专题08+二次函数与二次方程（检测）-2019年高考数学（文）名师揭秘之一轮总复习
《2019年高考数学名师揭秘》之一轮总复习（理科）
专题8二次函数与二次方程
本专题特别注意：
1.二次函数中定于域陷阱；
2.最值得应用陷阱；
3.隐含条件陷阱；
4.数形结合和陷阱；
5．参数讨论陷阱；
【学习目标】
1．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质；
2．会求二次函数的值域与最值；
3．运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式“三个二次”之间的联系去解决有关问题．
ax2＋bx＋c(a≠0)
知识要点】
R
y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
1．函数y＝___ __________________叫做二次函数，它的定义域是________，这是二次函数的一般形式．另外，还有顶点式：___________________________，其中(h，k)是抛物线顶点的坐标；两根式：_______________________________，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标．
2．二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
__________________
_______________
单调性
在x∈上单调递减
b＝0
在x∈上单调递增
在x∈_____________上单调递增
在x∈上单调递减
奇偶性
当________时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数
顶点
对称性
图象关于直线___________成轴对称图形
3.二次函数在闭区间上的最值
f(p)
若a＞0，二次函数f(x)在闭区间[p，q]上的最大值为M，最小值为N.令x0＝(p＋q)，
f(q)
①若－
q，则M＝f(p)，N＝________；
③若p≤－≤x0，则M＝f(q)，N＝__________；
④若x0<－≤q，则M＝f(p)，N＝f
4．根与系数的关系
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点M1(x1，0)，M2(x2，0)，这里的x1，x2是方程f(x)＝0的两根，且
|M1M2|＝|x1－x2|＝.
考点训练：
一、单选题
1．【海南省2018届高三第二次联合考试】已知为偶函数，对任意，恒成立，且当时，.设函数，则的零点的个数为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
解题思路：涉及函数的周期性及对称性问题，一般要关注条件中的以及函数的奇偶性，通过变形处理都可以转化为函数的对称性及周期性问题，结合对称性及周期性可研究函数零点个数及图像交点个数问题.
2．【浙江省温州市十五校联合体联考数学试题】在等差数列中，
，那么方程的根的情况是（ ）
A. 没有实根 B. 两个相等实根 C. 两个不等的负根 D. 两个不等的正根
【答案】C
【解析】由题意，根据等差数列通项公式的性质，得，则，又，由方程的差别式，则方程有两个不等的实根，且，，故正解答案为C.
3．【安徽省池州市贵池区2018期中检测 】已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】二次函数的对称轴为；∵该函数在上是增函数；∴，∴，∴实数的取值范围是，故选B.
4． 【衡水金卷】已知函数， 的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
5．（2017湖北荆州）规定：如果关于的一元二次方程
有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.现有下列结论：
①方程 是倍根方程；
②若关于的方程 是倍根方程，则a=±3；
③若关于x的方程 是倍根方程，则抛物线 与x轴的公共点的坐标是(2,0)和（4,0）；
④若点（m，n）在反比例函数 的图象上，则关于x的方程 是倍根方程
上述结论中正确的有（ ）
A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②④
【答案】C
【解析】①由x2﹣2x﹣8=0，得
（x﹣4）（x+2）=0，
解得x1=4，x2=﹣2，
∵x1≠2x2，或x2≠2x1，
∴方程x2﹣2x﹣8=0不是倍根方程．
故①错误；
②关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，
∴设x2=2x1，
∴x1•x2=2x12=2，
∴x1=±1，
当x1=1时，x2=2，
当x1=﹣1时，x2=﹣2，
∴x1+x2=﹣a=±3，
∴a=±3，故②正确；
③关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，
∴x2=2x1，
∵抛物线y=ax2﹣6ax+c的对称轴是直线x=3，
∴抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），
故③正确；
④∵点（m，n）在反比例函数的图象上，
∴mn=4，
解mx2+5x+n=0得x1=﹣，x2=﹣，
∴x2=4x1，
∴关于x的方程mx2+5x+n=0不是倍根方程；
故选：C．
6．【海南省2018届高三第二次联合考试】已知为偶函数，对任意， 恒成立，且当时， .设函数，则的零点的个数为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
7．【衡水金卷】已知函数（其中，且）在区间上单调递增，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数（其中，且）在区间
上单调递增，所以
令 选B.
8．【河北省保定市2018届高三第一次模拟】令，函数， 满足以下两个条件：①当时， 或；②， ， ，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ,
当时， ,所以当时， ， ,所以
因为， ，所以当时， 值域包含，所以，选B.
解题思路：研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆（A⊆）即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧)．
9．【云南省昆明市2018届高三教学质量检查（二统）】设函数的最小值是1，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】时， 的最小值为要使的最小值是1，必有时， 的最小值不小于，因为在 上递减，所以时， ，则，实数的取值范围是，故选B.
