2018-2019学年天津市第一中学高二下学期期末数学试题 解析版

2018-2019学年天津市第一中学高二下学期期末数学试题 解析版

绝密★启用前 天津市第一中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．在复平面上，复数对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接把给出的复数写出代数形式，得到对应的点的坐标，则答案可求。‎ ‎【详解】‎ 由题意，复数，‎ 所以复数对应的点的坐标为位于第一象限，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的代数表示，以及复数的几何意义的应用，其中解答中熟记复数的代数形式和复数的表示是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎2．设全集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得，即可求得，再求得，利用交集运算得解.‎ ‎【详解】‎ 由得：或，‎ 所以，所以 由可得：或 所以 所以 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数函数的性质，还考查了补集、交集的运算，属于基础题.‎ ‎3．设函数（e为自然底数），则使成立的一个充分不必要条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得：，结合充分、必要条件的概念得解.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 解得：‎ 又“”可以推出“”‎ 但“”不能推出“”‎ 所以“”是“” 充分不必要条件.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等价转化思想及充分、必要条件的概念，属于基础题。‎ ‎4．设，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得到不等式的解集，然后利用充分条件与必要条件的定义判断即可..‎ 详解：，‎ 当时，化为，解得；‎ 当时，化为，即，解得；‎ 当时，化为，解得，‎ 综上可得：的取值范围是，‎ ‎“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D.‎ 点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法、充分条件与必要条件相关问题，将含绝对值不等式解法、充分条件、必要条件、充要条件相关的问题联系在起来，体现综合应用数学知识解决问题的能力，是基础题 ‎5．已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由指数函数的性质可得：，整理可得：，，再利用即可判断，问题得解.‎ ‎【详解】‎ 且，所以.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数函数的性质，还考查了对数的运算及性质，考查计算能力及转化能力，属于中档题。‎ ‎6．已知函数，则使得成立的的解集为（ ）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得：是偶函数，当时，在为增函数，利用的单调性及奇偶性将转化成：，解得：，问题得解.‎ ‎【详解】‎ 因为 所以是偶函数.‎ 当时，‎ 又在为增函数，在为减函数 所以在为增函数 所以等价于，‎ 解得：‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数单调性及奇偶性的应用，还考查了转化思想及函数单调性的判断，属于中档题。‎ ‎7．已知函数，若、，，使得成立，则的取值范围是（ ）．‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对的范围分类讨论，当时，函数在上递增，在 上递减，即可判断：、，，使得成立. 当时，函数在上单调递增，即可判断：一定不存在、，，使得成立，问题得解.‎ ‎【详解】‎ 当时，，函数在上递增，在上递减，‎ 则：、，，使得成立.‎ 当时，，函数在上递增，在也递增，‎ 又，‎ 所以函数在上单调递增，‎ 此时一定不存在、，，使得成立.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分类思想及转化思想，还考查了函数单调性的判断，属于难题。‎ ‎8．已知函数，，若方程在上有两个不等实根，则实数m的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对的范围分类，即可将“方程在上有两个不等实根”转化为“在内有实数解，且方程的正根落在内”，记，结合函数零点存在性定理即可列不等式组，解得：，问题得解。‎ ‎【详解】‎ 当时，可化为：‎ 整理得：‎ 当时，可化为：‎ 整理得：，此方程必有一正、一负根.‎ 要使得方程在上有两个不等实根，‎ 则在内有实数解，且方程的正根落在内.‎ 记，‎ 则，即：，解得：.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分类思想及转化思想，还考查了函数零点存在性定理的应用，还考查了计算能力及分析能力，属于难题。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎9．已知为实数，若复数是纯虚数，则__________．‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法、乘法运算整理可得：，利用复数是纯虚数列方程可得：，问题得解。‎ ‎【详解】‎ 若复数是纯虚数，则 解得：‎ 故填：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的乘法、除法运算，还考查了纯虚数的概念及方程思想，属于基础题。‎ ‎10．设全集，集合，，则_．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知求得：，即可求得：，再利用并集运算得解.‎ ‎【详解】‎ 由可得：或 所以 所以 所以 故填：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了补集、并集的运算，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎11．“，”的否定是____________．‎ ‎【答案】，使得 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用全称命题的否定得解.‎ ‎【详解】‎ ‎“，”的否定是：“，使得”‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题。