全国2010高中数学联赛模拟试题一

全国2010高中数学联赛模拟试题一

全国2010高中数学联赛模拟试题一 一、选择题 ‎1、平面上有两个定点A、B，另有4个与A、B不重合的的动点。若使则称（）为一个好点对。那么这样的好点对 （  ）‎ ‎　　A．不存在    B．至少有一个    C．至多有一个 D．恰有一个 ‎2、 已知（R），且 则a的值有 ‎ ‎（  ）                                                                                   ‎ ‎　　（A）个     （B）个     （C）个     （D）无数个 ‎3、. 已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上任意一点，当取得最小值时，该双曲线离心率的最大值为（  ）‎ ‎　　A、    B、3        C、       D、2‎ ‎4、. 已知，定义，则（  ）‎ ‎　A．        B．               C．            D．‎ ‎5、函数的最大值是（  ）‎ A、2         B、       C、        D、3‎ 二、填空题 ‎6、 已知点A(0，2)和抛物线y2＝x＋4上两点B、C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围     ‎ ‎7、 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有　　　　　种（用数字作答）．‎ ‎8、在正三棱锥S—ABC中M、N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S—ABC外接球的表面积是    ‎ ‎9、等差数列有如下性质：若是等差数列，则通项为的数列也是等差数列．类比上述性质，相应地，若是正项等比数列，则通项为_______________的数列也是等比数列．‎ ‎10、定义在R上的函数，对任意实数，都有和，且，则的值为_________.‎ ‎11、不等式的解集为，那么的值等于__________.‎ 三、解答题 ‎12、 在数列中，‎ ‎　　（Ⅰ）试比较与的大小；‎ ‎　　（Ⅱ）证明：当时，.‎ ‎　‎ ‎13、 设椭圆的方程为 , 线段  是过左焦点  且不与  轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 , 使  为正三角形, 求椭圆的离心率  的取值范围, 并用  表示直线  的斜率. ‎ ‎14、 已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）。（Ⅰ）证明：平面PAD⊥PCD；（Ⅱ）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC 把几何体分成的两部分；（Ⅲ）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线AM是否平行面PCD.‎ ‎15、 在外接圆直径为1的△ABC中角A、B、C的对边分别为设向量 ‎(1)  求的取值范围;‎ ‎（2）若试确定实数的取值范围.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、 .B解：因为，所以。将区间[0，1]分成[]，‎ 三段，则中至少有两个值落在同一个小区间内（抽屉原理）。所以满足的好点对（）至少有一个。所以选B.‎ ‎2、 D解：由题设知为偶函数，则考虑在时，恒有 ‎                ．‎ 所以当，且时，恒有．‎ 由于不等式的解集为，不等式 的解集为．因此当时，恒有 ‎. 故选（D）．‎ ‎3、 B ‎4、 C 解：计算 可知是最小正周期为６的函数。即得，所以＝，故选C.‎ ‎5、 B 二、填空题 ‎6、简解：设Ｂ点坐标为（y21–4,y1），Ｃ点坐标为(y2–4,y) 　　显然y21–4≠０，故kAB=(y1–2)/(y21–4)=1/(y1+2).由于AB⊥BC，所以kBC=–(y1+2).从而y–y1=–(y1+2)[x–(y21–4)],y2=x+4消去x，注意到y≠y1　　　得:(2+y1)(y+y1)+1=0→y21+(2+y)y1+(2y+1)=0.由Δ≥0解得：y≤0或y≥4. 　　当y=0时，点Ｂ的坐标为(–3,–1)；当y=4时，点Ｂ的坐标为(5,–3)，均满足题意。故点Ｃ的纵坐标的取值范围是y≤0或y≥4.‎ ‎7、 390‎ ‎8、 36π ‎9、 ‎ ‎10、  ＝2005‎ ‎11、 ‎ 三、解答题 ‎12、 解：（Ⅰ）由题设知，对任意，都有 ‎   ，‎ ‎   ‎ ‎                 ‎ ‎   ‎ ‎（Ⅱ）证法1：由已知得，‎ 又.‎ 当时，‎ ‎    ‎ 设              ①则            ②‎ ‎①-②，得 证法2：由已知得，‎ ‎（1）       当时，由，知不等式成立。假设当不等式成立，即，那么 ‎          ‎ 要证 ，只需证 即证 ，则只需证………………10分 因为成立，所以成立.‎ 这就是说，当时，不等式仍然成立.‎ 根据（1）和（2），对任意，且，都有 ‎13、 解： 如图, 设线段  的中点为 ．过点 、、 分别作准线的垂线, 垂足分别为 、、, 则 ‎．假设存在点 ，则 ， 且 ， 即 ‎ ‎，‎ ‎　　所以，．          ‎ ‎　　于是，， 故 ‎．‎ 若  (如图)，则 ‎　　.  ‎ ‎　　　当  时, 过点  作斜率为  的焦点弦 , 它的中垂线交左准线于 , 由上述运算知, ． 故  为正三角形.   ‎ 若 ，则由对称性得 ‎．                ‎ 又 , 所以，椭圆  的离心率  的取值范围是， 直线  ‎ 的斜率为 ．‎ ‎14、 （I）证明：依题意知：‎ ‎               （II）由（I）知平面ABCD ‎ ‎       ∴平面PAB⊥平面ABCD.‎ 在PB上取一点M，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，‎ ‎       设MN=h ‎       则 ‎       ‎ 要使 ‎       即M为PB的中点.   ‎ ‎   （III）以A为原点，AD、AB、AP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ‎ ‎ ‎       则A（0，0，0），B（0，2，0），‎ ‎       C（1，1，0），D（1，0，0），‎ ‎       P（0，0，1），M（0，1，）由（I）知平面，则 ‎       的法向量。                                          ‎ ‎　　 又为等腰 ‎       ‎ ‎       ‎ ‎　　因为 ‎       ‎ 所以AM与平面PCD不平行.                                                         ‎ ‎15、 解：因为 所以，由正弦定理，得，‎ 即又所以即 ‎. ‎ ‎    (1)= ‎ ‎         ‎ ‎        ‎ ‎         因此的取值范围是 ‎ ‎ (2)若则,‎ 由正弦定理，得 ‎ ‎       设=,则,‎ ‎       所以 ‎ 即 ‎      所以实数的取值范围为