高考文科数学专题复习练习11.1随机事件的概率

高考文科数学专题复习练习11.1随机事件的概率

第十一章概率 ‎11.1随机事件的概率 ‎158‎ 随机事件的频率与概率 ‎14.(2015甘肃兰州二诊,文14,随机事件的频率与概率,填空题)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为　　　　　. ‎ 解析:所有的选法共有3×3=9种,而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种,‎ 故他们选择相同颜色运动服的概率为‎3‎‎9‎‎=‎‎1‎‎3‎.‎ 答案:‎‎1‎‎3‎ ‎159‎ 互斥事件、对立事件 ‎14.(2015吉林实验中学六模,文14,互斥事件、对立事件,填空题)经统计,在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下:‎ 排队人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 概率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.04‎ 则该营业窗口上午9点钟时,至少有2人排队的概率是　　　　　. ‎ 解析:由表格可得至少有2人排队的概率P=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74.‎ 答案:0.74‎ ‎9.(2015甘肃张掖一模,文9,互斥事件、对立事件,选择题)口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0.7‎ 解析:∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,在口袋中摸球,摸到红球,摸到黑球,摸到白球这三个事件是互斥的,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,‎ ‎∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件,∴摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3.‎ 答案:C ‎11.2古典概型 ‎160‎ 古典概型的概率 ‎1.(2015江西上饶重点中学一模,文4,古典概型的概率,选择题)从标有1,2,3,4,5,6的6张纸片中任取2张,那么这2张纸片数字之积为6的概率是(　　)‎ A.‎1‎‎5‎ B.‎1‎‎15‎ C.‎2‎‎15‎ D.‎‎1‎‎3‎ 解析:从标有1,2,3,4,5,6的6张纸片中任取2张,不同的取法种数是(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种,其中这2张纸片数字之积为6的取法种数是23,16,∴对应的概率是P=‎2‎‎15‎.‎ 答案:C ‎2.(2015江西上饶重点中学一模,文18,古典概型的概率,解答题)如图,在边长为1的正六边形ABCDEF中,其中心为点O.‎ ‎(1)在正六边形ABCDEF的边上任取一点P,求满足OP在OE上的投影大于‎1‎‎2‎的概率;‎ ‎(2)从A,B,C,D,E,F这六个点中随机选取两个点,记这两个点之间的距离为x,求x大于等于‎3‎的概率.‎ 解:(1)因为OD在OE上的投影为|OD|cos=|OF|cos=‎1‎‎2‎,‎ ‎∴P在线段FE(除点F)和线段ED(除点D)上运动时,OP在OE上的投影大于‎1‎‎2‎,‎ ‎∴OP在OE上的投影大于‎1‎‎2‎的概率P=‎2‎‎6‎‎=‎‎1‎‎3‎.‎ ‎(2)结合图形可知只要选取的两个点不是相邻的,那么这两点的距离一定是大于等于‎3‎的.六个点中随机选取两个点,总共有15种:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),∴P(x≥‎3‎)=‎9‎‎15‎‎=‎‎3‎‎5‎.‎ ‎3.(2015山西太原一模,文4,古典概型的概率,选择题)某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个小球(小球除编号外完全相同),甲先从袋中摸出一个球,记下编号后放回,乙再从袋中摸出一个球,记下编号,则甲,乙两人所摸出球的编号不同的概率是(　　)‎ A.‎1‎‎5‎ B.‎1‎‎6‎ C.‎5‎‎6‎ D.‎‎35‎‎36‎ 解析:甲先从袋中摸出一个球,有6种可能的结果,乙再从袋中摸出一个球,有6种可能的结果,如果按(甲,乙)方法得出总共的结果为36个,甲,乙两人所摸出球的编号不同的结果为30个,∴甲,乙两人所摸出球的编号不同的概率是‎30‎‎36‎‎=‎‎5‎‎6‎.‎ 答案:C ‎4.(2015广西玉林、贵港4月模拟,文13,古典概型的概率,填空题)在1,3,5,7中任取两个不同的数,则这两个数的和为8的概率为　　　　　. ‎ 解析:在1,3,5,7中任取两个不同的数的结果为:(1,3),(1,5),(1,7),(3,5),(3,7),(5,7)共6个,其中满足这两个数的和为8的有(1,7),(3,5)共2个,所以这两个数的和为8的概率P=‎2‎‎6‎‎=‎‎1‎‎3‎.‎ 答案:‎‎1‎‎3‎ ‎3.(2015江西红色六校一模,文3,古典概型的概率,选择题)随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过4的概率记为p1,点数之和大于8的概率记为p2,点数之和为奇数的概率记为p3,则(　　)‎ A.p1P甲.‎ ‎∴这种游戏规则不公平.‎ ‎13.(2015江西赣州兴国一模,文13,古典概型的概率,填空题)袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2;从五张卡片中,任取两张,这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率为　　　　　. ‎ 解析:从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种:红1红2,红1红3,红1蓝1,红1蓝2,红2红3,红2蓝1,红2蓝2,红3蓝1,红3蓝2,蓝1蓝2,其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况,红1蓝1,红1蓝2,红2蓝1,故所求的概率为P=‎3‎‎10‎.