安徽省肥东县第二中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题（文）（共建班 ）

安徽省肥东县第二中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题（文）（共建班 ）

肥东二中2019-2020学年度第二学期期中考试 高二年级 肥东二中与合肥六中共建班数学试卷（文）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ 1. i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. ‎“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下表是降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量吨与相应的生产能耗吨标准煤的几组对应数据，根据表中提供的数据，得到y关于x的线性回归方程为，那么表中m的值为（ ） ‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y m ‎4‎ A. B. ‎3 ‎C. D. 2‎ 4. 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示按照图中所示的规律，第10个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ） ‎ A. 58 B. ‎78 ‎C. 62 D. 82‎ 5. 函数的部分图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 1. 若与是函数的两个极值点，则有（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. 3. 已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. 或 C. 或 D. 4. 抛物线上一点M到焦点的距离为5，则点M的横坐标为（ ）‎ A. 2 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6‎ 5. 已知曲线，则以为中点的弦所在直线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 6. O为坐标原点，F为抛物线的焦点，P为C上一点，若，则的面积为（ ）‎ A. 2 B. C. D. 4‎ 1. 已知定义在R上的偶函数函数的导函数为满足 ，且，则关于x的不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ 2. 已知命题，总有，则p的否定为______________．‎ 3. 函数的图象在点处的切线为_____．‎ 4. 如果命题，为真命题，则实数m的取值范围是          ．‎ 5. 已知，，点为坐标平面内的动点，满足，则动点P的轨迹方程为          ．‎ ‎[来源:学科网]‎ 三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其他每题12分，共70分）‎ 6. 已知 ，，其中．‎ ‎（1）若，且为真，求x的取值范围 ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． ‎ 7. 新高考“”模式最大的特点就是取消了文理分科，除语文、数学、外语3门必考科目外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门中自主选择3门作为选考科目 某研究机构为了了解学生对全文政治、历史、地理的选择是否与性别有关，从某学校高一年级的1000名学生中随机抽取男、女生各25人进行模拟选科经统计，选择全文的男生有5人，在随机抽取的50人中选择全文的比不选全文的少10人。‎ ‎（1）估计高一年级的男生选择全文的概率 ‎（2）请完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为选择全文与性别有关．‎ 选择全文 不选择全文 总计 男生 女生 总计 ‎ 附表：‎ k ‎（参考公式：，其中） ‎ 1. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上且经过点．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）求直线被抛物线所截得的弦长． ‎ 1. 已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，恒成立，求a的取值范围。 ‎ 2. 已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，设椭圆C的右顶点为B .‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程和离心率e的值；‎ ‎（2）设点S是椭圆上位于x轴上方的动点，求证：直线AS与BS的斜率的乘积为定值．‎ 3. 已知函数，．‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若对任意， 恒成立，求实数a的取值范围． ‎ 肥东二中2019-2020学年度第二学期期中考试 高二年级 肥东二中与合肥六中共建班数学参考答案（文）‎ ‎【答案】‎ ‎1. D 2. B 3. B 4. C 5. C 6. D 7. C 8. B 9. B 10. A 11. C 12. B ‎ ‎13. ，使得  ‎ ‎14.   ‎ ‎15.   ‎ ‎16.   ‎ ‎17. 解：由，得，所以．‎ 由，，得，所以．‎ 当时，，‎ 由为真，知p，q均为真，所以，即x的取值范围为．‎ 由是的充分不必要条件，知，，‎ 即，，‎ 由知，，，‎ 所以 解得，即m的取值范围为．‎ ‎  ‎ ‎18. 解：由题中数据可知，抽取的25名男生中，选择全文的有5人， 故高一年级的男生选择全文的概率约为．‎ 列联表如下：‎ 选择全文 不选择全文 总计 ‎ 男生 ‎5‎ ‎20‎ ‎25‎ 女生 ‎15‎ ‎10‎ ‎25‎ 总计 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 根据列联表中的数据得，的观测值，‎ 所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为选择全文与性别有关．‎ ‎  ‎ ‎19. 解：Ⅰ设抛物线的标准方程为，， 点在抛物线上， ，解得， 抛物线的方程为； Ⅱ设直线与抛物线的交点为，， 联立方程组， 解得，， ．  ‎ ‎20. 解：函数的定义域为，， 若，解得    若，解得；  的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，恒成立等价于恒成立， 由知的单调递减区间为，单调递增区间为可知：，单调递减，，单调递增， ， ，， 当时，， 即， 的取值范围是．  ‎ ‎21. 解：由已知得，椭圆C的左顶点为 上顶点为， ，，， 故椭圆C的方程为 ，离心率e的值为； 设，且， ，故， 故为定值． 直线AS与BS的斜率的乘积为定值．  ‎ ‎22. 解：， 令，即，解得， 令，即，解得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ 由题意：在上恒成立，‎ 即，可得， 设， 则． 令得或舍， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减，      当时，取得最大值，， 所以．‎ ‎  ‎ ‎【解析】‎ ‎1. ‎ ‎【分析】 本题考查复数的混合运算，复数的几何意义，属于基础题． 利用复数的除法化简复数，求出对应点的坐标即可． 【解答】 解：复数 ， 对应点为，在第四象限， 故选D．‎ ‎2. 【分析】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题． “”“”，反之不成立，取即可判断出． 【解答】 解：“”“”，反之不成立，取． 因此““”是“”的必要不充分条件． 故选B．‎ ‎3. 【分析】本题考查线性回归方程的应用，是一个基础题，解题的关键是理解样本中心点在线性回归直线上． 根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m的方程，解方程即可． 【解答】解：，， 又回归直线必过样本点的中心，，． 故选B．‎ ‎4. 【分析】本题考查类比推理的思想方法，属于基础题． 从图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中多6根，故火柴棒的数量成等差数列，第1个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为，所以第10个“金鱼”图需要火柴棒的根数为62． 【解答】解：从题图可以看出，从图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6‎ 根， 故火柴棒的数量成等差数列， 第1个图中火柴棒为根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为， 所以第10个“金鱼”图需要火柴棒的根数为62． 故选C．‎ ‎5. 【分析】 本题考查了函数的图象的判断，一般通过函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，变化趋势等知识来解答． 由题意可得为奇函数，，排除A，B，当时，可得，在区间上单调递增，排除D即可得到结论． 【解答】 解：定义域为，关于原点对称， 则，为奇函数，故排除B， ，故排除A， ，当时，可得， 当时，，为增函数，故排除D， 故选C．‎ ‎6. 【分析】本题考查了利用导数研究函数的极值、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于较易题． 