……………………………………..5 分
， ，
，∴AG∥平面 BDE. ………………………………………….7 分
（Ⅱ）由（1）知 ，
设平面 EDG 的法向量为 ，则 即
平面 EDG 的一个法向量为 ………………………………………..9 分
又平面 BDE 的一个法向量为 ，
设二面角 的大小为 ，则 ，
二面角 的余弦值为 . …………………..13 分
18. 解：（Ⅰ）设“在以上模拟的 20 组数中，随机抽取 3 组数，至少有 1 组获奖”为事件
，则
由数组知，没中奖的组数为 12，
. 3 分
（Ⅱ）（i）由题意得，每购买一台电视获奖的概率为 ，设“购买四台电视，
恰有两台获奖”为事件 ，则 .……6 分
（ii）设“购买一台电视获一等奖”为事件 ，“购买一台电视获二等奖”为事件 ，
“购买一台电视获三等奖”为事件 ，
则 . ………………8 分
设 为获得奖金的数额，则 的可能取值为 ，故 的分布列为
0 0EB m ED m∴ ⋅ = ⋅ = 0
0
y z
x z
− =
− = x y z∴ = =
∴ (1,1 ,1)m = ，
( 2,1,1)AG = −
2 1 1 0AG m∴ ⋅ = − + + = AG m∴ ⊥
AG BDE⊄ 平面
(0, 2, 1)EG = −
),,( zyxn = 0
0
EG n
ED n
→
→
⋅ =
⋅ =
2 0
2 2 0
y z
x z
− =
− =
∴ 1(1, ,1)2n =
(1,1 ,1)m = ，
G DE B− − α
11 1 5 32cos 913 1 14
α
+ +
= =
⋅ + +
∴ G DE B− − 5 3
9
A
( ) 3
12
3
20
461 57
CP A C
∴ = − =
8 2
20 5P = =
B ( ) 2 2
2
4
2 2 21615 5 625P B C = × − =
1A 2A
3A
( ) ( ) ( )1 2 3
1 1 3, ,20 20 10P A P A P A= = =
ξ ξ 0, ,2 ,5m m m ξ
. ………………11 分
由题意 得 的最大值为 400 .…………13 分
19.
ξ 0 m 2m 5m
P 3
5
3
10
1
20
1
20
3 2 5 130 10 20 20 20
m m m mEξ∴ = + + + =
13 260,20
mEξ = ≤ 400,m m≤ ∴
20. 解：（Ⅰ） ，切线 的斜率为 ，
∴切线 的方程为 .…………………………2 分
（Ⅱ）（i）设 g(x)=x-f(x)= x-x2-ln(x+1)，则 ，
当 x>0 时，g′(x)<0，∴g(x)在(0，+∞)上递减，
∴g(x)0 时，x-x2
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