10．【北京市人大附中2017-2018学年高三十月月考】已知函数则
A. 在单调递增 B. 在单调递减
C. 的图像关于直线对称 D. 的图像关于点对称
【答案】C
11．若在定义域内存在实数，满足，则称为“有点奇函数”，若为定义域上的“有点奇函数”，则实数的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据“局部奇函数”的定义可知，函数有解即可，
即，
∴，
即有解即可，
设，则，
∴方程等价为在时有解，
设，
对称轴，
①若，则，
即，
∴，此时．
思路:研究二次函数最值或单调性，一般根据对称轴与定义区间位置关系进行分类讨论；研究二次方程在定义区间有解，一般从开口方向，对称轴位置，判别式正负，以及区间端点函数值正负四个方面进行考虑.
12．【湖北省武汉市2018届高中毕业生二月调研测试】如果函数
在区间上单调递减，那么的最大值为（ ）
A. 16 B. 18 C. 25 D. 30
【答案】B
【解析】因为，所以抛物线开口向下，所以，也即是，也即是，故，当且仅当等号成立，故选B.
解题思路：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. （3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理.
13．【山西省联考】在区间上任取一个数，则函数在上的最大值是3的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解题思路】本题主要考查几何概型概率公式、函数的最值以及分类讨论思想. 属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.
14．已知集合A={t | t2 – 4 ≤ 0}，对于满足集合A的所有实数t, 则使不等式x2 +tx- t＞2x-1
恒成立的x的取值范围是（ ）.
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由t2 – 4 ≤ 0解得，即时，恒成立，即恒成立，故只需
即 恒成立，因为，所以，故选A.
二、填空题
15．【山东师范大学附属中学2018学年下学期期中考试】已知，函数，若在上是单调减函数，则实数的取值范围是_________________．
【答案】
【解析】分析：先求导，得到在上恒成立，再列出a满足的不等式组，解不等式组即可.
点睛：本题考查了导数研究函数的性质，考查了二次函数的图像和性质，属于中档题.
16．【云南省曲靖市第一中学2018届高三4月高考复习质量监测卷】若，，，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意，，
则，由，则，即函数在上单调递增，则恒有，所以，又，所以，即，从而问题可得解.
17．函数的最小值为.
（1）求；
（2）若，求及此时的最大值.
【答案】(1) ；(2)答案见解析.
【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数间的基本关系化简函数解析式后，分三种情况：①小于﹣1时②大于﹣1而小于1时③大于1时，根据二次函数求最小值的方法求出f（x）的最小值g（a）的值即可；（2）把代入到第一问的g（a）的第二和第三个解析式中，求出a的值，代入f（x）中得到f（x）的解析式，利用配方可得f（x）的最大值．
试题解析：
（1）由
.这里
①若则当时，
②若当时，
③若则当时，
因此
（2）
①若，则有得，矛盾；
②若，则有即或（舍）.
时， 此时
当时， 取得最大值为5.
解题思路：二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取到；常见题型有：（1）轴固定区间也固定；（2）轴动（轴含参数），区间固定；（3）轴固定，区间动（区间含参数）. 找最值的关键是：（1）图象的开口方向；（2）对称轴与区间的位置关系；（3）结合图象及单调性确定函数最值.
18．【德阳市2018届高三二诊】如图，在三角形中，、分别是边、的中点，点在直线上，且 ，则代数式的最小值为__________．
【答案】
【解析】因为点共线，所以由，有
又因为、分别是边、的中点，
所以
原题转化为：当 时，求的最小值问题，
结合二次函数的性质可知，当 时，取得最小值为
故答案为.
【点睛】本题主要考查了平面向量的应用，解题的关键是向量共线定理的应用及结论“点共线，由，有”的应用
19．【北京海淀北京19中期中考试数学试题】已知函数的定义域为，求参数的取值范围__________．
【答案】
20．【北京市西城13中2018期中考试数学试题】已知函数是在区间上的减函数，在区间上的增函数，则的值是__________．
【答案】
【解析】函数是在区间上的减函数，在区间上的增函数，
所以二次函数开口向上，得： ，解得.
故答案为： .
解题思路：本题主要考查了二次函数的单调性的应用.二次函数的单调性以对称轴为分界线，易错点：忽视抛物线的开口方向，本题中抛物线开口向上，对称轴左侧区间对应的为函数的减区间，对称轴右侧区间对应函数的增区间.
21．已知函数，存在，使得，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
根据题意， ，由图象可知，
， ， ，故答案为.
22．【浙江省嵊州市2018学年高三第一学期期末教学】已知函数的最小值为，则实数的值为__________.
【答案】
【解析】（1）当时， ， ；(2)当时，①若时， ， ， ， ，无解.
②时， ， ， ，解得，综上所述，实数的值为，故答案为.
三、解答题
23．已知函数，其中，记函数的定义域为.
(1)求函数的定义域；
(2)若函数的最大值为2，求的值；
(3)若对于内的任意实数,不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）定义域为;(2) ;(3) .
【解析】试题分析：（1）根据函数的解析式，列出不等式组，即可求解函数的定义域；
（2）根据对数的运算，得，再利用二次函数的性质，即可得到函数的最大值，进而求解实数的值；
（3）由题意在恒成立，转化为在恒成立，
设，再利用换元法和基本不等式，即可求解函数的最小值，进而得到实数的取值范围.
