2017-2018学年山西省运城市高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年山西省运城市高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年山西省运城市高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．复数的共轭复数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析： , ,故选D.‎ ‎【考点】复数的运算与复数相关的概念.‎ ‎2．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应假设（ ）‎ A. 三个内角都不大于 B. 三个内角都大于 C. 三个内角至多有一个大于 D. 三个内角至多有两个大于 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：命题的反面是：三个内角都大于，故选B.‎ ‎【考点】反证法.‎ ‎3．下面用“三段论”形式写出的演绎推理：因为指数函数在上是增函数，是指数函数，所以在上是增函数，该结论显然是错误的，其原因是（ ）‎ A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 以上都可能 ‎【答案】A ‎【解析】分析：分析该演绎推理的大前提、小前提和结论，可以得出正确的答案.‎ 详解：根据题意，该演绎推理的 大前提是：指数函数在上是增函数，‎ 小前提是是指数函数，‎ 结论是在上是增函数.‎ 其中大前提是错误的，‎ 因为时，函数在上是减函数，致使得出的结论错误，故选A.‎ 点睛：该题考查的是有关演绎推理的定义问题，在解决问题的过程中，需要先分清大前提、小前提和结论分别是什么，之后结合定义以及对应的结论的正确性得出结果.‎ ‎4．学校教职成员、教师、后勤人员、理科教师、文科教师的结构图正确的是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：细读题意，本题可根据自左往右的连线表示所属关系，接下来根据已知条件中的参数之间的关系结合结构图的设计规则以及所给选项即可选出正确答案.‎ 详解：教师和后勤人员都属于学校教职成员，‎ 理科教师和文科教师是并列关系，属于教师，‎ 故B中结构图正确，A、C、D不正确，故选B.‎ 点睛：本题是一道关于结构图设计的题目，解答本题的关键是熟悉结构图的设计规则.‎ ‎5．已知的取值如下表所示：‎ 若从散点图分析，与线性相关，且，则的值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：首先求出这组数据的横坐标和纵坐标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入回归直线方程求出的值.‎ 详解：根据回归直线过均值点，将其代入求得，故选A.‎ 点睛：该题考查的是有关回归直线过样本中心点，即均值点的结论，所以求其横纵坐标的平均值，得到样本中心点，代入方程求参数即可.‎ ‎6．分析法证明不等式的推理过程是寻求使不等式成立的（ ）‎ A. 必要条件 B. 充分条件 C. 必要条件 D. 必要条件或成分条件 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：分析法是果索因，基本步骤：要证…只需证…，只需证…,分析法是从求证的不等式出发，找到使不等式成立的充分条件，把证明不等式的问题转化为判定这些充分条件是否具有的问题．因此“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件.‎ ‎【考点】1.必要条件、充分条件与充要条件的判断；2.分析法和综合法．‎ ‎7．如图，5个数据，去掉后，下列说法错误的是（ ）‎ A. 相关系数变大 B. 残差平方和变大 C. 相关指数变大 D. 解释变量与预报变量的相关性变强 ‎【答案】B ‎【解析】分析：由散点图可知，去掉后，的线性相关性加强，由相关系数r，相关指数以及残差平方和与相关性的关系得出选项.‎ 详解：因为点距离回归直线越近，说明相关系数会越大，对应的残差平方和会越小，相关性就会越强，‎ 从散点图可以发现，将去掉之后，明显的所有的点里对应的回归直线就会越近，从而得到B是错误的，故选B.‎ 点睛：该题考查的是有关相关系数、相关指数以及残差平方和与相关性强弱的关系，明确对应的结论，该题很容易求得结果.‎ ‎8．下列说法正确的是（ ）‎ A. 在统计学中，回归分析是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法 B. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的，，‎ 一个点 C. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高 D. 在回归分析中，相关指数为的模型比相关指数为的模型拟合的效果差 ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先对每个选项一一进行分析，需要明确独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，回归直线可能不过任何一个样本数据点，残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟精度越高，相关指数越大，拟合效果越好的结论，就可以正确选出结果.