‎ 答案:‎‎3‎‎10‎ ‎8.(2015甘肃兰州一中模拟,文8,古典概型的概率,选择题)从集合A={1,3,5,7,9}和集合B={2,4,6,8}中各取一个数,那么这两个数之和除以3余1的概率是(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎1‎‎5‎ C.‎2‎‎5‎ D.‎‎3‎‎10‎ 解析:从集合A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8}各取一个数,基本事件有(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(5,2),(5,4),(5,6),(5,8),(7,2),(7,4),(7,6),(7,8),(9,2),(9,4),(9,6),(9,8),共20个;其中两个数的和除以3余1基本事件有(1,6),(3,4),(5,2),(5,8),(7,6),(9,4),共6个,∴两个数的和除以3余1的概率为P=‎6‎‎20‎‎=‎‎3‎‎10‎.‎ 答案:D ‎14.(2015甘肃兰州一中三模,文14,古典概型的概率,填空题)一个立方体骰子的六个面分别标有数字1,2,2,3,3,4;另一个立方体骰子的六个面分别标有数字1,3,4,5,6,8.掷两粒骰子,则其最上面所标的两数之和为7的概率是　　　　　. ‎ 解析:在36对可能的结果中,和为7的有6对:(1,6),(2,5),(2,5),(3,4),(3,4),(4,3),∴得到两数之和为7的概率是‎6‎‎36‎‎=‎‎1‎‎6‎.‎ 答案:‎‎1‎‎6‎ ‎7.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文7,古典概型的概率,选择题)某种饮料每箱装6听,如果其中有2听不合格,问质检人员从中随机抽出2听,检测出不合格产品的概率为(　　)‎ A.‎2‎‎5‎ B.‎8‎‎15‎ C.‎3‎‎5‎ D.‎‎9‎‎10‎ 解析:设合格饮料为1,2,3,4,不合格饮料为5,6,则6听中选2听共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15种,有1听不合格的有(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),共8种;有2听不合格的有(5,6),共1种,故所求事件的概率为P=‎8+1‎‎15‎‎=‎‎3‎‎5‎.‎ 答案:C ‎18.(2015黑龙江哈尔滨三中四模,文18,古典概型的概率,解答题)一个袋子中装有大小形状完全相同的5个小球,球的编号分别为1,2,3,4,5.‎ ‎(1)从袋子中随机取出两个小球,求取出的小球编号之和大于5的概率;‎ ‎(2)先从袋子中取出一个小球,该球编号记为x,并将球放回袋子中,然后再从袋子中取出一个小球,该球编号记为y,求y>|x-4|的概率.‎ 解:(1)从5个球中随机抽取两个球共有C‎5‎‎2‎=10种不同的情况,而且这些情况都是等可能发生的,其中满足取出的小球编号之和大于5的情况有:(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共6种,故取出的小球编号之和大于5的概率P1=‎3‎‎5‎.‎ ‎(2)有放回的从袋子中取出两个球共有5×5=25种不同的情况,而且这些情况都是等可能发生的,其中符合题意的情况有:‎ x=1,y>3,y=4,5,‎ x=2,y>2,y=3,4,5,‎ x=3,y>1,y=2,3,4,5,‎ x=4,y>0,y=1,2,3,4,5,‎ x=5,y>1,y=2,3,4,5,‎ 共18种情况,‎ 故y>|x-4|的概率P2=‎18‎‎25‎.‎ ‎18.(2015山西朔州怀仁一中一模,文18,古典概型的概率,解答题)某次比赛结束后,a,b,c,d四名选手成功晋级四强,在接下来的比赛中,他们取得任何一个名次的机会均相等,且无并列名次,已知c,d两名选手已全部进入前3名,求:‎ ‎(1)选手a取得第一名的概率;‎ ‎(2)选手c的名次排在选手a的名次之前的概率.‎ 解:(1)基本事件有:bcda,bdca,cbda,adba,dbca,dcba,acdb,adcb,cadb,cdab,dacb,dcab,共12种情形,而选手a获得第一名的情形有:acdb,adcb,共2种情形.‎ 所以选手a获得第一名的概率为P1=‎1‎‎6‎.‎ ‎(2)由(1)知,选手a的名次排在选手c的名次之前,有acdb,adcb,dacb共3种情形,故所求概率为1-‎3‎‎12‎‎=‎‎3‎‎4‎.‎ ‎19.(2015甘肃张掖一模,文19,古典概型的概率,解答题)某小组共有A,B,C,D,E五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重指标(单位:千克/米2)如下表所示:‎ A B C D E 身高 ‎1.69‎ ‎1.73‎ ‎1.75‎ ‎1.79‎ ‎1.82‎ 体重指标 ‎19.2‎ ‎25.1‎ ‎18.5‎ ‎23.3‎ ‎20.9‎ ‎(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率;‎ ‎(2)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率.‎ 解:(1)从身高低于1.80的同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)共6个.‎ 由于每个同学被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.‎ 选到的2人身高都在1.78以下的事件有:(A,B),(A,C),(B,C)共3个.‎ 因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P=‎3‎‎6‎‎=‎‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)从该小组同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10个.