函数，，根据与是函数的两个极值点，可得，4是一元二次方程 的实数根，即可得出． 【解答】解：，依题意，和4是方程的两个根， 所以有，，解得，， 故选D．‎ ‎7. 【分析】 本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题． 求出导函数，由于函数在区间单调递增，可得在区间上恒成立，解出即可． 【解答】 解：由已知可得， 函数在区间单调递增， 在区间上恒成立． ， 而在区间上单调递减， ． 的取值范围是：． 故选：C．‎ ‎8. 【分析】 本题考查了双曲线的几何性质，双曲线的渐近线方程的意义以及双曲线离心率的求法，属于基础题． 由双曲线的渐近线的方程可得，或，再利用 ‎，将所得等式转化为关于离心率的方程即可解得离心率． 【解答】 解：设双曲线的实轴长为‎2a，虚轴长为2b，焦距为‎2c， 则，， 双曲线的一条渐近线方程为， ，或， 或， 或， 或， 或， 故选B．‎ ‎9. 【分析】本题主要考查抛物线的简单几何性质，属于基础题． 求出抛物线的准线，利用抛物线的定义即可求解． 【解答】解：抛物线的准线方程为， 抛物线上一点M到焦点的距离等于5，且抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离， 点M的横坐标为4． 故选B．‎ ‎10. ‎ ‎【分析】 本题考查直线与椭圆的位置关系，属于基础题． 将直线与圆的交点坐标代入椭圆方程，利用点差法作差后，将中点坐标代入即可求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即可． 【解答】 解：令直线l与椭圆交于，， 为AB中点，则， 则：， ， 得：， 即， ， 的方程：， 即． 故选A．‎ ‎11. 【分析】本题考查抛物线的定义和标准方程，属于基础题． 由及抛物线的定义知，P点的横坐标，从而，由，即可得面积． 【解答】解：抛物线C的准线方程为，焦点， 由及抛物线的定义知，P点的横坐标， 从而， ． 故选C．‎ ‎12. 【分析】 本题考查了构造新函数，利用导数处理抽象函数问题，属于中档题． 令，则，可得是单调增函数， 而不等式，利用单调性即可得x 的取值． 【解答】 解：因为偶函数的导函数是奇函数，所以， 令，则， 所以是单调增函数， 不等式即，即， 所以． 故选B．‎ ‎13. 【分析】 本题考查全称命题的否定，需要把全称改为特称，再否定结论． 【解答】 解：把全称改为特称，再否定结论， 得到命题，总有的否定为，使得， 故答案为，使得．[来源:学科网]‎ ‎14. 【分析】 本题考查导数的几何意义，属于基础题． 求出导数，得出切线斜率，然后写出切线方程即可． 【解答】 解： 由已知， 所以，即切线斜率为1， 又， 所以切线方程为，即． 故答案为．‎ ‎15. 【分析】本题全称命题，注意运用基本不等式求最值，考查运算能力，属于基础题． 由题意利用基本不等式可得，即可得出m的不等式，求解出m 的范围． 【解答】解：命题p为真命题，即当时，不等式恒成立， 又当时，， 当且仅当，即时，取得最小值12， 故，解得 故答案为 ‎16. 【分析】本题考查向量的数量积及平面向量的坐标运算，考查圆锥曲线中的轨迹问题，考查抛物线的标准方程，考查分析与计算能力，属于中档题． 由题得，，，，再由已知，计算求解即可得到结论． 【解答】解：由题意，知，，，． 由， 得， 化简整理，得．[来源:学。科。网]‎ ‎17. 本题考查充分必要条件的判定，考查复合命题的真假判断，是基础题． 分别求解一元二次不等式化简p与q，结合p和q都是真命题，取交集求x的取值范围； 由是的充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件，可得关于m的不等式组，求解得答案．‎ ‎18. 本题考查了独立性检验的应用，属于基础题． 用频率估计概率，即可得到高一年级的男生选择全文的概率； 由公式，计算观测值，结合附表即可得到答案．‎ ‎19. 本题考查了抛物线的标准方程，直线与抛物线的相交弦长问题，计算要细心，属基础题． Ⅰ设抛物线的标准方程为，，代入点的坐标求p，可得答案； Ⅱ联立直线与抛物线方程组，解得交点坐标，利用两点间距离坐标公式计算．‎ ‎20. 本题考查利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式恒成立问题． 求出定义域和导数，由，求出单调递减区间，由，求出单调递增区间； 根据题意得出时，恒成立等价于恒成立，转化为利用导数求出的最大值即可．‎ ‎21. 本题考查了椭圆的概念与几何性质，考查了定点与定值问题，属于简单题． 根据直线方程求出点A、D的坐标，从而可以求出椭圆的方程以及离心率； 设出点S的坐标，代入椭圆方程，然后由直线的斜率公式求解．‎ ‎22. 本题考查利用导数研究函数的单调性和不等式恒成立问题，属基础题，‎ 求导数，分析导函数的正负情况，确定单调区间；‎ 利用分离参数法，将不等式恒成立的问题转化为求某个函数的最大值或最小值的问题，然后构造函数，利用导数研究单调性，求得最值，进而得到a的取值范围．‎