2018届高三数学一轮复习： 热点探究训练6 概率与统计中的高考热点问题

2018届高三数学一轮复习： 热点探究训练6 概率与统计中的高考热点问题

热点探究训练(六)　‎ 概率与统计中的高考热点问题 ‎1．(2017·邯郸质检)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：‎ 年份 ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ 时间代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 储蓄存款y ‎(千亿元)‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎(1)求y关于t的回归方程＝t＋；‎ ‎(2)用所求回归方程预测该地区2017年(t＝6)的人民币储蓄存款．‎ 附：回归方程＝t＋中，＝，＝－.‎ ‎[解]　(1)易求＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，‎ ＝yi＝‎7.2.2‎分 又tiyi－5＝120－5×3×7.2＝12，‎ t－52＝55－5×32＝10.4分 从而＝＝＝1.2，‎ ‎∴＝－＝7.2－1.2×3＝3.6，6分 故所求回归方程为＝1.2t＋‎3.6.8‎分 ‎(2)将t＝6代入回归方程可预测该地区2017年的人民币储蓄存款为＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元).12分 ‎2．(2015·北京卷节选)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：‎ A组：10,11,12,13,14,15,16；‎ B组：12,13,15,16,17,14，a.‎ 假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．‎ ‎(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；‎ ‎(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率．‎ ‎[解]　设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，‎ 事件Bi为“乙是B组的第i个人”，i＝1,2，…，7.‎ 由题意可知P(Ai)＝P(Bi)＝，i＝1,2，…，7.2分 ‎(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝.5分 ‎(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．‎ 由题意知C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，7分 因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝.12分 ‎3．某高校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n位校友(n＞8且n∈N*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．‎ ‎(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于，求n 的最大值； ‎ ‎【导学号：01772434】‎ ‎(2)当n＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为ξ，求ξ的分布列和期望．‎ ‎[解]　(1)设选出2人为“最佳组合”记为事件A，‎ 则事件A发生的概率P(A)＝＝.2分 依题意≥，化简得n2－25n＋144≤0，‎ ‎∴9≤n≤16，故n的最大值为16.5分 ‎(2)由题意，ξ的可能取值为0,1,2，且ξ服从超几何分布，‎ 则P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2)，‎ ‎∴P(ξ＝0)＝P(ξ＝2)＝＝，‎ P(ξ＝1)＝＝.8分 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.12分 ‎4．(2017·武汉四校联考)某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天的课外体育锻炼时间进行调查，如下表：(平均每天锻炼时间的单位：分钟)‎ 平均每天锻炼 的时间(分钟)‎ ‎[0,10)‎ ‎[10,20)‎ ‎[20,30)‎ ‎[30,40)‎ ‎[40,50)‎ ‎[50,60]‎ 人数 ‎20‎ ‎36‎ ‎44‎ ‎50‎ ‎40‎ ‎10‎ 将学生日均课外体育锻炼时间在[40,60]内的学生评价为“课外体育达标”. ‎ ‎【导学号：01772435】‎ ‎(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关；‎ 课外体育不达标 课外体育达标 总计 男 女 ‎20‎ ‎110‎ 总计 ‎(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该校高三学生中抽取3名学生，记被抽取的3名学生中“课外体育达标”的学生人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的数学期望和方差.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.‎ ‎[解]　(1)依题意，得2×2的列联表如下：‎ 课外体育不达标 课外体育达标 总计 男 ‎60‎ ‎30‎ ‎90‎ 女 ‎90‎ ‎20‎ ‎110‎ 总计 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ K2＝＝≈6.061＜6.635，‎ 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.6分 ‎(2)易得抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25.‎ 因为将频率视为概率，‎ 所以X～B，‎ 所以E(X)＝3×＝，D(X)＝3××＝.12分 ‎5．(2016·山东高考)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是 ‎；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：‎ ‎ (1)“星队”至少猜对3个成语的概率；‎ ‎ (2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)．‎ ‎[解]　(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，‎ 记事件B：“乙第一轮猜对”，‎ 记事件C：“甲第二轮猜对”，‎ 记事件D：“乙第二轮猜对”，‎ 记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．‎ 由题意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC，2分 由事件的独立性与互斥性，‎ P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)P()＝×××＋2×＝，‎ 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.5分 ‎(2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.‎ 由事件的独立性与互斥性，得 P(X＝0)＝×××＝，‎ P(X＝1)＝2× ‎＝＝，‎ P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，‎ P(X＝3)＝×××＋×××＝，‎ P(X＝4)＝2× ‎＝＝，‎ P(X＝6)＝×××＝＝.10分 可得随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ P 所以数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝.12分 ‎6．微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过两小时的人被定义为“非微信达人”．已知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3∶2.‎ ‎ 【导学号：01772436】‎ 使用微信时间(单位：小时)‎ 频数 频率 ‎(0,0.5]‎ ‎3‎ ‎0.05‎ ‎(0.5,1]‎ x p ‎(1,1.5]‎ ‎9‎ ‎0.15‎ ‎(1.5,2]‎ ‎15‎ ‎0.25‎ ‎(2,2.5]‎ ‎18‎ ‎0.30‎ ‎(2.5,3]‎ y q 合计 ‎60‎ ‎1.00‎ 图3‎ ‎(1)确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图；‎ ‎(2)为进一步了解使用微信对自己的日常工作和生活是否有影响，从“非微信达人”和“微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信达人”的人数为X，求X的分布列和数学期望．‎ ‎[解]　(1)“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3∶2，‎ 所以＝，2分 又3＋x＋9＋15＋18＋y＝60，‎ 解这个方程组得从而可得 补全频率分布直方图如图所示：‎ ‎5分 ‎(2)选出的人中，“微信达人”有4人，“非微信达人”有6人，X的可能取值为0,1,2,3，‎ P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，10分 所以X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以X的数学期望E(X)＝0＋＋＋＝.12分