‎ 由于每个同学被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.‎ 选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有:(C,D)(C,E),(D,E)共3个.‎ 因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率P=‎3‎‎10‎.‎ ‎161‎ 古典概型与其他知识的交汇(平面向量、直线、圆、函数等)‎ ‎13.(2015江西六校联考二模,文13,古典概型与其他知识的交汇(平面向量、直线、圆、函数等),填空题)在集合A={0,2,3}中随机取一个元素m,在集合B={1,2,3}中随机取一个元素n,得到点P(m,n),则点P落在圆x2+y2=9内部的概率为　　　　　. ‎ 解析:由题意可得点P(m,n)的所有结果有(0,1),(0,2),(0,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共9种情况,每种结果等可能出现,属于古典概率.‎ 记“点P在圆x2+y2=9内部”为事件A,即m2+n2<9,则A包含的结果有(0,1),(0,2),(2,1),(2,2)共4种情况.‎ 由古典概率的计算公式可得P(A)=‎4‎‎9‎.‎ 答案:‎‎4‎‎9‎ ‎15.(2015江西三县部分高中一模,文15,古典概型与其他知识的交汇(平面向量、直线、圆、函数等),填空题)已知f(x)与g(x)都是定义在R上的函数,g(x)≠0,f'(x)g(x)‎‎15‎‎16‎,可解得k>4,‎ ‎∴所求概率P=‎4‎‎8‎‎=‎‎1‎‎2‎.‎ 答案:‎‎1‎‎2‎ ‎162‎ 古典概型与统计的综合 ‎1.(2015山西太原一模,文18,古典概型与统计的综合,解答题)为了考察某厂2 000名工人的生产技能情况,随机抽查了该厂n名工人某天的产量(单位:件),整理后得到如下的频率分布直方图(产品数量的分组区间为[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35]),其中产量在[20,25)的工人有6名.‎ ‎(1)求这一天产量不小于25的工人人数;‎ ‎(2)工厂规定从产量低于20件的工人中随机地选取2名工人进行培训,求这2名工人不在同一组的概率.‎ 解:(1)由题意得,产量为[20,25)的概率为0.06×5=0.3,∴n=‎6‎‎0.3‎=20.‎ ‎∴这一天产量不小于25的工人人数为(0.05+0.03)×5×20=8.‎ ‎(2)由题意得,产量为[10,15)工人人数为20×0.02×5=2,设他们分别是A,B,产量在[15,20)工人人数为20×0.04×5=4,设他们分别是,a,b,c,d.‎ 则从产量低于20件的工人中选取2名工人的结果为:(A,B),(A,a),(A,b),(A,c)(A,d),(B,a),(B,b),(B,c)(B,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共有15种结果,其中2名工人不在同一组的结果为(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),共8种.‎ 故这2名工人不在同一组的概率为‎8‎‎15‎.‎ ‎19.(2015甘肃张掖4月模拟,文19,古典概型与统计的综合,解答题)为了了解某学段1 000名学生的百米跑成绩情况,随机抽取了若干学生的百米跑成绩,成绩全部介于13秒与18秒之间,将成绩按如下方式分成五组:第一组[13,14);第二组[14,15);…;第五组[17,18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19,且第二组的频数为8.‎ ‎(1)将频率当作概率,请估计该学段学生中百米跑成绩在[16,17)内的人数以及所有抽取学生的百米跑成绩的中位数(精确到0.01秒);‎ ‎(2)若从第一、五组中随机取出两个成绩,求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率.‎ 解:(1)设前3组的频率依次为3x,8x,19x,‎ 则由题意可得3x+8x+19x=1-0.32-0.08=0.6,‎ 由此得x=0.02,∴第二组的频率为0.16.‎ ‎∵第二组的频数为8,‎ ‎∴抽取的学生总人数为‎8‎‎0.16‎=50.‎ 由此可估计学生中百米跑成绩在[16,17)内的人数=0.32×50=16.‎ 设所求中位数为m,由前可知第一组、第二组、第三组的频率分别为0.06,0.16,0.38,则0.06+0.16+0.38(m-15)=0.5,解得m≈15.74.‎ 所以估计学生中百米跑成绩在[16,17)内的为16人;所有抽取学生的百米跑成绩的中位数为15.74秒.‎ ‎(2)记“两个成绩的差的绝对值大于1秒”为事件A.‎ 由(1)可知从第一组抽取的人数=0.02×3×50=3(人),不妨记为a,b,c.‎ 从第五组抽取的人数=0.08×50=4,不妨记为1,2,3,4,则从第一、五组中随机取出两个成绩有:ab,ac,a1,a2,a3,a4,bc,b1,b2,b3,b4,c1,c2,c3,c4,12,13,14,23,24,34这21种可能;‎ 其中两个成绩的差的绝对值大于1秒的来自不同的组,共有12种.‎ ‎∴P(A)=‎12‎‎21‎‎=‎‎4‎‎7‎.‎ ‎∴两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率为‎4‎‎7‎.‎ ‎18.(2015贵州黔东南州一模,文18,古典概型与统计的综合,解答题)某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者,现从符合条件的志愿者中随机抽取100名,按年龄所在的区间分组:第1组:[20,25);第2组:[25,30);第3组:[30,35);第4组:[35,40);第5组:[40,45].得到的频率分布直方图如下图所示.