‎ 详解：对于A，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，所以A错；‎ 对于B，线性回归方程对应的直线可能不过任何一个样本数据点，所以B错误；‎ 对于C，残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，所以C正确；‎ 对于D，回归分析中，相关指数为的模型比相关指数为的模型拟合的效果好，所以D错误.‎ 故选C.‎ 点睛：根据概率统计中变量间的相关关系，线性回归方程以及残差图与相关指数的概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.‎ ‎9．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（ )‎ A. k＞4‎ B. k＞5‎ C. k＞6‎ D. k＞7‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行，第二次运行 ‎，第三次运行，第四次运行，输出，所以判断框内为，故选C.‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎10．下列表述正确的是（ ）‎ ‎①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；‎ ‎③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法；‎ A. ②④ B. ①③ C. ①④ D. ①②‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据题意，结合合情推理、演绎推理的定义，依次分析4个命题，综合即可得答案.‎ 详解：根据题意，依次分析4个命题：‎ 对于①，归纳推理是由特殊到一般的推理，符合归纳推理的定义，所以正确；‎ 对于②，演绎推理是由一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义，所以正确；‎ 对于③，类比推理是由特殊到特殊的推理，所以错误；‎ 对于④，分析法、综合法是常见的直接证明法，所以错误；‎ 则正确的是①②，故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关推理的问题，对归纳推理、演绎推理和类比推理的定义要明确，以及清楚哪些方法是直接证明方法，哪些方法是间接证明方法，就可以得结果.‎ ‎11．已知下表：‎ 则的位置是（ ）‎ A. 第13行第2个数 B. 第14行第3个数 C. 第13行第3个数 D. 第17行第2个数 ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据数阵，第n行的最后个数为第项，从而求得结果.‎ 详解：根据题中所给的条件，可以发现第n行最后一项为，‎ 故当时，最后一个数为，‎ 所以是第13行第3个数，故选C.‎ 点睛：该题考查的是有关数列的问题，需要从数阵中关察，得出其特征，将数列的项顺次往下写，所以关键是清楚第n行的最后一个数是第多少项，也可以从第n行的第一个数去分析，这样都可以求得结果.‎ ‎12．满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是（ ）‎ A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆 ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以， 因此复数在复平面上对应点的轨迹是圆，选C.‎ 二、填空题 ‎13．小明每天起床后要做如下事情：洗漱5分钟，收拾床褥4分钟，听广播15分钟，吃早饭8分钟.要完成这些事情，小明要花费的最少时间为__________．‎ ‎【答案】17‎ ‎【解析】分析：根据统筹安排可得小明在完成洗漱、收拾床褥、吃饭的同时听广播最节省时间，进而得到答案.‎ 详解：由题意可知，在完成洗漱、收拾床褥、吃饭的同时听广播，‎ 故小明花费最少时间为分钟，故答案为17分钟.‎ 点睛：该题考查的是有关统筹安排的问题，在解题的过程中，需要明确哪些项目是必须独立完成的，哪些是可以边做还可以边做其他任务的，从而求得结果.‎ ‎14．若复数满足，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】分析：首先根据题中的条件，结合复数的几何意义，可以明确复数对应点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，取最大值时，就是圆上的点到原点的距离的最大值，结合原的性质，其为圆心到原点的距离加半径求得结果.‎ 详解：依题意，设复数，‎ 因为，所以有，‎ 由复数的几何意义，可知对应的点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，‎ 因为表示圆周上的点到原点的距离，‎ 所以的最大值为，所以答案为2.‎ 点睛：该题考查的是有关复数z的模的问题，利用复数的几何意义，结合题中的条件，最后将其转化为圆上的点到某个点的距离的最值问题，等于圆心到对应点的距离加半径，从而求得结果.