‎ ‎12．函数的值域为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对的范围分类，即可求得：当时，函数值域为：，当时，函数值域为：，再求它们的并集即可。‎ ‎【详解】‎ 当时，，其值域为：‎ 当时，，其值域为：‎ 所以函数的值域为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数的值域及分类思想，还考查了指数函数及对数函数的性质，考查计算能力及转化能力，属于中档题。‎ ‎13．已知函数，若，则实数的取值范围是___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对的范围分类讨论函数的单调性，再利用可判断函数在上递增，利用函数的单调性将转化成：，解得：，问题得解.‎ ‎【详解】‎ 当时，，它在上递增，‎ 当时，，它在上递增，‎ 又 所以在上递增，‎ 所以可化为：，解得：.‎ 所以实数的取值范围是 故填：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分类思想及函数单调性的应用，还考查了转化能力及计算能力，属于中档题。‎ ‎14．已知函数的图像经过第二、三、四象限，，则的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的图像经过第二、三、四象限可得：，整理 可得：，再利用指数函数的性质即可得解.‎ ‎【详解】‎ 因为函数的图像经过第二、三、四象限，‎ 所以，解得：‎ 又 又，所以，所以 所以，‎ 所以的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数函数的性质及计算能力、分析能力，还考查了转化能力，属于中档题。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎15．某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数．‎ ‎(1)请列出X的分布列；‎ ‎(2)根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．‎ ‎【答案】（1）‎ X ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 试题分析：（1）本题是一个超几何分步，用X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4．结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和数学期望．‎ ‎（2）选出的4人中至少有3名男生，表示男生有3个人，或者男生有4人，根据第一问做出的概率值，根据互斥事件的概率公式得到结果．‎ 解：（1）依题意得，随机变量X服从超几何分布，‎ 随机变量X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4．‎ ‎．‎ ‎∴所以X的分布列为：‎ ‎（2）由分布列可知至少选3名男生，‎ 即P（X≥3）=P（X=3）+P（X=4）=+=．‎ 点评：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分步，考查互斥事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力．‎ ‎16．从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则实验结束 ‎(1)求第一次实验恰好摸到1个红球和1个白球的概率；‎ ‎(2)记实验次数为X，求X的分布列及数学期望．‎ ‎【答案】（1）；（2）的分布列为 ‎ ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：解：（I）………………4分 ‎（II）；；‎ ‎；；‎ X的分布列为 X ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎……………………12分 ‎……………………14分 考点：本试题考查了古典概型和分布列的运用。‎ 点评：对于古典概型的问题，主要是理解试验的基本事件空间，以及事件发生的基本事件空间利用比值来求解概率，结合排列组合的知识得到。而分布列的求解关键是对于各个概率值的求解，属于中档题。‎ ‎17．已知函数在处取得极值．‎ ‎(1)求实数a的值；‎ ‎(2)若关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2)．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）函数，对其进行求导，在处取得极值，可得 ‎，求得值； （Ⅱ）由知，得令 则关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，转化为上恰有两个不同实数根，对对进行求导，从而求出的范围；‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）时，取得极值，‎ 故解得.经检验符合题意。‎ ‎（Ⅱ）由知，得 ‎ 令 ‎ 则在上恰有两个不同的实数根，‎ ‎ 等价于上恰有两个不同实数根.‎ ‎ ‎ ‎ 当时，，于是上单调递增；‎ ‎ 当时，，于是在上单调递增；‎ ‎ 依题意有 .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的极值及单调性以及方程 的实数根问题，解题过程中用到了分类讨论的思想，分类讨论的思想也是高考的一个重要思想，要注意体会其在解题中的运用，属中档题．‎ ‎18．已知函数，‎ ‎(1)若，证明：函数是上的减函数；‎ ‎(2)若曲线在点处的切线不直线平行，求a的值；‎ ‎(3)若，证明：(其中…是自然对数的底数)．‎ ‎【答案】（I）详见解析；（II）；（III）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)由题意二次求导可得，函数是上的减函数.‎ ‎(2)利用题意由导函数研究函数的切线得到关于a的方程，解方程可得.‎ ‎(3)原不等式等价于，结合(1)的结论构造函数，令，可证得．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）当时，函数的定义域是，所以，‎ 令，只需证：时，．‎ 又，‎ 故在上为减函数，‎ 所以，‎ 所以，函数是上的减函数．‎ ‎（Ⅱ）由题意知，，且，‎ 所以，即有，‎ 令，，‎ 则，‎ 故是上的增函数，又，因此是的唯一零点，‎ 即方程有唯一实根，所以．‎ ‎（Ⅲ）因为 ，‎ 故原不等式等价于，‎ 由（Ⅰ）知，当时，是上的减函数，‎ 故要证原不等式成立，只需证明：当时，，‎ 令，则，在上的增函数，‎ 所以，即，故，‎ 即．‎