‎ ‎(1)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动,应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者?‎ ‎(2)在满足条件(1)时,该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验,求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.‎ 解:(1)第3组的人数为0.06×5×100=30,‎ 第4组的人数为0.04×5×100=20,‎ 第5组的人数为0.02×5×100=10,‎ 所以第3,4,5组共60名志愿者;‎ 利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数为:‎ 第3组:‎30×6‎‎60‎=3;‎ 第4组:‎20×6‎‎60‎=2;‎ 第5组:‎10×6‎‎60‎=1;‎ 所以应从第3,4,5组中分别抽取的人数为3人,2人,1人.‎ ‎(2)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1;‎ 从6名志愿者中取2名志愿者有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共15种方法;‎ 其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共9种;‎ 所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为‎9‎‎15‎‎=‎‎3‎‎5‎.‎ ‎18.(2015黑龙江绥化重点中学二模,文18,古典概型与统计的综合,解答题)某校甲、乙两个班级各有5名编号分别为1,2,3,4,5的学生进行投篮训练,每人投10次,投中的次数统计如下表:‎ 学生 ‎1号 ‎2号 ‎3号 ‎4号 ‎5号 甲班 ‎6‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎8‎ 乙班 ‎4‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎(1)从统计数据看,甲、乙两个班哪个班的同学投篮水平更稳定(用数据说明)?‎ ‎(2)在本次训练中,从两班中分别任选一个同学,比较两人的投中次数,求甲班同学投中次数多于乙班同学投中次数的概率.‎ 解:(1)两个班数据的平均值都为7,‎ 甲班的方差s甲‎2‎‎=‎‎1‎‎5‎[(6-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(8-7)2]=2,‎ 乙班的方差s乙‎2‎‎=‎‎1‎‎5‎[(4-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(7-7)2+(7-7)2]=‎14‎‎5‎,‎ 因为s甲‎2‎‎<‎s乙‎2‎,甲班的方差较小,所以甲班的投篮水平比较稳定.‎ ‎(2)甲班1到5号记作a,b,c,d,e,乙班1到5号记作1,2,3,4,5,从两班中分别任选一个同学,得到的基本样本空间为Ω={a1,a2,a3,a4,a5,b1,b2,b3,b4,b5,c1,c2,c3,c4,c5,d1,d2,d3,d4,d5,e1,e2,e3,e4,e5},‎ 共25个基本事件组成,这25个基本事件是等可能的.‎ 将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作A,则A={a1,b1,c1,d1,e1,d2,d4,e4,d5,e5},A由10个基本事件组成,‎ 所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为‎10‎‎25‎‎=‎‎2‎‎5‎.‎ ‎18.(2015江西新余二模,文18,古典概型与统计的综合,解答题)随机抽取某中学高三年级甲、乙两班各10名同学,测量出他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.其中甲班有一个数据被污损.‎ ‎(1)若已知甲班同学身高平均数为170 cm,求污损处的数据;‎ ‎(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学,求身高为176 cm的同学被抽中的概率.‎ 解:(1)设污损处该同学的身高为a,‎ ‎∵甲班同学身高平均数为170 cm,‎ ‎∴x‎=‎‎1‎‎10‎(158+162+163+168+168+170+171+179+a+182)=170.‎ 解得a=179,∴污损处是9.‎ ‎(2)设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A,从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有:{181,173},{181,176},{181,178},{181,179},{179,173},{179,176},{179,178},{178,173},{178,176},{176,173},共10个基本事件,‎ 而事件A含有4个基本事件,‎ ‎∴P(A)=‎4‎‎10‎‎=‎‎2‎‎5‎.‎ ‎18.(2015贵州贵阳一模,文18,古典概型与统计的综合,解答题)某校研究性学习小组,为了分析2014年某国的宏观经济形势,查阅了有关材料,得到了2013年和2014年1~5月CPI同比(即当年某月与前一年同月相比)的增长数据(见下表),但2014年三月,四月,五月的数据(分别为x,y,z)没有查到,有的同学清楚地记得2014年的5个CPI数据成等差数列.‎ ‎(1)求x,y,z的值和2014年1~5月该国CPI数据的方差;‎ ‎(2)一般认为,某月的CPI数据达到或超过3个百分点就已经通货膨胀,而达到或超过5个百分点为严重通货膨胀,先随机从2013年5个月和2014年5个月的数据中各抽取一个数据,求抽的数据的月份相同且2013年通货膨胀2014年严重通货膨胀的概率.该国2013年和2014年1~5月份的CPI数据(单位:百分点,1个百分点=1%)如下表.