‎ ‎15．学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：‎ 甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；‎ 丙说：“A、D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．‎ 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是____________．‎ ‎【答案】B ‎【解析】若是一等奖，则甲丙丁都对，不合题意；若是一等奖，则甲乙丁都错，不合题意；若是一等奖，则乙丙正确，甲丁错，符合题意；若是一等奖，则甲乙丙错，不合题意，故一等奖是．‎ 三、解答题 ‎16．下面给出了关于复数的四种类比推理：‎ ‎①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；‎ ‎②由向量的性质，类比得到复数的性质；‎ ‎③方程有两个不同实数根的条件是可以类比得到：方程有两个不同复数根的条件是；‎ ‎④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，其中类比错误的是__________．‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】分析：①由两者运算规则判断；②由定义判断；③可由两者运算特征进行判断；④由两者加法的几何意义判断.‎ 详解：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算，两者用的都是合并同类项的规则，可以类比；‎ ‎②由向量的性质，类比得到复数的性质，两者属性不同，一个是数，一个是既有大小又有方向的量，不具有类比性，故错误；‎ ‎③方程有两个不同实数根的条件是可以类比得到：方程有两个不同复数根的条件是，数的概念的推广后，原有的概念在新的领域里是不是成立属于知识应用的推广，不是类比，故错误；‎ ‎④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，由两者的几何意义知，此类比正确；‎ 综上，②③是错误的，故答案为②③.‎ 点睛：该题考查的是有关类比推理的问题，在解题的过程中，需要对相关的结论要熟悉，再者就是对类比推理要清楚对应的结果是什么，从而判断其正确与否.‎ ‎17．证明：.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】分析：首先观察式子，实质问题是比较大小，题中不等号两侧各有两个根号，所以利用不等式的性质，对其两边进行平方运算然后化简，结合分析法的步骤完成任务.‎ 详解：要证：，只要证：，只要证：‎ 只要证：，即证：，即证：也就是要证：，该式显然成立，所以得证.‎ 点睛：该题考查的是证明不等式的方法，在解题的过程中，可以应用分析法，结合不等式的性质证得结果，也可以移项，将不等式变为，之后对式子进行分子有理化，再应用不等式的性质证明即可.‎ ‎18．设复数，试求取何值时，‎ ‎（1）是实数；‎ ‎（2）是纯虚数；‎ ‎（3）对应的点位于复平面的第一象限.‎ ‎【答案】（1）或；（2）；（3）或 ‎【解析】分析：首先分析该复数的实部和虚部是什么，之后结合复数是实数、纯虚数以及复数在复平面内对应的点所在的象限，对其实部和虚部进行对应的约束，求得其范围，得出结果即可.‎ 详解：（1）当复数的虚部且时，即或时，复数表示实数；‎ ‎（2）当实部等于零且虚部不为零时，复数表示纯虚数，‎ 由，得：时，复数表示纯虚数；‎ ‎（3）由，复数对应的点位于复平面的第一象限，‎ 解得：或，故当或时，复数对应的点位于复平面的第一象限.‎ 点睛：该题考查的是有关复数的概念性的问题，要明确复数是实数的条件为虚部为零，复数为纯虚数的条件为实部为零，且虚部不为零，复数对应的点落在第一象限即为实部和虚部都大于零，最后求得相应的结果即可.‎ ‎19．已知数列的前项和为，，满足，计算，并猜想的表达式.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】分析：首先根据题中所给的条件，对赋上相应的值，一一计算，得出结果，首先令，结合求得，之后利用，再结合题中所给的条件，分别对赋值，最后求得的值，然后根据式子的特征，猜想出结果.‎ 详解：，即，即，‎ ‎，同理解得：，，可猜想：.‎ 点睛：该题考查的是有关数列的项与和之间的关系，利用题中所给的递推关系式，结合有关结论，对n赋值，求得结果，下一步就需要对所求的式子进行分析，判断其对应的关系，之后猜想出相应的结果即可.‎ ‎20．某企业通过调查问卷（满分50分）的形式对本企业900名员工的工作满意程度进行调查，并随机抽取了其中30名员工（16名女工，14名男工）的得分，如下表：‎ 女 ‎47‎ ‎36‎ ‎32‎ ‎48‎ ‎34‎ ‎44‎ ‎43‎ ‎47‎ ‎46‎ ‎41‎ ‎43‎ ‎42‎ ‎50‎ ‎43‎ ‎35‎ ‎49‎ 男 ‎37‎ ‎35‎ ‎34‎ ‎43‎ ‎46‎ ‎36‎ ‎38‎ ‎40‎ ‎39‎ ‎32‎ ‎48‎ ‎33‎ ‎40‎ ‎34‎ ‎（1）根据以上数据，估计该企业得分大于45分的员工人数；‎ ‎（2）现用计算器求得这30名员工的平均得分为40.5分，若规定大于平局得分为 “满意”，否则为 “不满意”，请完成下列表格：‎ ‎“满意”的人数 ‎“不满意”的人数 合计 女员工 ‎16‎ 男员工 ‎14‎ 合计 ‎30‎ ‎（3）根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？