2019-2020学年山东省济南市第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年山东省济南市第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年山东省济南市第一中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，则∁UA=（ ）‎ A．{4} B．{2，4，5} C．{4，5} D．{1，3，4}‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由题意，直接根据补集的定义求出∁UA，即可选出正确选项 解：因为U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}‎ 所以∁UA={4，5}‎ 故选：C．‎ ‎【考点】补集及其运算．‎ ‎2．下列四个命题中的真命题为（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】中不等式解集中不包含整数；中解方程可知；中解方程可知方程的解为；可知均为假命题；中，根据可知不等式恒成立，则为真命题.‎ ‎【详解】‎ 中，由得： 时无满足不等式的取值，为假命题；‎ 中，由得： ，为假命题；‎ 中，由得： 当时，等式不成立，为假命题；‎ 中，，可知对恒成立，为真命题.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查真假命题的判定，涉及到不等式和方程的求解问题，属于基础题.‎ ‎3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据奇偶性的判定可知中函数均为非奇非偶函数，可排除；中函数存在单调递减区间，排除；中函数满足奇函数定义；当时可知函数单调递增，由对称性可确定函数在上为增函数，则正确.‎ ‎【详解】‎ 中，，，可知为非奇非偶函数，则错误；‎ 中，，可知为奇函数 当时，，则函数在上为增函数 又奇函数图象关于原点对称 在上为增函数 在上为增函数，则正确；‎ 中，的定义域为，不关于原点对称 为非奇非偶函数，则错误；‎ 中，在上单调递减，则错误.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性和单调性的判断，考查学生对于常见函数的单调性和奇偶性的掌握情况，属于基础题.‎ ‎4．关于x的不等式对一切恒成立，则a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】当时，可知不等式恒成立；当时，由二次函数图象和性质可得不等式组，解不等式组求得结果.‎ ‎【详解】‎ 当时，不等式为，恒成立，满足题意；‎ 当时，由恒成立得：，解得：‎ 综上所述：的取值范围为 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是能够根据二次函数的图象和性质得到不等式组；易错点是忽略二次项系数等于零的讨论.‎ ‎5．“”是“关于x的方程有实数根”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 ‎【答案】A ‎【解析】根据一元二次方程有实数根可得，从而解得的取值范围；由推出关系可确定结果.‎ ‎【详解】‎ 当方程有实数根可得：，解得：‎ ‎，‎ ‎“”是“关于的方程有实数根”的充分不必要条件 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是能够根据一元二次方程有实数根求得的取值范围.‎ ‎6．已知，，且，则ab的最大值为（ ）‎ A． B．4 C． D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】由基本不等式可构造关于的不等式，解不等式求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎， （当且仅当时取等号）‎ ‎，解得：，即的最大值为 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用基本不等式求解最值的问题，属于基础题.‎ ‎7．，，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由集合包含关系可得不等式组，解不等式组求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ，解得：‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据集合的包含关系求解参数范围的问题，易错点是对于区间端点值能否取得的判断.‎ ‎8．已知，则f（5）=‎ A． B． C． D．lg5‎ ‎【答案】D ‎【解析】令，，故选D.‎ ‎9．列车从A地出发直达500km外的B地，途中要经过离A地300km的C地，假设列车匀速前进，5h后从A地到达B地，则列车与C地距离y（单位：km）与行驶时间t（单位；h）的函数图象为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据列车匀速行驶速度可知函数图象经过点，由此排除选项，得到正确结果.‎ ‎【详解】‎ 列车匀速前进 列车行驶速度 列车后到达地，此时距离地，即函数图象经过点 由此可排除，知正确 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据实际问题确定函数图象的问题，解决此类问题通常采用特殊值法排除的方式来确定正确结果.‎ ‎10．函数的单调递增区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由可求得定义域；根据复合函数“同增异减”性可判断出的单调递增区间.‎ ‎【详解】‎ 由得：或，即定义域为 又在上单调递减，上单调递增 在上单调递减 由复合函数单调性可知：在上单调递增 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合函数单调区间的求解问题，关键是明确复合函数单调性遵循“同增异减”原则；易错点是忽略函数定义域的要求，造成区间求解错误.‎ ‎11．若函数是定义在上的偶函数，在上是单调递增的，且，则使得的x的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由奇偶性和单调性的关系可确定在上单调递减且；由函数不等式可得，解不等式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 为上的偶函数，在上单调递增且 在上单调递减，‎ 由得：，解得：或，即的取值范围为 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，关键是能够将不等式转化为函数值之间的比较，进而根据单调性得到自变量之间的大小关系，属于常考题型.‎ ‎12．若函数是R上的单调递减函数，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由函数分段函数是R上的单调递减函数，得到且，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数是R上的单调递减函数，‎ 则满足且，解得，‎ 即实数的取值范围为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数的单调性的应用，其中解答中根据分段函数的单调性，准确列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ 二、多选题 ‎13．（多选）下列计算正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】BCD ‎【解析】根据根式运算法则、根式与分数指数幂的运算、指数运算和对数运算法则依次判断各个选项可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，错误；，正确；‎ ‎，正确；‎ ‎，正确.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根式、指数幂运算、对数运算法则的应用，属于基础题.‎ ‎14．〈多选〉设，且，则下列不等式成立的有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】CD ‎【解析】通过反例可知错误；由不等式的性质可知正确；根据的单调性可知正确.