‎ 年份 一月 二月 三月 四月 五月 ‎2013‎ ‎2.7‎ ‎2.4‎ ‎2.8‎ ‎3.1‎ ‎3.9‎ ‎2014‎ ‎4.9‎ ‎5.0‎ x y z 解:(1)∵2014年的5个CPI数据4.9,5.0,x,y,z成等差数列,‎ ‎∴公差d=5-4.9=0.1,‎ ‎∴x=5.1,y=5.2,z=5.3.‎ ‎∴2014年1~5月该国CPI数据的平均值为:‎ x‎=‎‎1‎‎5‎‎(4.9+5.0+5.1+5.2+5.3)=5.1,‎ s2=‎1‎‎5‎[(4.9-5.1)2+(5.0-5.1)2+(5.1-5.1)2+(5.2-5.1)2+(5.3-5.1)2]=0.02.‎ ‎(2)先随机从2013年5个月和2014年5个月的数据中各抽取一个数据,基本事件总数n=5×5=25,抽的数据的月份相同且2013年通货膨胀2014年严重通货膨胀,包含的基本事件个数m=2,∴抽的数据的月份相同且2013年通货膨胀2014年严重通货膨胀的概率P=mn‎=‎‎2‎‎25‎.‎ ‎18.(2015江西重点中学协作体二模,文18,古典概型与统计的综合,解答题)两会结束后,房价问题仍是国民关注的热点问题,某高校金融学一班的学生对某城市居民对房价的承受能力(如能买每平方米6千元的房子即承受能力为6千元)的调查作为社会实践,进行调查统计,将承受能力数据按区间[2.5,3.5),[3.5,4.5),[4.5,5.5),[5.5,6.5),[6.5,7.5](千元)进行分组,得到如下统计图:‎ ‎(1)求a的值,并估计该城市居民的平均承受能力是多少元;‎ ‎(2)若用分层抽样的方法,从承受能力在[3.5,4.5)与[5.5,6.5)的居民中抽取5人,在抽取的5人中随机取2人,求2人的承受能力不同的概率.‎ 解:(1)由各组的累积频率为1,可得0.1+0.1+0.14+0.45+a=1,所以a=0.21.‎ 平均承受能力x=3×0.1+4×0.14+5×0.45+6×0.21+7×0.1=5.07,‎ 即城市居民的平均承受能力大约为5 070元.‎ ‎(2)用分层抽样的方法在这两组中抽5人,即在[3.5,4.5)组中抽2人,在[5.5,6.5)中抽3人,‎ 设[3.5,4.5)组中两人为A1,A2,[5.5,6.5)组中三人为B1,B2,B3,从这5人中随机取2人,有A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3,B1B2,B1B3,B2B3,共10种,符合两人承受能力不同的有A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3,共6种,所以所求概率为P=‎6‎‎10‎‎=‎‎3‎‎5‎.‎ ‎18.(2015江西新八校联考一模,文18,古典概型与统计的综合,解答题)为了解某单位员工的月工资水平,从该单位500位员工中随机抽取了50位进行调查,得到如下频数分布表:‎ 月工资 ‎(单位:百元)‎ ‎[15,‎ ‎25)‎ ‎[25,‎ ‎35)‎ ‎[35,‎ ‎45)‎ ‎[45,‎ ‎55)‎ ‎[55,‎ ‎65)‎ ‎[65,‎ ‎75)‎ 男员工数 ‎1‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎4‎ 女员工数 ‎4‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎(1)完成如图月工资频率分布直方图(注意填写纵坐标);‎ ‎(2)试由图估计该单位员工月平均工资;‎ ‎(3)若从月工资在[25,35)和[45,55)两组所调查的女员工中随机选取2人,试求这2人月工资差不超过1 000元的概率.‎ 解:(1)如图.‎ ‎(2)20×0.1+30×0.2+40×0.3+50×0.2+60×0.1+70×0.1=43(百元),即该单位员工月平均工资估计为4 300元.‎ ‎(3)由上表可知:月工资在[25,35)组的有两名女工,分别记作甲和乙,月工资在[45,55)组的有四名女工,分别记作A,B,C,D.‎ 现在从这6人中随机选取2人的基本事件有如下15个:(甲,乙),(甲,A),(甲,B),(甲,C),(甲,D),(乙,A),(乙,B),(乙,C),(乙,D),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),其中月工资差不超过1 000元,即为同一组的有(甲,乙),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共7组,∴所求概率为P=‎7‎‎15‎.‎ ‎18.(2015江西上饶一模,文18,古典概型与统计的综合,解答题)某城市持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康,汽车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一,为此该城市实施了机动车尾号限行政策.现有家报社想调查了解该市区公民对“车辆限行”的态度,并在该城市里随机抽查了50人,将调查情况进行整理后制成下表:‎ 年龄(岁)‎ ‎[15,‎ ‎25)‎ ‎[25,‎ ‎35)‎ ‎[35,‎ ‎45)‎ ‎[45,‎ ‎55)‎ ‎[55,‎ ‎65)‎ ‎[65,‎ ‎75]‎ 频数 ‎2‎ ‎4‎ ‎20‎ ‎14‎ ‎5‎ ‎5‎ 支持的人数 ‎1‎ ‎3‎ ‎15‎ ‎11‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎(1)请估计该市公民对“车辆限行”的支持率(答案用百分比表示);‎ ‎(2)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中采用分层抽样选取3人进行跟踪调查,求选取的3人中有2人不支持“车辆限行”的概率.‎ 解:(1)支持的人数为1+3+15+11+4+4=38,故可得支持率是‎38‎‎50‎,可以估计该市公民对“车辆限行”的支持率是76%.‎ ‎(2)在[15,25),[25,35)的被调查者中的六人编号:把[15,25)中的两人编号:1号为支持,2号为不支持;把[25,35)中的四人编号:3号为支持,4号为支持,5号为支持,6号为不支持.