2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：2-3　二次函数与幂函数（讲解部分）

2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：2-3　二次函数与幂函数（讲解部分）

考点一    二次函数 考点清单 考向基础 二次函数的图象和性质 解析式 f ( x )= ax 2 + bx + c ( a >0) f ( x )= ax 2 + bx + c ( a <0) 图象     定义域 R R 值域     最值 f ( x ) min =   f ( x ) max =   单调性 在   上单调递减; 在   上单调递增 在   上单调递增; 在   上单调递减 奇偶性 当 b =0时为偶函数;当 b ≠ 0时为非奇非偶函数 顶点 坐标   对称性 图象关于直线 x =-   对称 考向突破 考向    二次函数的图象和性质 例     (2019河南八市重点中学第二次联考,8)已知 f ( x )= x 2 +2 x +1+ a , ∀ x ∈R, f ( f ( x )) ≥ 0恒成立,则实数 a 的取值范围为(　　) A.   　　　　    B.   C.[-1,+ ∞ )　　　　    D.[0,+ ∞ ) 解析 　设 t = f ( x )=( x +1) 2 + a ,则 t ≥ a , ∴ f ( t ) ≥ 0对任意 t ∈[ a ,+ ∞ )恒成立, 即( t +1) 2 + a ≥ 0对任意 t ∈[ a ,+ ∞ )都成立, 当 a ≤ -1时, f ( t ) min = f (-1)= a , 则 f ( t ) min ≥ 0, 即 a ≥ 0,与 a ≤ -1矛盾; 当 a >-1时, f ( t ) min = f ( a )= a 2 +3 a +1, 则 a 2 +3 a +1 ≥ 0, 解得 a ≥   . 故选B. 答案     B 考点二    幂函数 考向基础 1.幂函数的图象   2.幂函数 y = x , y = x 2 , y = x 3 , y =   , y =   的性质 y = x y = x 2 y = x 3 y =   y = x -1 定义域 R R R [0,+ ∞ ) (- ∞ ,0) ∪ (0,+ ∞ ) 值域 R [0,+ ∞ ) R [0,+ ∞ ) (- ∞ ,0) ∪ (0,+ ∞ ) 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在(- ∞ ,0)上减, 在(0,+ ∞ )上增 增 增 在(- ∞ ,0)上减, 在(0,+ ∞ )上减 定点 (0,0),(1,1) (1,1) 考向突破 考向    幂函数的图象及性质的应用 例     (2018河南天一大联考阶段性测试(二),4)已知点( m ,8)在幂函数 f ( x )=( m - 1) x n 的图象上,设 a = f   , b = f (ln π), c = f (   ),则 a , b , c 的大小关系为   (　　) A. a < c < b 　　　　    B. a < b < c 　　　　     C. b < c < a 　　　　    D. b < a < c 解析 　因为 f ( x )=( m -1) x n 是幂函数, 所以 m -1=1, m =2,所以 f ( x )= x n . 因为点(2,8)在函数 f ( x )= x n 的图象上, 所以8=2 n ⇒ n =3, 故 f ( x )= x 3 . a = f   =   =   <1, b = f (ln π)=(ln π) 3 >1, c = f (   )=   =   <1, 且 c > a . 故 a , b , c 的大小关系是 a < c < b . 答案     A 方法1      求二次函数在闭区间上的最值(值域)的方法 二次函数求最值问题,一般先用配方法化成 y = a ( x - m ) 2 + n ( a ≠ 0)的形式,得其 图象的顶点坐标为( m , n ),对称轴方程为 x = m ,再结合二次函数的图象求解,常 见的有三种类型: (1)对称轴、区间都是给定的;(2)对称轴动,区间固定;(3)对称轴定,区间变 动.解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合,三点指的是区 间两个端点及两个端点的中点,一轴指的是对称轴.具体方法是利用函数的 单调性及分类讨论的思想求解. 对于(2)、(3),通常要分对称轴在区间内、对称轴在区间外两大类情况进 行讨论. 简单地讲,轴在区间外,端点处取最值,轴在区间内,顶点和端点处有最值. 方法技巧 例1     (2018陕西渭南尚德中学一模,20)已知函数 f ( x )= x 2 +(2 a -1) x -3. (1)当 a =2, x ∈[-2,3]时,求函数 f ( x )的值域; (2)若函数 f ( x )在[1,3]上的最大值为1,求实数 a 的值. 解题导引   解析 　(1)当 a =2时, f ( x )= x 2 +3 x -3=   -   , 因为 x ∈[-2,3], 所以 f ( x ) min = f   =-   , f ( x ) max = f (3)=15, 所以所求函数的值域为   . (2)对称轴为直线 x =-   . ①当-   ≤ 1,即 a ≥ -   时, f ( x ) max = f (3)=6 a +3, 所以6 a +3=1,即 a =-   ,满足题意; ②当-   ≥ 3,即 a ≤ -   时, f ( x ) max = f (1)=2 a -3, 所以2 a -3=1,即 a =2,不满足题意; ③当1<-   <3,即-   < a <-   时, f ( x ) max 在端点处取得, 令 f (1)=1+2 a -1-3=1,得 a =2(舍去), 令 f (3)=9+3(2 a -1)-3=1,得 a =-   (舍去). 综上,可知 a =-   . 方法2      一元二次方程根的分布 研究二次函数零点的分布,一般情况下需要从以下三个方面考虑: (1)一元二次方程根的判别式; (2)对应二次函数区间端点函数值的正负; (3)对应二次函数图象——抛物线的对称轴直线 x =-   与区间端点的位置关系. 设 x 1 , x 2 是实系数一元二次方程 ax 2 + bx + c =0( a >0)的两实根,则 x 1 , x 2 的分布范围 与一元二次方程系数之间的关系如下表: 零点的分布( m , n , p 为常数) 图象 满足条件 x 1 < x 2 < m     m < x 1 < x 2     x 1 < m < x 2   f ( m )<0 m < x 1 < x 2 < n     m < x 1 < n < x 2 < p     只有一个零点 在( m , n )之间     或 f ( m )· f ( n )<0 或   或   例2     (2019安徽定远中学一模,12)定义:如果函数 f ( x )的导函数为 f '( x ),在区 间[ a , b ]上存在 x 1 , x 2 ( a < x 1 < x 2 < b )使得 f '( x 1 )=   , f '( x 2 )=   ,则称 f ( x ) 为区间[ a , b ]上的“双中值函数”.已知函数 g ( x )=   x 3 -   x 2 是[0,2]上的“双 中值函数”,则实数 m 的取值范围是   (　　) A.   　　　　    B.(- ∞ ,+ ∞ )　　　　    C.   　　　　    D.   解题导引        解析 　∵ g ( x )=   x 3 -   x 2 ,∴ g '( x )= x 2 - mx , ∵函数 g ( x )=   x 3 -   x 2 是区间[0,2]上的“双中值函数”, ∴在区间[0,2]上存在 x 1 , x 2 (0< x 1 < x 2 <2)满足 g '( x 1 )= g '( x 2 )=   =   - m , ∴   - mx 1 =   - mx 2 =   - m ,即方程 x 2 - mx + m -   =0在区间(0,2)上有两个不同的解, 令 f ( x )= x 2 - mx + m -   ,∴   解得   < m <   ,∴实数 m 的取值范围是   .故选D. 答案     D