2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练38 综合法、分析法、反证法

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2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练38 综合法、分析法、反证法

课时分层训练(三十八) 综合法、分析法、反证法 ‎(对应学生用书第271页)‎ A组 基础达标 一、选择题 ‎1.若a,b,c为实数,且aab>b2‎ C.< D.> B [a2-ab=a(a-b),‎ ‎∵a0,‎ ‎∴a2>ab. ①‎ 又ab-b2=b(a-b)>0,∴ab>b2, ②‎ 由①②得a2>ab>b2.]‎ ‎2.已知m>1,a=-,b=-,则以下结论正确的是(  )‎ A.a>b B.a<b C.a=b D.a,b大小不定 B [∵a=-=,‎ b=-=.‎ 而+>+>0(m>1),‎ ‎∴<,即a<b.]‎ ‎3.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求证0 B.a-c>0‎ C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0‎ C [由题意知0‎ ‎⇐(a-c)(2a+c)>0⇐(a-c)(a-b)>0.]‎ ‎4.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值(  )‎ A.恒为负值 B.恒等于零 C.恒为正值 D.无法确定正负 A [由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数,由x1+x2>0,可知x1>-x2,f(x1)<f(-x2)=-f(x2),则f(x1)+f(x2)<0,故选A.]‎ ‎5.设a,b是两个实数,给出下列条件: ‎ ‎【导学号:79140211】‎ ‎①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出 ‎“a,b中至少有一个大于1”的条件是(  )‎ A.②③ B.①②③‎ C.③ D.③④⑤‎ C [若a=,b=,则a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出;‎ 若a=b=1,则a+b=2,但不满足a,b中至少有一个大于1,故②推不出;‎ 若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,但a<1,b<1,故④推不出;‎ 若a=-2,b=-3,则ab>1,但a<1,b<1,故⑤推不出.‎ 对于③,若a+b>2,则“a,b中至少有一个大于1”成立.‎ 证明:(反证法)假设a≤1且b≤1,则a+b≤2,与a+b>2矛盾.‎ 因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.故选C.]‎ 二、填空题 ‎6.用反证法证明“若x2-1=0,则x=-1或x=1”时,应假设________.‎ x≠-1且x≠1 [“x=-1或x=1”的否定是“x≠-1且x≠1”.]‎ ‎7.设a>b>0,m=-,n=,则m,n的大小关系是__________.‎ m⇐a0,显然成立.]‎ ‎8.如果a+b>a+b,则a,b应满足的条件是________.‎ a≥0,b≥0且a≠b [a+b>a+b,即 ‎(-)2(+)>0,需满足a≥0,b≥0且a≠b.]‎ 三、解答题 ‎9.若a,b,c是不全相等的正数,求证: ‎ ‎【导学号:79140212】‎ lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c.‎ ‎[证明] ∵a,b,c∈(0,+∞),‎ ‎∴≥>0,≥>0,≥>0.‎ 又上述三个不等式中等号不能同时成立.‎ ‎∴··>abc成立.‎ 上式两边同时取常用对数,‎ 得lg>lg abc,‎ ‎∴lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c.‎ ‎10.设数列{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.‎ ‎(1)求证:数列{Sn}不是等比数列;‎ ‎(2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么?‎ ‎[解] (1)证明:假设数列{Sn}是等比数列,则S=S1S3,‎ 即a(1+q)2=a1·a1·(1+q+q2),‎ 因为a1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2,‎ 即q=0,这与公比q≠0矛盾,‎ 所以数列{Sn}不是等比数列.‎ ‎(2)当q=1时,Sn=na1,故{Sn}是等差数列;‎ 当q≠1时,{Sn}不是等差数列,‎ 否则2S2=S1+S3,即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2),‎ 得q=0,这与公比q≠0矛盾.‎ 综上,当q=1时,数列{Sn}是等差数列;当q≠1时,数列{Sn}不是等差数列.‎ B组 能力提升 ‎11.已知函数f(x)=,a,b是正实数,A=f,B=f(),C=f,则A,B,C的大小关系为(  )‎ A.A≤B≤C    B.A≤C≤B C.B≤C≤A D.C≤B≤A A [∵≥≥,又f(x)=在R上是减函数.‎ ‎∴f≤f()≤f,即A≤B≤C.]‎ ‎12.在不等边三角形ABC中,a为最大边,要想得到∠A为钝角的结论,三边a,b,c应满足__________. ‎ ‎【导学号:79140213】‎ a2>b2+c2 [由余弦定理cos A=<0,得b2+c2-a2<0,即a2>b2+c2.]‎ ‎13.若f(x)的定义域为[a,b],值域为[a,b](a-2),使函数h(x)=是区间[a,b]上的“四维光军”函数?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎[解] (1)由题设得g(x)=(x-1)2+1,其图像的对称轴为x=1,区间[1,b]在对称轴的右边,所以函数在区间[1,b]上单调递增.‎ 由“四维光军”函数的定义可知,g(1)=1,g(b)=b,‎ 即b2-b+=b,解得b=1或b=3.‎ 因为b>1,所以b=3.‎ ‎(2)假设函数h(x)=在区间[a,b](a>-2)上是“四维光军”函数,‎ 因为h(x)=在区间(-2,+∞)上单调递减,‎ 所以有即 解得a=b,这与已知矛盾.故不存在.‎
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