‎ 利用分层抽样则应该在[15,25),[25,35)分别抽取1人、2人,则所有可能如下:(1,3,4),(1,3,5),(1,3,6),(1,4,5),(1,4,6),(1,5,6),(2,3,4),(2,3,5),(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6),‎ 以上共有12种情形,其中有2人不支持的有3种情形,所以选取的3人中有2人不支持“车辆限行”的概率为‎3‎‎12‎‎=‎‎1‎‎4‎.‎ ‎17.(2015江西红色六校二模,文17,古典概型与统计的综合,解答题)为了更好地了解某校高三学生期中考试的数学成绩情况,从所有高三学生中抽取40名学生,将他们的数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎(1)若该校高三年级有1 800人,试估计这次考试的数学成绩不低于60分的人数及60分以上的学生的平均分;‎ ‎(2)若从[40,50)与[90,100]这两个分数段内的学生中随机选取两名学生,求这两名学生成绩之差的绝对值不大于10的概率.‎ 解:(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1,所以10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1,解得a=0.03.‎ 根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为1-10×(0.005+0.01)=0.85.‎ 由于高三年级共有学生1 800人,可估计该校高三年级数学成绩不低于60分的人数约为1 800×0.85=1 530人.‎ 可估计不低于60分的学生数学成绩的平均分为:65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=66.25.‎ ‎(2)成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05=2人,成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1=4人,若从这6名学生中随机抽取2人,则总的取法有15种.‎ 如果两名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.‎ 如果一个成绩在[40,50)分数段内,另一个成绩在[90,100]分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.‎ 则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为7种,所以所求概率为P=‎7‎‎15‎.‎ ‎17.(2015江西宜春高安四校一模,文17,古典概型与统计的综合,解答题)已知某学校高一、高二、高三年级分别有16,12,8个班.现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三三个年级中抽取9个班进行调查,‎ ‎(1)求从高一、高二、高三年级分别抽取的班级个数;‎ ‎(2)若从抽取的高二、高三年级各个班中再随机抽取2个进行调查,求抽取的2个班中至少有1个来自高三年级的概率;‎ ‎(3)已知高二年级的A班和高三年级的B班在所抽取的9个班中,现再从这9个班中按高一、高二、高三每年级各抽取一个班进行调查,求高二年级的A班和高三年级的B班都被抽取的概率.‎ 解:(1)由题意知总体个数是16+12+8,要抽取的个数是9,‎16‎‎16+12+8‎×9=4,‎12‎‎16+12+8‎×9=3,‎8‎‎16+12+8‎×9=2,故应从高一年级抽取4个班;高二年级抽取3个班,高三年级抽取2个班.‎ ‎(2)由(1)知,高二年级的3个班,高三年级的2个班,不妨分别记为1,2,3,4,5,5个班中随机抽取2个班的基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个.‎ 设“抽取的2个班中至少有1个来自高三年级”为事件A,则事件A包括(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共7个,故P(A)=‎7‎‎10‎.‎ ‎(3)从这9个班中按高一、高二、高三每年级各抽取一个班进行调查共有4×3×2=24种,其中高二年级的A班和高三年级的B班都被抽取的有4×1×1=4种,故高二年级的A班和高三年级的B班都被抽取的概率为‎1‎‎6‎.‎ ‎18.(2015山西四校联考三模,文18,古典概型与统计的综合,解答题)如图所示,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况.乙组某个数据的个位数模糊,记为x,已知甲、乙两组的平均成绩相同.‎ ‎(1)求x的值,并判断哪组学生成绩更稳定;‎ ‎(2)在甲、乙两组中各抽出一名同学,求这两名同学的得分之和低于20分的概率.‎ 解:(1)x甲‎=‎‎1‎‎4‎(9+9+11+11)=10,‎ x乙‎=‎‎1‎‎4‎‎(8+9+10+x+12)=10,解得x=1.‎ 又s甲‎2‎‎=‎‎1‎‎4‎[(9-10)2+(9-10)2+(11-10)2+(11-10)2]=1,‎ s乙‎2‎‎=‎‎1‎‎4‎‎[(8-10)2+(9-10)2+(11-10)2+(12-10)2]=‎5‎‎2‎.‎ ‎∴s甲‎2‎‎<‎s乙‎2‎,∴甲组成绩比乙组稳定.‎ ‎(2)记甲组4名同学为:A1,A2,A3,A4;乙组4名同学为:B1,B2,B3,B4;‎ 分别从甲乙两组中各抽取一名同学所有可能的结果为:(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4),共16个基本事件,其中得分之和低于20分的共6个基本事件,‎ ‎∴得分之和低于20分的概率是P=‎6‎‎16‎‎=‎‎3‎‎8‎.‎ ‎18.(2015江西赣州兴国一模,文18,古典概型与统计的综合,解答题)已知某校在一次考试中,5名学生的数学和地理成绩如表:‎ 学生的编号i ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 数学成绩x ‎80‎ ‎75‎ ‎70‎ ‎65‎ ‎60‎ 地理成绩y ‎70‎ ‎66‎ ‎68‎ ‎64‎ ‎62‎ ‎(1)根据上表,利用最小二乘法,求出y关于x的线性回归方程y‎^‎‎=‎b‎^‎x+a‎^‎(其中b‎^‎=0.36);‎ ‎(2)利用(1)中的线性回归方程,试估计数学90分的同学的地理成绩(四舍五入到整数);‎ ‎(3)若从五人中选2人参加数学竞赛,其中1,2号不同时参加的概率是多少?