2018-2019学年天津市第一中学高二下学期期中考试数学试题 解析版

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绝密★启用前 天津市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．某学校高一、高二年级共有1800人，现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查.若样本中高一年级学生有42人，则该校高一年级学生共有（ ）‎ A．420人 B．480人 C．840人 D．960人 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由样本容量和总体容量确定抽样比，用高一年级抽取的人数除以抽样比即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意需要从1800人中抽取90人，所以抽样比为，‎ 又样本中高一年级学生有42人，所以该校高一年级学生共有人.故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查分层抽样，先确定抽样比，即可确定每层的个体数，属于基础题型.‎ ‎2．函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是( )‎ A．0 B．1‎ C．2 D．无数个 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：，由得，方程无解，因此函数无极值点 考点：函数导数与极值 ‎3．某研究机构在对具有线性相关的两个变量进行统计分析时，得到如下数据，由表中数据求得y关于x的回归方程为，则在这些样本中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（ ）‎ x ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ y ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ A． B． C． D．0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用回归方程的性质求出a的值，再利用古典概型的概率公式求解.‎ ‎【详解】‎ 解：由题得 所以3=0.7×6+a,所以a=-1.2,‎ 所以，‎ 四个点中有两个点（3,1）和（7,4）落在直线的下方，‎ 所以在这些样本中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查回归直线方程的性质，考查二元一次不等式的平面区域，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎4．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100名学生的成绩按照 [80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率 分布直方图如图所示则下列说法正确的是（ ）‎ A．频率分布直方图中a的值为 0.040‎ B．样本数据低于130分的频率为 0.3‎ C．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分 D．总体分布在[90，100）的频数一定不总体分布在[100，110）的频数相等 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由频率分布直方图得的性质求出；样本数据低于130分的频率为：；的频率为，的频率为由此求出总体的中位数保留1位小数估计为：分；样本分布在的频数一定与样本分布在的频数相等，总体分布在的频数不一定与总体分布在的频数相等．‎ ‎【详解】‎ 由频率分布直方图得：‎ ‎，‎ 解得，故A错误；‎ 样本数据低于130分的频率为：，故B错误；‎ 的频率为：，‎ 的频率为：．‎ 总体的中位数保留1位小数估计为：分，故C正确；‎ 样本分布在的频数一定与样本分布在的频数相等，‎ 总体分布在的频数不一定与总体分布在的频数相等，故D错误．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．因为条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5的即可；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.‎ ‎5．若五位同学站成一排照相，则两位同学至少有一人站在两端的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出五名同学站成一排照相共有种排法．再分两种情况讨论求出A、B ‎ 两位同学至少有一 人站在两端的排法，由此能求出 两位同学至少有一人站在两端的概率．‎ ‎【详解】‎ 解：五名同学站成一排照相，共有种排法．‎ A、B 两位同学至少有一人站在两端的排法有：种，‎ ‎∴A、B 两位同学至少有一人站在两端的概率为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎6．函数的图象可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，可排除B,D,当时，，故排除C所以答案为A 考点：函数的图像 ‎7．某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似《最强大脑》的 PK 赛，‎ 两队各由 4 名选手组成，每局两队各派一名选手PK，比赛四局．除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛A队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的情况有3种；A全胜，A三胜一负，A 第三局胜，另外三局两胜一负，由此能求出比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率．‎ ‎【详解】‎ 解：比赛结束时A队的得分高于B队的得分的情况有3种；A全胜，A三胜一负，A第三局胜，另外三局两胜一负，‎ ‎∴比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为：‎ ‎． ‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查互斥事件和独立事件的概率，独立重复性事件试验的概率，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎8．已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则的取值范围是　　‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，则是的图象沿着上下平移得到，分析函数与的图象，利用图象关系确定两个函数满足的条件进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 设，‎ 则是的图象沿着上下平移得到，‎ 当x=1时，（1）（1），‎ 所以直线x=1与函数h(x)的图像的交点坐标为（1，m）,‎ 当x=1时，g(1)=0,‎ 当x=2时，（2），所以直线x=2与函数g(x)的图像的交点为（2，-2），‎ 当x=2时，（2），所以直线x=2与函数h(x)的图像的交点为（2，ln2+m）,‎ 要使方程恰有三个不相等的实数解，‎ 则等价为与的图象有三个不同的交点，‎ 则满足，‎ 即得，‎ 即，‎ 即实数的取值范围是，，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的图像和性质的综合应用，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎9．从区间内任选一个数，则方程表示的是双曲线的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由方程表示双曲线得到关于的不等式，求出的范围，利用几何概型公式解答．‎ ‎【详解】‎ ‎：因为方程表示双曲线，则，所以所求概率为；‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的方程以及几何概型的概率公式，属于基础题．‎ ‎10．一批排球中正品有m个，次品有n个，，从这批排球中每次随机 取一个，有放回地抽取10次，X表示抽到的次品个数若，从这批排球中随机一次取两个，则至少有一个次品的概率p＝___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知随机变量，根据方差求得的值，再计算所求的概率值．‎ ‎【详解】‎ 由题意知，随机变量，‎ 则方差，‎ 又，则，‎ 解得，‎ 所求的概率为．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项分布方差的计算,考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎11．已知直线y＝2x－1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，设切点为，则，且，解之得,故答案为.