‎ ‎【详解】‎ 当，时，满足，此时，错误；‎ 当，时，满足，此时，错误；‎ 当时，，则，正确；‎ 在上单调递增，且 ，正确.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据不等式的性质、函数单调性判断不等式是否成立的问题，属于基础题.‎ ‎15．（多选）设，且，那么（ ）‎ A．有最小值 B．有最大值 C．ab有最大值 D．ab有最小值 ‎【答案】AD ‎【解析】将等式变为和，由基本不等式可分别得到关于和的不等式，解不等式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由得：（当且仅当时取等号）‎ 即且，解得：‎ 有最小值，知正确；‎ 由得：（当且仅当时取等号）‎ 即且，解得：‎ 有最小值，知正确.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够利用基本不等式将已知方程化为关于和的不等式；易错点是忽略和所处的范围，造成求解错误.‎ 三、填空题 ‎16．命题“，使”的否定为________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】由含量词命题的否定的基本原则可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 含存在量词命题的否定原则为变，只否定结论 原命题的否定为：，‎ 故答案为：，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.‎ ‎17．已知幂函数的图象过点，则______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值.‎ ‎【详解】‎ 设，由于图象过点,‎ 得，‎ ‎，‎ ‎，故答案为3.‎ ‎【点睛】‎ 本题考査幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.‎ ‎18．的解集为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令可解得两根，结合二次函数图象可得不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 令，解得：或 的解集为：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的求解，属于基础题.‎ ‎19．已知函数，若，则________．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】由可求得；根据可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数的性质求解函数值的问题，关键是能够熟练掌握对数运算法则，对已知式进行化简，属于基础题.‎ ‎20．用表示a，b两个数中的最小值，设，则的最大值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据定义可知表示取与函数值较小的部分，由此可得图象，根据图象可求得最大值.‎ ‎【详解】‎ 由的定义可得的图象如下图所示：‎ 由图象可知，的最大值为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查新定义运算中的函数最值的求解问题，关键是能够通过新定义运算确定函数的图象，根据数形结合求得结果.‎ ‎21．已知关于的不等式的解集为，，则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据，令时，或分母等于零，从而解得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎ 或，解得：或 的取值范围为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据集合和元素的关系求解参数范围的问题；解决元素不属于集合的问题时，直接求解需分类讨论，比较复杂，此时可直接由元素不满足不等式来进行求解；易错点是忽略分母等于零的情况.‎ 四、解答题 ‎22．已知二次函数的最小值为-4，且关于x的不等式的解集为．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）当时，求函数的值域．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）设，由一元二次不等式和一元二次方程的关系可利用韦达定理构造方程求得且；根据二次函数最值可构造方程求得，进而得到函数解析式；‎ ‎（2）根据二次函数性质可知，，从而得到函数值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设 的解集为 和为的两根且 ，即 最小值为 ，解得：‎ ‎（2）由（1）知，为开口方向向上，对称轴为的二次函数 当时，；当时，‎ 在上的值域为 ‎【点睛】‎ 本题考查待定系数法求解函数解析式、二次函数值域的求解问题；关键是能够根据一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系将函数解析式进行化简，进而根据函数最值求得参数值.‎ ‎23．（1）已知，求的最大值．‎ ‎（2）若在上是单调递增的，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）将函数化为，利用基本不等式可求得函数的最大值；‎ ‎（2）当时，函数为一次函数，根据单调性可知满足题意；当时，根据二次函数性质可知二次函数开口方向向上且对称轴，从而构造不等式求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，‎ ‎（当且仅当，即时取等号） ‎ 即的最大值为 ‎（2）当时，，此时在上单调递增，满足题意；‎ 当时，若在上单调递增，则，解得：‎ 综上所述：的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查利用基本不等式求解分式型函数的最值、根据二次函数在区间内的单调性求解参数范围的问题；易错点是忽略对于二次项系数等于零的情况，造成范围求解错误.‎ ‎24．已知定义在上的奇函数的图象经过点，且当时，．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）求函数的解析式．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）将代入函数解析式可构造方程求得；‎ ‎（2）当时，可知，由奇偶性可知，得到时的解析式；由奇函数性质知，从而得到函数的解析式.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）过点 ，解得：‎ ‎（2）由（1）知，当时，‎ 当时， ‎ 为上的奇函数 ‎ 当时，由奇函数性质知：‎ 综上所述：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数的奇偶性求解函数解析式的问题，关键是能够利用得到对称区间的解析式；易错点是忽略的情况.‎ ‎25．已知函数，（且）过点．‎ ‎（1）求实数a；‎ ‎（2）若函数，求函数的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若函数，求在的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】（1）将代入解析式，可构造方程求得的值；‎ ‎（2）根据解析式的变化原则可直接求得结果；‎ ‎（3）由（2）可得，采用换元法，可将函数化为，；分别在，和三种情况下，由二次函数性质得到函数单调性，进而确定最小值点，求得最小值，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）过点 ，即 ‎，解得：‎ ‎（2）由（1）知：‎ ‎，即 ‎（3）由（2）得：‎ ‎ ‎ 令，则 ‎ ‎①当时，在上单调递增 ‎ ‎②当时，在上单调递减，在上单调递增 ‎③当时，在上单调递减 ‎ 综上所述：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数解析式的求解、与指数函数有关的二次函数型的最值的求解问题，关键是能够通过换元法将问题转化为二次函数最值的求解问题，从而根据对称轴的不同位置得到所求的最值；易错点是换元时忽略新变量的取值范围.‎