‎ 解:(1)x‎=‎‎1‎‎5‎(80+75+70+65+60)=70,‎ y‎=‎‎1‎‎5‎‎(70+66+68+64+62)=66,‎ ‎∴a‎^‎‎=y-‎b‎^‎x=40.8.‎ ‎∴y关于x的线性回归方程为y‎^‎=0.36x‎^‎+40.8.‎ ‎(2)若x=90,则y=0.36×90+40.8≈73.‎ 即数学90分的同学的地理成绩估计为73分.‎ ‎(3)五人中选两人的不同选法有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种不同选法,其中1,2号不同时参加的有9种,‎ ‎∴两个不同时参加的概率P=‎9‎‎10‎.‎ ‎17.(2015山西太原外国语学校4月模拟,文17,古典概型与统计的综合,解答题)某高校在2015年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下所示.‎ 组号 分组 频数 频率 第1组 ‎[160,165)‎ ‎5‎ ‎0.050‎ 第2组 ‎[165,170)‎ ‎①‎ ‎0.350‎ 第3组 ‎[170,175)‎ ‎30‎ ‎②‎ 第4组 ‎[175,180)‎ ‎20‎ ‎0.200‎ 第5组 ‎[180,185)‎ ‎10‎ ‎0.100‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ ‎(1)请先求出频率分布表中①,②位置处的数据,再完成下列频率分布直方图;‎ ‎(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试,求第3,4,5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?‎ ‎(3)在(2)的前提下,学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官的面试,求:第4组至少有一名学生被考官A面试的概率?‎ 频率分布直方图 解:(1)由题可知,第2组的频数为0.35×100=35人,‎ 第3组的频率为‎30‎‎100‎=0.300,‎ 频率分布直方图如图所示.‎ 频率分布直方图 ‎(2)因为第3,4,5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,‎ 每组分别为:‎ 第3组:‎30‎‎60‎×6=3人,‎ 第4组:‎20‎‎60‎×6=2人,‎ 第5组:‎10‎‎60‎×6=1人,‎ 所以第3,4,5组分别抽取3人、2人、1人.‎ ‎(3)设第3组的3位同学为A1,A2,A3,第4组的2位同学为B1,B2,第5组的1位同学为C1,则从六位同学中抽两位同学有15种情形如下:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),‎ 其中第4组的2位同学为B1,B2至少有一位同学入选的有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(B1,B2),(A3,B2),(B1,C1),(B2,C1),9种情形,‎ 所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为‎9‎‎15‎‎=‎‎3‎‎5‎.‎ ‎19.(2015甘肃庆阳一诊,文19,古典概型与统计的综合,解答题)现从某100件中药材中随机抽取10件,以这10件中药材的重量(单位:克)作为样本,样本数据的茎叶图如图.‎ ‎(1)求样本数据的中位数、平均数,并估计这100件中药材的总重量;‎ ‎(2)记重量在15克以上的中药材为优等品,在该样本的优等品中,随机抽取2件,求这2件中药材的重量之差不超过2克的概率.‎ 解:(1)样本数据的中位数是‎12+17‎‎2‎=14.5,‎ 样本数据的平均数是 ‎8+9+10+12+12+17+18+20+21+23‎‎10‎‎=15.‎ 根据样本数据估计总体的思想可得,这100件中药材重量的平均数是15克,因此,估计这100件中药材的总重量约为100×15=1 500克.‎ ‎(2)这10件中药材的优等品的重量有17克、18克、20克、21克、23克.‎ 从10件中药材的优等品中随机抽取2件,所有基本事件有:(17,18),(17,20),(17,21),(17,23),(18,20),(18,21),(18,23),(20,21),(20,23),(21,23),共10个.‎ 记“2件优等品的重量之差不超过2克”为事件A,则事件A的基本事件有:(17,18),(18,20),(20,21),(21,23)共4个.∴P(A)=‎4‎‎10‎‎=‎‎2‎‎5‎.‎ ‎∴这2件中药材的重量之差不超过2克的概率为‎2‎‎5‎.‎ ‎18.(2015甘肃河西五地一模,文18,古典概型与统计的综合,解答题)为了了解湖南各景点在大众中的熟知度,随机对15~65岁的人群抽取了n人,回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点?”统计结果如下图表.‎ 组号 分组 回答正确 的人数 回答正确的人数 占本组的频率 第1组 ‎[15,25)‎ a ‎0.5‎ 第2组 ‎[25,35)‎ ‎18‎ x 第3组 ‎[35,45)‎ b ‎0.9‎ 第4组 ‎[45,55)‎ ‎9‎ ‎0.36‎ 第5组 ‎[55,65]‎ ‎3‎ y ‎(1)分别求出a,b,x,y的值;‎ ‎(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,求第2,3,4组每组各抽取多少人?‎ ‎(3)在(2)抽取的6人中随机抽取2人,求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.‎ 解:(1)由频率表中第4组数据可知,第4组总人数为‎9‎‎0.36‎=25,再结合频率分布直方图可知n=‎25‎‎0.025×10‎=100.