‎ 参考数据：‎ P(K2K)‎ ‎0.10‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ K ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）240；（2）见解析；（3）见解析 ‎【解析】分析：第一问首先从表中查找得分大于45分的人数，求得比值即为概率，应用对应的关系式求得相应的人数；第二问按照条件，将男女员工对应的分数分析比较，进行分类，从而将相应的数据填入表中，得到列联表；第三问利用公式求得观测值，判断出结果即可.‎ 详解：（1）从表中可知，30名员工有8名得分大于45分，所以任选一名员工，他（她）的得分大于45分的概率是，所以估计此次调查中，该单位约有名员工的得分大于45分；‎ ‎（2）依题意，完成列联表如下：‎ ‎“满意”的人数 ‎“不满意”的人数 合计 女员工 ‎12‎ ‎4‎ ‎16‎ 男员工 ‎3‎ ‎11‎ ‎14‎ 合计 ‎15‎ ‎15‎ ‎30‎ ‎（3）假设：性别与工作是否满意无关，根据表中数据，求得的观测值：‎ 查表得 能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为性别与工作是否满意有关.‎ 点睛：该题考查的是有关统计的问题，一是利用样本数据中满足条件的人数所占的比例估计对应的概率，再用总人数乘以概率得到总体当中满足条件的人数，二是利用分数要求将对应的分类，得到列联表，三是应用公式求得观测值，再与表中的临界值比较得出结果.‎ ‎21．禽流感一直在威胁我们的生活，某疾病控制中心为了研究禽流感病毒繁殖个数（个）随时间（天）变化的规律，收集数据如下：‎ 天数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 繁殖个数 ‎6‎ ‎12‎ ‎25‎ ‎49‎ ‎95‎ ‎190‎ 作出散点图可看出样本点分布在一条指数型函数的周围.‎ 保留小数点后两位数的参考数据：‎ ‎，，，，，，，，其中 ‎（1）求出关于的回归方程（保留小数点后两位数字）；‎ ‎（2）已知，估算第四天的残差.‎ 参考公式：‎ ‎【答案】（1）；（2）0.58‎ ‎【解析】‎ 分析：第一问首先利用相应的公式，对其式子进行变形，利用线性回归分析取解决非线性回归分析的问题，注意公式的正确使用，二是要明确残差的定义，残差是确切值域估计值的差，所以将变量代入回归方程，求得对应的值，作差即可得结果.‎ 详解：（1）因为，令，则 ‎，‎ ‎，，，‎ 所以关于的回归方程为；‎ ‎（2）当时，，，，‎ 所以第四天的残差估计为0.58.‎ 点睛：该题考查的是有关回归分析的问题，要明确利用线性回归分析作为桥梁解决非线性回归方程的问题的方法，再者要明确残差的定义，认真运算即可得结果.‎ ‎22．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位建立坐标系.已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）. ‎ ‎（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）直线上有一点，设直线与曲线相交于两点，求的值.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】分析：第一问首先利用平方关系将参数消掉，将其化为普通方程，将与直线l的极坐标方程对比，代入，即可得其直角坐标方程；第二问将直线的参数方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求得两根积，结合直线参数方程中其几何意义求得结果.‎ 详解：（1）曲线的参数方程为（为参数），利用可得普通方程：，由直线的极坐标方程为，可得直角坐标方程为：‎ ‎（2）由于在直线上，可得直线的参数方程：（‎ 为参数）代入椭圆方程可得：，，所以 点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，应用直线的参数方程中参数的几何意义求其有关线段所满足的条件，要认真分析，细心求解.‎ ‎23．已知函数 ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集非空，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：第一问利用零点分段法将绝对值符号去掉，将绝对值不等式转化为三个不等式组，最后对其解集取并集求得结果；第二问将对应的不等式解集非空，转化为其函数的最小值满足条件，从而将问题转化为求函数的最值问题，利用绝对值不等式的性质求得其最小值，之后解关于a的不等式即可.‎ 详解：（1）由可化为：‎ 或或 不等式解集为：‎ ‎（2）因为，所以，即的最小值为；‎ 要使不等式解集非空，需 从而，解得或 所以的取值范围为 点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的问题，在解题的的过程中，一是利用绝对值表达式，通过x的范围，去掉绝对值符号，然后求解不等式的解集；二是利用绝对值三角不等式，转化求解最小值，然后求解即可.‎