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点利用求解. ‎ ‎12．某公司16个销售店某月销售产品数量（单位：台）的茎叶图如图，已知数据落在[18，22]中的频率为0.25，则这组数据的中位数为________‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意分析得到 ，再由中位数的定义求得结果．‎ ‎【详解】‎ 解：根据茎叶图中的数据知，数据落在[18，22]中的频率为 0.25，‎ 则频数为，∴；‎ ‎∴这组数据的中位数为． ‎ 故答案为：27．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查茎叶图和中位数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理的能力.‎ ‎13．函数的单调增区间为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出原函数的导函数，由导函数大于0求解指数不等式得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：由 ，得 ，‎ 由 ，得．‎ 因为x∈R，‎ ‎∴函数的单调减区间为。‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎14．已知函数，若在区间内恒成立，实数a的取值范围为________ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，根据 在区间内恒成立，得到关于的不等式，解出即可．‎ ‎【详解】‎ 解：‎ ‎① 时，，在递增，而时，，不合题意；‎ ‎② 时，‎ 令 ，解得：，令，解得： ，‎ 故在递增，在递减，‎ 故，解得：，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查利用导数研究函数的单调区间和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎15．已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组，其中歌唱组有 4 名男生，1 名女生，舞蹈组有2 名男生，2 名女生，学校计划从两兴趣小组中各选2名同学参加演出．‎ ‎（1）求选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数；‎ ‎（2）记X为选出的4名同学中女生的人数，求X的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】(1)56种 (2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用间接法求出选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数；（2）由题得X 的可能取值为 0，1，2，3．再求出它们对应的概率，写出分布列，求出数学期望.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意知，所有的选派方法共有种，‎ 其中有3名女生的选派方法共有种，‎ 所以选出的 4 名同学中至多有2名女生的选派方法数为种． ‎ ‎（2）X 的可能取值为 0，1，2，3．‎ ‎，.‎ ‎，‎ ‎∴X 的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查排列组合的应用，考查随机变量的分布列和数学期望，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎16．某工厂有甲乙两个车间，每个车间各有3台机器．甲车间每台机器每天发生故障的概率均为，乙车间3台机器每天发生概率分别为．若一天内同一车间的机器都发生故障可获利2万元，恰有一台机器发生故障仍可获利1万元，恰有两台机器发生故障的利润为0万元，三台机器发生故障要亏损3万元．‎ ‎（1）求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；‎ ‎（2）由于节能减排，甲乙两个车间必须停产一个，以工厂获得利润的期望值为决策依据，你认为哪个车间停产比较合理．‎ ‎【答案】(1) 见解析(2) 甲车间停产比较合理．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）乙车间每天机器发生故障的台数为，则的可能取值为 0，1，2，3,再求对应的概率，写出乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（2）先分别计算出两个车间利润的期望再比较得解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）乙车间每天机器发生故障的台数为，则的可能取值为 0，1，2，3；‎ 且，‎ ‎，‎ ‎∴乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎（2）设甲车间每台机器每天发生故障的台数，获得的利润为X，则，‎ ‎ (k=0,1,2,3)；‎ ‎∴ ,‎ 由（1）得 ，‎ ‎∵，∴甲车间停产比较合理．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查随机变量的分布列和数学期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎17．已知函数在点处的切线方程是．‎ ‎（1）求实数 的值；‎ ‎（2）求函数在 上的最大值和最小值（其中是自然对数的底数）.‎ ‎【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，通过切线方程列出方程即可求实数a，b的值；（2）求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值，然后求函数f（x）在上的最大值和最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，， ‎ 则，， ‎ 函数在点处的切线方程为：， ‎ 由题意得，即，. ‎ ‎（2）由（1）得，函数的定义域为， ‎ ‎∵，∴，，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增． ‎ 故在上单调递减，在上单调递增， ‎ ‎∴在上的最小值为． ‎ 又，，且．‎ ‎∴在上的最大值为. ‎ 综上，在上的最大值为，最小值为 ‎【点睛】‎ 本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力,准确计算是关键，是中档题.‎ ‎18．已知函数．‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）讨论的单调性；‎ ‎（3）设，当时，对任意的，存在，使得，求实数 b的取值范围 ‎【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意可得，据此确定切线的斜率，结合切点坐标确定切线方程即可；‎ ‎(Ⅱ)由可得，据此分类讨论确定函数的单调性即可；‎ ‎(Ⅲ)由题意可得，则原问题等价于，据此求解实数b的取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)，‎ 因为,且，‎ 所以曲线在点处的切线方程为：.‎ ‎(Ⅱ)令，所以，‎ 当时,，‎ 此时在上单调递减,在上单调递增；‎ 当时,，‎ 此时在上单调递增,在上单调递减.‎ ‎(Ⅲ)当时,在上单调递减,在上单调递增，‎ 所以对任意,有，‎ 又已知存在，‎ 使,所以，‎ 即存在,使，‎ 即，‎ 即因为当，‎ 所以,即实数取值范围是.‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数研究函数的单调性，利用导数求解切线方程，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎19．已知椭圆: 的左右焦点分别 ，过作垂直于轴的直线交椭圆于两点，满足.‎ ‎（1）求椭圆的离心率.‎ ‎（2）是椭圆短轴的两个端点，设点是椭圆上一点（异于椭圆的顶点），直线分别与轴相交于两点，为坐标原点，若，求椭圆的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在椭圆的方程中，令可得点A的纵坐标，即，然后根据可求得离心率．（2）设，于是可得直线MP和NP的方程，进而得到点R和点Q的横坐标，然后根据可得，于是，故得，从而得到椭圆的方程．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得，点的横坐标为，‎ 又点在椭圆上，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 整理得，‎ 解得或（舍去），‎ ‎∴．‎ ‎（2）设，‎ 则直线MP的方程为，‎ 令，得，即点R的横坐标为．‎ 同理可得直线NP的方程为，‎ 令得到Q点的横坐标为 ‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆离心率和椭圆标准方程的求法，考查计算能力和转化能力．解题的关键是根据题意及椭圆中基本量的关系得到所求的结果．另外，由于椭圆中的计算比较复杂，所以在运算中要注意计算的技巧和运算的准确性．‎