‎ ‎∴a=100×0.01×10×0.5=5,b=100×0.03×10×0.9=27,x=‎18‎‎20‎=0.9,y=‎3‎‎15‎=0.2.‎ ‎(2)∵第2,3,4组回答正确的人数共有54人,‎ ‎∴利用分层抽样在54人中抽取6人,每组分别抽取的人数为:‎ 第2组:‎18‎‎54‎×6=2人;‎ 第3组:‎27‎‎54‎×6=3人;‎ 第4组:‎9‎‎54‎×6=1人.‎ ‎(3)设第2组2人为:A1,A2;第3组3人为:B1,B2,B3;第4组1人为:C1.‎ 则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B2,B3),(B2,C1),(B3,C1),共15个基本事件,其中恰好没有第3组人共3个基本事件.‎ ‎∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是:P=‎3‎‎15‎‎=‎‎1‎‎5‎.‎ ‎11.3几何概型 ‎163‎ 与角度、长度有关的几何概型 ‎1.(2015广西柳州一模,文7,与角度、长度有关的几何概型,选择题)在区间‎0,‎π‎2‎上随机取一个数x,使得01的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎6‎ B.‎1‎‎4‎ C.‎1‎‎3‎ D.‎‎2‎‎3‎ 解析:∵2sin x>1,x∈[0,2π],∴x∈π‎6‎‎,‎‎5π‎6‎.‎ ‎∴P=‎5π‎6‎‎-‎π‎6‎‎2π‎=‎‎1‎‎3‎.‎ 答案:C ‎14.(2015江西新余二模,文14,与角度、长度有关的几何概型,填空题)在区间[-3,5]上随机取一个数a,则使函数f(x)=x2+2ax+4无零点的概率是　　　　　. ‎ 解析:由已知区间[-3,5]长度为8,使函数f(x)=x2+2ax+4无零点即判别式Δ=4a2-16<0,解得-21的概率是(　　)‎ A.‎2π-4‎‎4‎ B.π-2‎‎4‎ C.π‎4‎ D.‎‎4-π‎4‎ 解析:由题意可得,区域‎0≤x≤1,‎‎0≤y≤1‎表示的是以1为边长的正方形ABCO,其面积为1,x2+y2>1的区域为正方形内单位圆外的部分,则阴影部分的面积S=1-‎1‎‎4‎×π×12=1-π‎4‎,则对应的概率P=‎1-‎π‎4‎‎1‎‎=‎‎4-π‎4‎.‎ 答案:D ‎5.(2015江西上饶一模,文5,与面积、体积有关的几何概型,选择题)设区域D是由原点O,A(1,0),B(1,2),C(0,2)四点构成的矩形区域,区域E是区域D中满足(x-1)2+(y-2)2≥1的一部分,从D内随机取一个点M,则点M在E内的概率为(　　)‎ A.‎8-π‎8‎ B.‎4-π‎4‎ C.π‎8‎ D.‎π‎4‎ 解析:由题意,区域D如图,区域E如图中阴影部分,SD=1×2=2,SE=2-‎1‎‎4‎π,由几何概型的公式得从D内随机取一个点M,则点M在E内的概率为‎2-‎1‎‎4‎π‎2‎‎=‎‎8-π‎8‎.‎ 答案:A ‎7.(2015江西上饶重点中学二模,文7,与面积、体积有关的几何概型,选择题)记集合A={(x,y)|x2+y2≤16},集合B={(x,y)|x+y-4≤0,(x,y)∈A}表示的平面区域分别为Ω1,Ω2.若在区域Ω1内任取一点P(x,y),则点P落在区域Ω2中的概率为(　　)‎ A.π-2‎‎4π B.‎3π+2‎‎4π C.π+2‎‎4π D.‎‎3π-2‎‎4π 解析:由题意,两个区域对应的图形如图,其中SΩ‎1‎=16π,SΩ‎2‎‎=‎‎3‎‎4‎×16π+‎1‎‎2‎×42=12π+8,由几何概型的公式可得点P落在区域Ω2中的概率为‎12π+8‎‎16π‎=‎‎3π+2‎‎4π.‎ 答案:B ‎14.(2015江西红色六校二模,文14,与面积、体积有关的几何概型,填空题)在区间[0,4]内随机取两个数a,b,则使得函数f(x)=x2+ax+b2有零点的概率为　　　　　. ‎ 解析:∵两个数a,b在区间[0,4]内随机地取,∴以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系,可得对应的点(a,b)在如图的正方形OABC及其内部任意取,其中A(0,4),B(4,4),C(4,0),O为坐标原点.若函数f(x)=x2+ax+b2有零点,则Δ=a2-4b2≥0,解之得a≥2b,满足条件的点(a,b)在直线a-2b=0的下方,且在正方形OABC内部的三角形,其面积为S1=‎1‎‎2‎×4×2=4.‎ ‎∵正方形OABC的面积为S=4×4=16,‎ ‎∴函数f(x)=x2+ax+b2有零点的概率为P=S‎1‎S‎=‎4‎‎16‎=‎‎1‎‎4‎.‎ 答案:‎‎1‎‎4‎ ‎4.(2015江西宜春高安四校一模,文4,与面积、体积有关的几何概型,选择题)在边长为1的正方形ABCD内任取一点P,则P到点A和C的距离都小于1的概率为(　　)‎ A.π‎2‎ B.π-2‎π C.π‎4‎ D.‎π-2‎‎2‎ 解析:满足条件的正方形ABCD,其中满足动点P到点A和C的距离都小于1的平面区域如图中阴影所示:‎ 则正方形的面积S正方形=1,阴影部分的面积S阴影=2π‎4‎‎-‎‎1‎‎2‎,‎ 故所求概率P=S阴影S正方形‎=π‎2‎‎-1‎‎1‎=‎π-2‎‎2‎.‎ 答案:D ‎14.(2015甘肃庆阳一诊,文14,与面积、体积有关的几何概型,填空题)如图所示的是以正方形的顶点A为圆心,边长为半径画弧形成的图形,现向正方形内投掷一颗豆子(假设豆子不落在线上),则恰好落在阴影部分的概率为　　　　　. ‎ 解析:令正方形的边长为a,则S正方形=a2,‎ 则扇形所在圆的半径也为a,则S扇形=‎1‎‎4‎πa2,‎ 则豆子恰好落在阴影部分的概率为P=1-‎1‎‎4‎π.‎ 答案:1-‎1‎‎4‎π ‎13.(2015甘肃张掖二模,文13,与面积、体积有关的几何概型,填空题)在正方形ABCD中,点E为AD的中点,若在正方形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q落在△ABE内部的概率是　　　　　. ‎ 解析:由几何概型的计算方法,设正方形的边长为1,‎ 则S△ABE=‎1‎‎2‎×1×‎1‎‎2‎‎=‎‎1‎‎4‎,S正方形ABCD=1,‎ ‎∴所求事件的概率为P=‎1‎‎4‎.‎ 答案:‎‎1‎‎4‎ ‎165‎ 生活中的几何概型问题