试题解析：
（1）要使函数有意义：则有，解得－2＜x＜1
∴ 函数的定义域为.
（3）由在恒成立，
得
因为，所以
所以在恒成立
设，令
则
即，因为，
所以（当且仅当时，取等号
所以
所以 .
解题思路：本题主要考查了对数函数的图象与性质的综合应用，不等式的恒成立问题的求解，及基本不等式求最值，着重考查考生对概念的理解能力与应用能力、数形结合能力，解答中牢记对数函数的图象与性质，以及不等式的恒成立问题的处理方法是解答的关键.
24．已知函数在区间上有最大值4和最小值1，设.
（1）求的值；
（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）由，得在上为增函数，由题意，列出方程组，即可求得的值；
（2）化简不等式，分离参数得，设，利用换元法得出在上的最小值，即可求解的取值范围.
试题解析：
（1）
∵，∴在上为增函数，
∴，
∴
（2）由（1）知，∴
∴不等式可化为，
∴
令，∵，∴，
∴，
令，则，
由题意可得在上恒成立等价于
∴.
解题思路：本题考查了函数的最值问题及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中涉及到二次函数的图象与性质的综合应用，着重考查了恒成立问题中分类参数思想和换元思想的考查，对于恒成立问题的求解，利用分离参数法，转化为函数的最值问题是解答的关键，考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
25．已知函数，x∈[－1,1]，函数,a∈R的最小值为h（a）.
（1）求h（a）的解析式；
（2）是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①m>n>3；②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2)答案见解析.
【解析】试题分析：(1)为关于的二次函数,可用换元法,转化为二次函数在特定区间上的最值问题,定区间动轴;
(2)由(1)可知时,为一次函数且为减函数,求值域,找关系即可.
试题解析：（1）由,
知,
令,设,则,则的对称轴为,故有:
当时,的最小值,
②当时,的最小值,
③当时, 的最小值,
综上所述, h（a）＝
（2）当a≥3时，h（a）＝－6a＋12，故m>n>3时，h（a）在[n，m]上为减函数，
所以h（a）在[n，m]上的值域为[h（m），h（n）].
由题意，则有⇒，两式相减得6n－6m＝n2－m2，又m≠n，所以m＋n＝6，这与m>n>3矛盾，故不存在满足题中条件的m，n的值.
26．已知是偶函数.
（1）求的值;
（2）已知不等式对恒成立,求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）根据偶函数定义得,利用对数性质以及指数性质化简可得的值;（2）先根据函数单调性化简不等式为，再变量分离得，最后根据基本不等式求最小值，即得实数的取值范围.
又因为,所以,即的取值范围是.
27．对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数；②函数， 的值域是，则称区间为函数的“保值”区间．
（）求函数的所有“保值”区间．
（）函数是否存在“保值”区间？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）在的值域是，且，所以，所以，从而结合单调性列方程求解即可；
（2）分和两种情况分别在定义域上求值域列方程求解即可.
（）若函数存在“保值”区间，则有：
①若，此时函数在区间上单调递减，
所以 ，消去得，整理得．
因为，所以，即．
又， 所以．
因为，
所以．
②若，此时函数在区间上单调递增，
所以，消去得，整理得．
因为，所以，即．
又，所以．
因为，
所以．
综合①、②得，函数存在“保值”区间，此时的取值范围是．
28．定义域为的函数满足：对任意实数均有，且，又当时， .
（1）求、的值，并证明：当时， ；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）或。
【解析】试题分析：（1）令，得，令， 得，令，得，设，则，
（2）利用单调性的定义证得为增函数，整理条件可得问题等价于对任意恒成立，等价于对任意恒成立，进而求函数最值即可.
试题解析：
（1）令，得，
令， 得，
令，得，
设，则，
因为
所以.
(2)设，
.
因为所以，所以为增函数.
上式等价于对任意恒成立，
因为，所以
上式等价于对任意恒成立，
设， （时取等），
所以， 或.
解题思路：本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.
方法总结
1．二次函数、一元二次不等式和一元二次方程是一个有机的整体，
要深刻理解它们之间的关系，运用函数方程的思想、方法将它们进行转化，这是准确迅速解决此类问题的关键．
2．对二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在[m，n]的最值的研究是本讲内容的重点，对如下结论必须熟练掌握：
(1)当x＝－∈[m，n]时，是它的一个最值，另一个最值在区间端点取得．
(2)当x＝－∉[m，n]时，最大值和最小值分别在区间的两个端点处取得．
(3)二次函数在某个区间上的最值问题的处理，常常要利用数形结合的思想和分类讨论的思想，当二次函数的表达式中含有参数或所给区间是变化的，需要考察二次函数的图象特征(开口方向、对称轴与该区间的位置关系)，抓住顶点的横坐标是否属于该区间，结合函数的单调性进行分类讨论和求解．
3．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a＞0且Δ＜0时f(x)＞0恒成立，当a＜0且Δ＜0时f(x)＜0恒成立．
4．二次函数问题大多通过数形结合求解，同时注意分类讨论和等价转化．
